Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Решеточные свойства кристаллических систем. Зоны Бриллюэна 61
кристаллическим импульсом или просто импульсом. Согласно гипотезе де Бройля, свойство свободной частицы — “квазиимпульс”
p — линейно связано со свойством волны — “квазиволновым вектором” k — соотношением k = p/ћ; кинетической энергии частицы
K сопоставляется угловая частота волны ω = K/ћ.
# Функция Блоха для электрона в кристалле. Трансляционная инвариантность кристаллической структуры при неподвижных
ионных остовах атомов матрицы приводит к электронным волновым функциям Блоха — модулированным с периодом решетки
Браве плоским волнам — решениям одноэлектронного уравнения
Шредингера. В одноэлектронном приближении блоховская волновая функция делокализованного электрона с (квази)волновым
вектором k в кристаллической матрице имеет вид: ψB= ψk(r) =
= uk(r) exp(ik·r), где uk(r) = uk(r + a) — периодическая функция,
exp(ik·r) — плоская электронная волна, r — радиус-вектор произ-
вольной точки в кристалле, a — вектор элементарной трансляции.
Значения функции Блоха ψk(r) = ψBв точке r и в точке r +γa,
где γ — целое число (включая ноль), удовлетворяют соотношению:
ψk(r + γa) = uk(r + γa) exp[ik(r + γa)] =
= uk(r) exp[ik(r + γa)] = exp(ikγa)ψk(r),
так что плотность вероятности ψ
∗
нахождения электрона в лю-
BψB
бой элементарной ячейке кристалла одинакова:
∗
ψ
(r+γa)ψk(r+γa) = exp(−ikγa)ψ
k
∗
(r) exp(ikγa)ψk(r) = ψ
k
∗
(r)ψk(r),
k
точнее, плотность вероятности найти электрон Блоха в определенном месте в пределах элементарной ячейки одинакова для всех
эквивалентных мест в других элементарных ячейках.
# Для электрона, движущегося в постоянном во времени и периодическом в пространстве поле кристаллической решетки, сохраняется полная энергия и квазиимпульс p; блоховская волновая
функция электрона ψp(x + a) = ψp(x) exp(ipxa/ћ), где a — период
решетки, x — координата. Электронные состояния, соответствующие значениям квазиимпульса pxи px± 2πћ/a, эквивалентны.
Для электрона, движущегося поперек постоянного в пространстве
и переменного во времени электрического поля плоского конденсатора, сохраняется импульс и квазиэнергия E; волновая функция
электрона ψE(t + τ) = ψE(t) exp(2πiE/ћω), где ω = 2π/τ — угловая
частота поля, τ — период, t — время. Электронные состояния, соответствующие значениям квазиэнергии E и E±ћω, эквивалентны.
62 Глава 3
# Квазичастица — это делокализованное элементарное возбуж-
дение конденсированной системы многих частиц. Концепция квазичастиц применима лишь при слабых отклонениях системы от
основного состояния, т. е. когда возбужденное состояние системы
можно представить как газ квазичастиц. Например, концепция фононов годится до тех пор, пока амплитуда колебаний среднестатистического атома кристалла мала по сравнению с периодом решетки (т. е. вдали от точки плавления). Как правило, число фононов,
имеющихся в кристалле, огромно даже при низких температурах,
хотя в пределе нулевой абсолютной температуры они исчезают.
Например, при температуре T = 1 К в кристалле аргона (изолятор с одним атомом на примитивную элементарную ячейку и температурой Дебая TD= 92 К) концентрация акустических фононов
≈ 7·1017см−3. В общем плане, квазичастица — это распространя-
ющееся возбуждение (волна) с определенной энергией, импульсом
(квазиимпульсом) и спином. В основном состоянии конденсированной системы квазичастиц нет. Слабовозбужденные состояния
системы представляются в виде совокупности квазичастиц. Точнее, вблизи основного состояния гамильтониан H системы приближенно представляется в виде суммы гамильтониана свободных
квазичастиц Hqpи гамильтониана H
P
H = Hqp+ H
int
=
где α — тип (вид) квазичастицы, ћωα— энергия, a
ры рождения и уничтожения квазичастицы типа α, так что a
их взаимодействия:
int
+
ћωαa
α
aα+ H
α
,
int
+
, aα— операто-
α
+
α
aα—
оператор числа α-квазичастиц. Такое описание имеет смысл, только если взаимодействие квазичастиц слабое. Квазичастица не описывает движения отдельных частиц, образующих кристалл. Напротив, квазичастица есть коллективное движение всех частиц.
