Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 81
решенной энергетической зоне которого из n состояний p не заняты электронами: p воображаемых положительно заряженных дырок создают точно такой ток, как и n − p электронов, частично
заполняющих зону. Сравним две совокупности частиц: 1) n −p
электронов, оставляющих p состояний из n возможных состояний
зоны незанятыми; 2) n электронов, целиком заполняющих зону,
и p воображаемых положительно заряженных электронных вакансий. Тогда токи, образуемые ими, будут одинаковыми, когда
под действием внешнего электрического поля Eexи поля кристаллической решетки Ein(создаваемого всеми зарядами, кроме рассматриваемого) p электронных вакансий будут двигаться таким
же образом, как те p электронов заполненной зоны (2-я совокупность), которые занимают p состояний, свободных в реальной зоне
(1-я совокупность). Электроны целиком заполненной зоны вклада
в электрический ток не дают. Уравнение движения электрона есть
m0dv/dt = −e(Eex+ Ein) = −eE, где m0— масса электрона в ва-
кууме, −e < 0 — заряд электрона. Для того чтобы электронная
вакансия с зарядом +e двигалась с тем же ускорением dv/dt, что и
электрон, уравнение движения должно иметь вид: −m0dv/dt = eE.
Это значит, что электронной вакансии следует приписать массу
−m0. Итак, если вместо p вакантных состояний зоны ввести в
рассмотрение p электронов (m0, −e) и p электронных вакансий
(−m0, +e), то движение n −p электронов сводится к движению p
электронных вакансий; электрон непрерывно сопровождает электронная вакансия и электронейтральность кристалла не нарушается. От введенных выше электронных вакансий (−m0, +e), подверженных действию кристаллического потенциала, можно перейти
к дыркам — квазичастицам с эффективной массой m > 0 и зарядом +e, аналогично тому, как это делается для электронов; замена
−m0на m > 0 учитывает действие сил кристаллической матрицы.
# Эффективная масса электрона и дырки — тензорная вели-
чина, характеризующая в рамках зонной теории кристаллов действие на электрон c-зоны и дырку v-зоны внешних электрических
и магнитных полей, а также градиента температуры. Действие на
электрон ядер атомов, а также других электронов кристалла учитывается заменой массы электрона в вакууме на эффективную
массу плотности состояний md, которая входит в выражение для
концентрации электронов n ∝ m
3/2
. Величина эффективной мас-
d
сы определяется из зависимости энергии электрона от его квазиимпульса E(p). (Квазиимпульс p является аналогом импульса
82 Глава 5
при движении электрона проводимости в кристалле.) Эффективной массой характеризуется и дырка в валентной зоне кристалла.
Эффективная масса электропроводности mσ, входящая в выра-
жение σ = e2nτ/mσ, где e — элементарный заряд, τ — среднее время изотропной релаксации квазиимпульса, определяется отношением приложенной внешней силы к ускорению электрона и входит
также в выражение для средней кинетической энергии mσv2/2 =
= 3kBT/2, где kB— постоянная Больцмана, T — абсолютная тем-
пература. Циклотронная эффективная масса mc= (1/2π)∂A/∂E,
где A — площадь экстремального сечения изоэнергетической поверхности E(p) = const плоскостью, нормальной к магнитному полю. Для квадратичного изотропного закона дисперсии, т. е. когда
E(p) = p2/2m, имеем: m = md= mσ= mc. При введении эффектив-
ной массы в случае произвольного закона дисперсии E(p) речь
может идти об удобстве того или иного определения, о большей
или меньшей связи с известными и привычными в физике понятиями. Свойства полупроводников во многом обусловлены свободными (между актами рассеяния и/или рекомбинации) электронами и дырками, которые отличаются величинами масс (а дырки и
знаком заряда) от массы электрона в вакууме. Однако приближение эффективной массы не описывает опыт Толмена – Стюарта:
действие на электрон проводимости сил инерции с ускорением a
эквивалентно действию на него однородного электрического поля
напряженностью (m0/e)a, где m0= me— масса электрона в вакууме. В этом случае каждый электрон (массой m0) движется с
ускорением a независимо от степени заполнения электронами зоны проводимости (c-зоны) и валентной зоны (v-зоны) кристалла.