Среди возбужденных состояний кристалла можно выделить одночастичные — в кристалле есть одна квазичастица, например, один
фонон, двухчастичные — в кристалле две квазичастицы и т. д. Хотя в рождении (или уничтожении) квазичастицы принимают участие все атомы кристалла, сама квазичастица — микроскопический
объект в том смысле, что ее энергия и (квази)импульс — атомных
масштабов. Примером квазичастиц в кристаллическом немагнитном полупроводнике наряду с фононами являются электроны cзоны и дырки v-зоны, а также экситоны.
# Угловая частота (волновое число) — скорость изменения фазы
гармонической величины со временем (с расстоянием).
Решеточные свойства кристаллических систем. Зоны Бриллюэна 63
# Групповая скорость — скорость квазичастицы, равная dE/dp,
где E — энергия квазичастицы, p — квазиимпульс. Для любого
возбуждения, которое может существовать в кристалле, решетка представляет собой систему с дисперсией: групповая скорость
возбуждений зависит от квазиволнового вектора (или квазиимпульса). Использование понятия “квазиимпульс” не обязательно
означает, что через кристалл передается “обычный” импульс с соответствующей скоростью. Так, электрон, для которого групповая
скорость dE/dp = 0, но p 6= 0, представляет собой стоячую волну и
обладает нулевым импульсом по отношению к кристаллу в целом.
# Фермиевский квазиимпульс pF=√2mEFэлектрона c-зоны
(зоны проводимости) — квазиимпульс электрона с эффективной
массой m и кинетической энергией E
, равной энергии Ферми E
kin
в металле (или в вырожденном полупроводнике n+-типа).
# Закон дисперсии — зависимость энергии E квазичастицы (или
частоты волны) от квазиимпульса p (или волнового вектора) —
позволяет иллюстрировать изменение как E, так и p в процессах
с участием квазичастицы. Для одноэлектронного возбуждения в
кристалле (даже не обладающем центром пространственной инверсии) E
(p) = E
(−p), где стрелкой символически указано спи-
новое состояние электрона. Импульсное пространство для описания электронов удобно тем, что в нем электрон (с определенным
значением квазиимпульса p) покоится, хотя в координатном, естественно, движется (если dE/dp 6= 0).
F
# Как и в случае обычных частиц, при столкновениях квазичастиц
P
i
Ei=
P
Ef— суммы энергий всех квазичастиц до (ин-
f
декс i) и после (индекс f ) столкновения равны. Закон же сохранения квазиимпульса (или квазиволнового вектора) имеет вид
P
i
ki=
P
kf+ b, где в правой части равенства, помимо суммы
f
всех квазиимпульсов после столкновения, стоит еще произвольный
вектор обратной решетки b. Те процессы, в которых b = 0, называются нормальными столкновениями, а те, в которых b 6= 0,
столкновениями с перебросом.
# Первая зона Бриллюэна (ячейка Вигнера – Зейтца обратной
решетки) — область пространства квазиволнового вектора квазичастицы, содержащая все точки, расположенные ближе к данному
узлу обратной решетки, чем к любому другому. Форма зоны Бриллюэна кристалла определяется только симметрией сопоставляемой
ему прямой решетки (решетки Браве). Например, для алмаза, Si,
64 Глава 3
Ge и α-Sn первые зоны Бриллюэна имеют форму кубооктаэдра. От
химического состава кристалла зависит вид закона дисперсии квазичастицы и размер зоны Бриллюэна, где содержится ровно столько разрешенных неэквивалентных значений квазиволнового вектора, сколько примитивных элементарных ячеек содержит трех-
мерный кристаллический образец.
# Процессы переброса — столкновения частиц (квазичастиц) в
кристалле, при которых их суммарный квазиимпульс изменяется
на величину ћb, где b — вектор обратной решетки. Это процессы
рассеяния (квази)частиц, когда изменение их квазиимпульса выводит его за пределы первой зоны Бриллюэна. В процессе переброса
квазиимпульс ћb передается кристаллу как целому.
# Особенности Ван Хова — особенности (сингулярности) в зависимости плотности состояний квазичастиц в кристалле от их
энергии, связанные с обращением в нуль групповой скорости квазичастиц в некоторых критических точках зоны Бриллюэна.