# Для описания равновесных свойств электронов проводимости
и дырок в кристаллических полупроводниках важна сравнительно малая часть зоны Бриллюэна, отвечающая экстремумам энергии (“дно” и “потолок” зоны разрешенных энергий). Окрестность
абсолютного минимума в зависимости энергии электрона c-зоны
(дырки v-зоны) от квазиимпульса называют долиной, а кристал-
лы с несколькими минимумами — многодолинными. В кристал-
лах Si и Ge вблизи каждого минимума энергии электронов c-зоны
изоэнергетическая поверхность имеет вид эллипсоида вращения; в
кристалле Si в первой зоне Бриллюэна расположено 6 долин, в Ge
на первую зону Бриллюэна приходится 4 долины. В состоянии термодинамического равновесия электроны распределяются поровну
между долинами. Изоэнергетические поверхности вблизи миниму-
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 83
ма энергии легких и тяжелых дырок v-зоны в Si и Ge имеют вид
гофрированных сфер, расположенных в центре зоны Бриллюэна.
Для Si доля легких дырок (lh) составляет приблизительно 14 % от
общего числа дырок (lh+ hh), а для Ge — 4 %.
# С одной стороны, в зонной теории электрические свойства твердого тела определяются квазичастицами — электронами и дырками, которые отличаются величиной массы (а дырки и знаком
заряда) от свободного электрона. С другой стороны, в опытах
Толмена – Стюарта (измерялось количество электричества, прошедшее по вращающейся катушке провода за время ее торможения) и Барнетта (измерялся механический момент, возникающий
в катушке при изменении величины протекающего через нее заряда) было установлено, что отношение массы к заряду носителей
электричества даже у металлов (Be, Zn, Cd) с положительным
значением постоянной Холла равно −m0/e < 0, где m0— масса
электрона в вакууме, e > 0 — элементарный заряд. Таким образом, описание твердого тела в полях неэлектромагнитной природы (инерционном, гравитационном) в рамках приближения эффективной массы не адекватно опыту. Например, в одноэлектронном
приближении действие на электрон поля инерции с ускорением g
эквивалентно действию на него однородного электрического поля
с напряженностью m0g/e; поле сил инерции действует на каждый
электрон в отдельности, независимо от степени заполнения электронами энергетической зоны.
# Гальванометр — электромеханический прибор, измеряющий
(или регистрирующий) силу электрического тока по магнитному
действию этого тока. В гальванометре ток пропускается через провод (проводник электричества), намотанный таким образом, чтобы он многократно проходил вокруг некоторой открытой области
пространства, где на диэлектрической нити подвешен постоянный
магнит, и создавал в этой области электромагнитную силу, интенсивность которой измеряется по углу поворота магнита на нити.
# Толмена – Стюарта опыт — измерение количества электриче-
ства, проходящего через вращающуюся катушку из металлической
проволоки за время ее торможения. Р. Толменом и Т. Стюартом
экспериментально выявлено (1916 г.), что отношение массы к заряду носителей электричества в проводниках равно −m0/e < 0,
где m0= me— масса электрона в вакууме; e > 0 — элементарный заряд. Идея этого электронно-инерционного опыта предложе-
84 Глава 5
на Дж. Максвеллом (1873 г.). Пусть кольцо радиусом rcиз металлической проволоки равномерно вращается вокруг своей оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. (Для
достаточно тонкой проволоки зависимостью линейных скоростей
ионов и электронов кольца от расстояния до оси вращения можно
пренебречь.) При торможении кольца электроны проводимости в
течение некоторого времени будут двигаться по инерции относительно ионов металла, в результате чего возникнет зависящий от
времени t ток I (t), и некоторое количество электричества Q будет
перенесено в кольце. Если бы электроны были жестко связаны с
ионами, т. е. двигались бы с той же скоростью, что и ионы, ток в
кольце не возник бы. (Движение электронов и ионов с одинаковой
по величине скоростью в одном направлении создавало бы равные по величине и противоположно направленные токи.) Исходя
из представлений о сосуществовании в металле делокализованных
электронов и локализованных ионных остовов, можно вычислить
количество электричества, прошедшее по электрической цепи за
время ее торможения. Пусть линейная скорость ионов и электронов равномерно вращающегося кольца до начала его торможения
есть v, а ускорение кольца при торможении ac< 0 (направлено по
касательной к окружности кольца). Тогда при торможении кольца
электроны проводимости, двигаясь по инерции, приобретут ускорение −ac. Движение электронов будет таким, как если бы на каждый из них действовало однородное электрическое поле напряженностью ETS, определяемое так: −eETS= −m0ac, здесь −e < 0 —
заряд электрона. В результате смещения электронов проводимости
относительно ионов в кольце возникает переменный во времени
t ток электронов I , который определяется из дифференциального
уравнения Кирхгофа для электрической цепи:
dI
L
+ RI =IETSdlc=
dt
m
0
edvdt
lc,
где L — индуктивность кольца; R — электрическое сопротивление
кольца; ac= dv/dt — ускорение кольца; lc= 2πrc— длина окружности кольца радиусом rc.
Интегрируя приведенное выше уравнение Кирхгофа по времени
t от начала торможения кольца при t = t1до остановки кольца при
t = t2, получаем
Z
t
R
2
I dt = RQ = −
t
1
m
0
lcv,
e
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 85
так как в моменты времени t1и t2ток I (t1) = I(t2) = 0, и индуктивность L кольца не дает вклад в количество электричества Q, которое будет перенесено в кольце за время торможения; v(t1) = v —
начальная скорость кольца, v(t2) = 0 — конечная скорость кольца.
Итак, отношение m0/e можно найти по известным значениям
электрического сопротивления кольца R, диаметра кольца lc/π, линейной скорости его вращения до начала торможения v, а также
измеренному количеству электричества Q, иначе суммарному заряду, прошедшему по кольцу за время торможения t2− t1.
На практике вместо кольца используется цилиндрическая катушка из медной проволоки, которая приводится в быстрое вращение вокруг своей оси, и затем быстро останавливается. Неподвижным баллистическим гальванометром, присоединенным гибкими
проводами к концам катушки, измеряется количество электричества Q, прошедшее через катушку за время торможения t2−t1, а по
знаку возникшей разности электрических потенциалов ETSlc= U
TS
определяется знак зарядов, образующих ток. Конкретно, отношение −m0/e < 0 определяется из соотношения RQ = −(m0/e)lcv, где
R — суммарное электрическое сопротивление катушки, гибких
проводов и баллистического гальванометра, lc— длина проволоки
в катушке, v — линейная скорость вращения катушки до начала
ее торможения.
Найденное отношение массы к заряду носителей тока как у
металлов с положительным эффектом Холла (Al, Zn, Mo, Nb, W,
V), так и у металлов с отрицательным эффектом Холла (Au, Ag,
Pt, Cu) по знаку и по величине оказалось равным −m0/e < 0, т. е.
как для электронов в вакууме. Исходя из этого факта, некоторые
исследователи утверждали: “предположение, что положительный
эффект Холла можно объяснить, принимая положительное значение m0/e > 0, опровергнуто, поскольку на опыте это отношение
отрицательно и для металлов с положительным коэффициентом
Холла”. В результате некоторое время ошибочно считалось, что
электронно-инерционные опыты дают прямое доказательство того факта, что носителями заряда в проводниках являются только
электроны с массой m0> 0, и отрицательным элементарным зарядом −e < 0. Однако, теория кристаллических (полу)проводников
электричества показывает, что их термодинамические и кинетические свойства обусловлены квазичастицами — электронами (с
отрицательным зарядом −e < 0 и эффективной массой mn> 0)
и/или дырками (с положительным зарядом e > 0 и эффективной
86 Глава 5
массой mp> 0). Итог: в условиях, когда свойства квазичастиц в
(полу)проводнике не проявляются, можно определить отношение
массы к заряду их подвижных структурных единиц — свободных
электронов на фоне неподвижных ионных остовов.
# Энергетические зоны — квазинепрерывные совокупности од-
ночастичных квантовых состояний в энергетическом спектре многочастичной системы (например, кристалла). Возникновение зон
(полос) обусловлено тем, что при агрегации свободных атомов
(молекул) в кристалл происходят расщепления и сдвиги их уровней энергии вследствие перекрытия электронных оболочек атомов.
Стационарное состояние электрона (дырки) в кристалле характеризуется номером энергетической зоны и квантовыми числами
(квазиимпульсом, магнитным моментом), определяющими энер-
гию электрона в зоне. Если на движение электрона проводимости накладываются пространственные ограничения (например, при
уменьшении толщины кристаллической пленки и/или наложении
внешнего магнитного поля), то энергетические зоны расщепляются
на подзоны. При введении в кристалл атомов примесей формируются примесные энергетические зоны, расположенные в запрещенной зоне или в зоне разрешенных энергий.
# Разрешенная энергетическая зона (полоса) — область зна-
чений энергии, которые может принимать квантовая система; интервал энергий, заполненный собственными значениями энергии
квазичастицы в кристалле. Разрешенные энергетические зо-
ны электронов в кристалле образованы совокупностью атомных
уровней энергии, “расщепившихся” в результате агрегации атомов
в кристаллическую матрицу, т. е. это области разрешенных значений полной энергии электрона. Хотя структура зоны дискретна, уровни весьма близки (квазинепрерывны) и им соответствуют
делокализованные волновые функции — вероятность обнаружить
электрон в любой точке кристалла одинакова.