# Геликон — квазичастица, квант энергии слабо затухающей
электромагнитной волны круговой поляризации в плазме, находящейся во внешнем магнитном поле. Распространение волны происходит вдоль силовых линий магнитного поля. Вращение электрической компоненты волны происходит в направлении, совпадающем
с направлением вращения электронов на циклотронной орбите в
“замагниченной” электрон-ионной плазме.
# Тяжелые фермионы — квазичастицы в различных твердых
растворах (например, CeAl, CeCu6, UB13, UPt3). Тяжелые фермионы обладают зарядом −e < 0, спином 1/2 и эффективной массой
(102–103)m0, где m0— масса электрона в вакууме. Для сравнения: эффективная масса электрона в типичных металлах составляет от 0.1m0до 1m0. Плотность одноэлектронных состояний g(EF)
на уровне Ферми E = EFпри низких (криогенных) температурах
приблизительно от 102до 103раз превышает плотность состояний в нормальных (несверхпроводящих) металлах. Функция g(E)
в окрестности E ≈ EFимеет узкий пик (шириной ≈1 мэВ, что соответствует тепловой энергии kBT при T = 10 К). У металлической
системы с тяжелыми фермионами при криогенных температурах
на поверхности Ферми формируется тонкий (≈10−3pF, где pF—
импульс Ферми) слой электронов, каждый из которых имеет большую эффективную массу.
Решеточные свойства кристаллических систем. Зоны Бриллюэна 65
+1
# Представление состояний и процессов в кристаллах
Натяжение,
равномерность
Податливость,
а) б)
изгиб
“Замороженный”
беспорядок
Атомы, атомные остовы, точечные дефекты
кристаллической решетки, обладающие зарядом +2, 0, −3, −1 (в единицах элементарного
−1
в)
+2
−3
заряда e)
−
e
г)
−
Электроны
проводимости
e
Фотон
д)
Фонон
−
e
c-зона
Рекомбинация электрона (e−) и дырки
(h+) на ловушке. Прыжковый переход
е)
Энергия
+
h
v-зона
электрона между квазилокализованными состояниями в запрещенной энергетической зоне кристаллического полупроводника
Координата
+
Периодичность,
спокойствие
Диссипация
энергии
Броуновское
движение
+
h
Дырки (электронные
вакансии)
h
Плазмон
Магнон
Экситон в двумерном кристалле из “нейтральных” атомов [электрон одного атома возбужден светом на водородоподоб-
ж)
+
h
ную орбиту вокруг электронной вакансии (дырки)] может мигрировать по узлам решетки, перенося энергию возбуж-
−
e
дения, но не электрический заряд
а)–ж) Графика статики и динамики. Условные обозначения атомов, ионов и некоторых элементарных возбуждений в кристалле.
66 Глава 3
# Первая зона Бриллюэна — множество точек, расстояние кото-
рых до заданного узла обратной решетки меньше, чем расстояние
до всех других узлов. Все состояния квазичастиц (электронов cзоны, дырок v-зоны, фононов и др.) в кристалле характеризуются
значениями (квази)волновых векторов k, лежащих внутри или на
поверхности 1-й зоны Бриллюэна.
Кристаллы серого олова, антимонида индия, германия, кремния, арсенида галлия, нитрида галлия, алмаза и некоторых других полупроводниковых материалов имеют гранецентрированную
кубическую решетку Браве, каждому узлу которой сопоставлены
два одинаковых атома (структура алмаза) или два различных атома (структура цинковой обманки, ZnS). Два ближайших атома
отстоят друг от друга на 1/4 пространственной диагонали кристаллографической элементарной ячейки, содержащей 8 атомов.
k
z
Обратной решеткой прямой гранецентрированной кубической решетки является
объемноцентрированная ку-
L
Λ
Γ
Σ
2π
a
k
x
U
Q
W
S
X
Z
k
∆
K
бическая решетка. Если построить первую зону Бриллюэна вокруг одного узла
объемноцентрированной кубической решетки, то полу-
y
чим фигуру в пространстве
квазиволновых векторов kx,
ky, kzв форме кубооктаэдра.