# Валентная зона (v-зона) кристаллического полупроводника
(диэлектрика) — наивысшая по энергии разрешенная энергетическая зона, заполненная электронами или содержащая малое число
дырок при абсолютной температуре T → 0. Зона проводимости
(c-зона) — низшая по энергии разрешенная энергетическая зона, незаполненная или содержащая малое число электронов при
T → 0. Энергетическое расстояние от дна c-зоны до уровня вакуу-
ма называют электронным сродством EA (для кристаллов крем-
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 87
ния и германия EA ≈ 4 эВ). Сродство к электрону одиночного атома есть разность его энергий в нейтральном и отрицательно заряженном состояниях; положительное сродство означает, что анион
более стабилен, чем нейтральный атом. Разность энергий между
уровнем Ферми и уровнем вакуума называется работой выхода
электрона.
# Запрещенная зона (энергетическая щель) кристалла — ми-
нимальная разность электронных энергий между дном c-зоны и
потолком v-зоны. Появление щели связывается с брэгговскими отражениями электронных волн от атомных плоскостей кристаллической структуры.
# Многодолинный кристаллический полупроводник имеет
несколько минимумов (максимумов) энергии электронов в c-зоне
(дырок в v-зоне) при различных значениях квазиимпульса.
# Ферми-поверхность — поверхность постоянной энергии в про-
странстве вектора квазиимпульса, отделяющая занятые состояния
электронов в зоне проводимости металла (или в валентной зоне
вырожденного полупроводника p-типа) от незанятых при абсолютном нуле температуры. Поверхность Ферми показывает, какие из
квазиимпульсов в зоне Бриллюэна соответствуют занятым одноэлектронным состояниям, а какие — свободным.
# Ферми-жидкость — квантовая жидкость, в которой элемен-
тарные возбуждения (квазичастицы) обладают полуцелым (в единицах постоянной Планка ћ = h/2π) спином; пример: электроны
проводимости нормального металла.
# Энергия Ферми EFобозначает границу между занятыми и свободными электронными состояниями в зоне разрешенных значений энергии в пределе нулевой абсолютной температуры. Фермиповерхности в энергетической зоне (полосе энергий) с номером j
соответствует уравнение EF= Ej(p) = Ej(p+ћb), где p — квазиимпульс электрона проводимости, b — вектор обратной решетки. В
трехмерном кристалле может быть несколько частично заполненных зон, так что в этом случае поверхность Ферми принадлежит
нескольким зонам — имеет полости (листы, ветви, долины), соответствующие различным энергетическим зонам. Если поверхность
Ферми или одна из ее полостей непрерывно проходит через всю зону Бриллюэна, ее называют открытой, если же она замыкается
внутри одной зоны Бриллюэна (конечно, периодически повторяясь
в остальных), то такую поверхность называют замкнутой. Огра-
88 Глава 5
ниченный поверхностью Ферми объем ΓF, приходящийся на одну
элементарную ячейку (зону Бриллюэна) в пространстве квазиимпульсов, определяется концентрацией электронов проводимости в
металле 2ΓF/(2πћ)3= n. Радиус сферы Ферми для типичных ме-
таллов ≈ћ/a, где a — постоянная решетки; обычно n ≈ a−3. Число электронов проводимости металла равно числу электронов в
частично заполненных энергетических зонах, образованных внешними электронными оболочками атомов. У полуметаллов и вырожденных полупроводников объем под поверхностью Ферми мал по
сравнению с объемом элементарной ячейки в пространстве квазиимпульсов (1-й зоны Бриллюэна). Если занятые электронные
состояния находятся внутри поверхности Ферми, то она называется электронной, если же внутри поверхности Ферми электронные
состояния свободны, то такая поверхность называется дырочной;
vnF— скорость электрона на “электронной” поверхности Ферми;
vpF— скорость электрона на “дырочной” поверхности Ферми. Вы-
рождение электронного газа нормальных (несверхпроводящих)
металлов проявляется в том, что многие процессы в них определяются только электронами с кинетической энергией E ≈ EF≈ 5 эВ,
в то время как большая часть электронов проводимости “заморожена” принципом Паули; kBT ≈ 26 мэВ при T ≈ 300 К.