Максимум полной энер-
гии электрона валентной зоны (Ge, Si, GaAs, алмаз) находится
в Γ-точке (kx= ky= kz= 0). Для некоторых полупроводниковых
соединений в v-зоне имеется несколько экстремумов энергии в
окрестности Γ-точки. Минимум полной энергии электрона c-зоны
для InSb, GaAs, GaN также находится в Γ-точке. В кристаллах
германия 8 эквивалентных минимумов (долин) расположены в Lточках на границе зоны Бриллюэна, так что первой зоне Бриллюэна принадлежат 4 долины. В кристаллическом кремнии каждый
из 6 минимумов находится на расстоянии 0.85(2π/a) от центра зоны Бриллюэна (точка Γ) в направлении точек X. Расположение
в k-пространстве шести изоэнергетических минимумов (долин) в
зоне проводимости (c-зоне) монокристалла алмаза (Dia) примерно
такое же, как и в кристаллическом Si.
Решеточные свойства кристаллических систем. Зоны Бриллюэна 67
# Зона Бриллюэна для квазичастиц в кристалле
Термин Определение
Теорема Блоха для волновой функции
квазичастицы
Эквивалентные волновые
векторы
Свойства
точек зоны
Бриллюэна
Зависимость
энергии E
квазичастицы
от ее волнового вектора k
в схеме приведенных зон
Функция Блоха (квази)частицы ψkс волновым вектором k в точке r кристалла имеет вид модулированной
плоской волны: ψk(r) = uk(r) exp(ik·r), где uk(r + a) =
= uk(r) для произвольного вектора a прямой решетки.
Точки k-поверхности зоны Бриллюэна удовлетворяют
условию: k2= (k −b)2, или b2− 2(k·b) = 0, где b —
произвольный вектор обратной решетки.
Векторы k и k0, связанные соотношением k = k0± b,
называются эквивалентными квазиволновыми векторами квазичастицы.
(Квазиимпульс квазичастицы p = ћk, где ћ = h/2π —
постоянная Планка.)
Никакие две точки, расположенные внутри первой зоны Бриллюэна, не являются эквивалентными.
Каждая точка поверхности зоны эквивалентна по крайней мере еще одной точке, также лежащей на поверхности. Для любой точки вне 1-й зоны Бриллюэна всегда
существует эквивалентная ей точка внутри или на поверхности этой зоны.
Любое состояние квазичастицы в кристалле можно
представить в виде суперпозиции состояний со значениями волнового вектора k, лежащими внутри или на
поверхности 1-й зоны Бриллюэна.
Энергия E(k) является многозначной периодической
функцией квазиволнового вектора k, т. е. каждому заданному значению k отвечает несколько значений E.
Поэтому энергию можно описывать несколькими функциями от k, каждая из которых непрерывна внутри
первой зоны Бриллюэна. Значения этих функций энергии разбиваются на энергетические полосы (зоны разрешенных значений энергии квазичастицы). Эти функции могут иметь разрывы лишь на границе зоны Бриллюэна. [Это соответствует схеме приведенных зон, в
которой все энергетические зоны (полосы) E(k) размещены в 1-й зоне Бриллюэна.]
Ограничение области изменения волнового вектора k
значениями, лежащими внутри первой зоны Бриллюэна, условно, так как все k-пространство может быть
заполнено зонами Бриллюэна, центрированными на
различных узлах обратной решетки.
68 Глава 3
PSfrag replacements
# Разрешенные значения энергии электрона проводимости
линейной периодической цепочки атомов металла
Варианты представления зависимости энергии электрона E от
его квазиволнового вектора k в одномерной решетке с периодом
трансляции a — расстоянием между ближайшими атомными остовами (ионами) — показаны для трех зон Бриллюэна (BZ).
а)
E
II BZII BZ
I BZI BZ
III BZIII BZ
k
k
в)
б)
−
−
3π
a
3π
a
−
−
2π
a
2π
a
−
−
−
π
a
π
a
π
a
0
E
0
E
0
π
a
π
a
π
a
2π
3-я зона (полоса)
разрешенных энергий
2-я зона
1-я зона
2π
3π
a
a
a
k
3π
a
а) Расширенная зонная схема, в которой энергетические зоны
размещены в k-пространстве во всех зонах Бриллюэна.
б) Схема приведенных зон, в которой все энергетические зоны
размещены в 1-й зоне Бриллюэна (−π/a 6 k < π/a).
в) Периодическая зонная схема, в которой каждая из энергетических зон (полос разрешенных энергий электрона) периодически повторяется во всех зонах Бриллюэна; энергия E(k) есть
периодическая функция (квази)волнового числа k.
Решеточные свойства кристаллических систем. Зоны Бриллюэна 69
# Законы дисперсии для частиц и (квази)частиц
а)
2
(ћk)
K =
−
e
2m
0
б)
EE
E =cћκ
E
g
k
κ
в)
ћω
0
q
2TO
+
e
E
−
e
г)
3
LO
LA
2TA
0
2π/a
q
−
2π
1
Ec(k)
E
g
k
hh
lh
0
+
h
b
a
0
1
2
2π
a
0
3
Ev(k)
k
50 мэВ
а), б) Зависимости энергии E электрона (e−) и позитрона (e+)
(E/c)2= (m0c)2+ (ћk)2и энергии фотона E(эВ) ≈ 0.197κ(мкм−1)
в вакууме от их волновых векторов k и κκκ. Кинетическая энергия электрона с массой m0равна K = (ћk)2/2m0; порог рождения
электронно-позитронной пары Eg= 2m0c2, где c — скорость света.
в) Зависимость энергии E электрона в c-зоне (дырки в v-зоне)
кристаллического кремния от квазиволнового вектора k в направлении [1 0 0]; зависимость E от k повторяется с периодом 4π/a,
где a ≈ 0.543 нм — период решетки; 1, 10— прямые (вертикальные) переходы электронов из v- в c-зону при поглощении фотонов;
2 — оптический переход с испусканием (поглощением) фонона с
волновым вектором q ≈ kbи энергией ћωq; 3, 30— термализация
электрона, дырки; показаны подзоны тяжелых (hh) и легких (lh)
дырок в v-зоне; kb≈ ±10 нм−1; Eg≈ 1.1 эВ. Кинетическая энергия
электрона с эффективной массой m в одной долине c-зоны Ec(kb)
есть: K = ћ2(k −kb)2/2m.
г) Зависимость энергии ћωqфононов от их квазиволнового век-
тора q в c-Si для направления [100]; LA, LO — продольные акустические и оптические фононы, TA, ТО — поперечные фононы
(зависимость ωqот q повторяется с периодом 4π/a).
70 Глава 3
PSfrag replacements
# Квазиимпульс и квазиэнергия электрона в периодических
по координате и во времени электрических полях
Пространственная периодичность.
Квазиимпульс
1. Электрон в решетке — линейной
периодической цепочке атомов.
U(x)
Энергия электрона Ej(p)
a
Координата x
Стационарная потенциальная энергия взаимодействия электрона с
ионами и электронами периодична:
U(x) = U (x ±a),
где x — координата электрона, a —
параметр одномерной решетки.
2. Волновая функция электрона с
квазиимпульсом p в решетке имеет
вид модулированной плоской волны
(Ф. Блох; 1928 г.):
ψjp(x) = ϕjp(x) exp
i
ћ
px,
где ϕjp(x)=ϕjp(x+a); индекс j нумерует полосы (c- и v-зоны) разрешенных значений энергии; i =√−1.
3. Область (зона) разрешенных
значений квазиимпульса электрона (Л. Бриллюэн; 1930 г.). Энергия
электрона в j-й полосе разрешенных
энергий:
Ej(p) = E
p ±
j
2πћ
a
,
где квазиимпульс p определен с точностью до слагаемого, целочисленно
кратного 2πћ/a.
Состояния электрона с квазиимпульсами p или p ± 2πћ/a, совпадают; ћ = h/2π — постоянная Планка.
Временн´ая периодичность.
Квазиэнергия
1. Электрон (на однородном фоне
нейтрализующего заряда) движется внутри плоского электрического конденсатора.
Генератор
Электрод
e
напряжения
−
Траектория электрона
x
Если генератор создает гармонически изменяющуюся во времени
разность электрических потенциалов между электродами конденсатора, то однородная в пространстве потенциальная энергия электрона между электродами имеет
вид:
U(t) = U0cos(ωt),
где ω = 2π/τ — угловая частота,
τ — период, t — время.
2. Волновая функция электрона
(В. Ритус, Я. Зельдович; 1966 г.):
ψ
(t) = ϕ
где ϕ
E
j
E
j
(t) = ϕ
E
j
E
(t) exp
(t+τ); индекс j ну-
j
−i
ћ
Ejt,
мерует зоны (c- и v-полосы) разрешенных значений энергии.
3. Квазиэнергия электрона в периодическом во времени однородном электрическом поле определена с точностью до слагаемого,
целочисленно кратного ћω.
Состояния электрона с квазиэнергиями Ejили Ej± ћω совпа-
дают.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]