# Полярон — квазичастица, описывающая автолокализованное
состояние одиночного электрона c-зоны (или дырки v-зоны) в деформируемом ионном кристалле. Достаточно медленный электрон
локально искажает кристаллическую решетку (иначе матрицу) в
месте своего нахождения, и возникающая при этом поляризация,
в свою очередь, воздействует на электрон и уменьшает его энергию. Уменьшение энергии полярона по отношению к энергии электрона c-зоны в неискаженной решетке называется энергией связи
полярона и складывается из трех слагаемых: 1) уменьшения энергии взаимодействия Up< 0 электрона c окружающими его ионами; 2) увеличения упругой энергии Ud> 0 из-за наведенной электроном локальной деформации в его окружении; 3) кинетической
энергии локализации Kl> 0 электрона в потенциальной яме. Вероятные порядки величин можно оценить следующим образом. Так
как положительные ионы смещаются по направлению к электрону,
а отрицательные удаляются, то до смещения ионов потенциальная
энергия другого электрона на расстоянии r от рассматриваемого
равна e2/4πε2r, где ε2— высокочастотная абсолютная диэлектрическая проницаемость кристалла, а после смещения e2/4πε1r, где
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 89
ε1— низкочастотная абсолютная диэлектрическая проницаемость.
Если на расстоянии rpот электрона кристаллическая матрица полностью поляризована, то потенциальная яма, которую “формирует”
электрон, имеет вид: Up= −e2/4πεprpпри r 6 rpи U = −e2/4πεpr
при r > rp, где ε
−1
p
= ε
−1
2
− ε
−1
. Потенциальная энергия упругой
1
деформации (искажения) кристалла вокруг электрона
Z
Ud= 2πε
∞
2
E
p
r2dr = −
r
p
r
U
p
, где eEr= −
2
dU
.
dr
Так называемая кинетическая энергия локализации электрона
(т. е. энергия, которую имеет электрон вследствие локализации
внутри сферы радиуса rp) равна Kl≈ π2ћ2/2mr
2
, где m — эффек-
p
тивная масса электрона в неискаженной решетке. Энергия связи
полярона находится путем минимизации Up+Ud+ Klпо rpи равна
e2/16πεprp, где rp≈ 8π3ћ2εp/me2— так называемый радиус поля-
рона. Если в полной энергии электрона преобладает кинетическая
энергия движения, то rp a, где a — межатомное расстояние (пе-
риод решетки), и образуется полярон большого радиуса. Это соответствует тому, что электрон продолжает свое движение в c-зоне,
но его эффективная масса возрастает. Если rp≈ a, то электрон за-
хватывается каким-либо одним ионом (“садится” на ионную орбиту) и возникает полярон малого радиуса. В кристалле состояния
поляронов малого радиуса перекрываются и образуют поляронную
зону, подобную c-зоне в жесткой решетке, однако поляронная зона достаточно узка и ее ширина экспоненциально уменьшается при
повышении температуры T. При T < TD, где TD— температура Дебая, полярон движется без изменения числа фононов (туннелирует
сквозь кристалл, увлекая за собой облако поляризации), т. е. имеет место зонный (когерентный) механизм миграции. При T > T
движение поляронов малого радиуса осуществляется “прыжками”
из одного узла в эквивалентный, который образуется при аналогичном искажении решетки. Для такой деформации требуется энергия, которая поставляется фононами и движение полярона можно рассматривать как туннелирование между соседними узлами с
помощью фононов (некогерентная миграция; электрон долго находится вблизи одного иона перед тем, как перейти на другой).
Уровень энергии электрона, квазилокализованного на данном узле
кристаллической решетки, является функцией мгновенного положения атомов. Из-за атомных колебаний эти положения меняются,
и в некоторый момент времени может возникнуть ситуация, при
D
90 Глава 5
которой энергия узла с квазисвязанным электроном равна энергии
ближайшего соседнего узла без электрона. Образование потенциальной ямы на узле, где нет электрона, энергетически невыгодно,
и вероятность возникновения такой флуктуации пропорциональна exp(−Ep/2kBT), где Ep— энергия связи полярона. Туннельный переход полярона происходит в условиях, когда уровни энергии в обеих ямах одинаковы. Термин “автолокализация электрона”
следует понимать в несколько условном его смысле: в отсутствие
каких-либо структурных дефектов полярон может быть с равной
вероятностью обнаружен в любой точке кристалла. Если два полярона объединяются в пару, то возникает биполярон — бозеподобное связанное состояние, для которого характерно коллективное
поведение входящих в него (квази)частиц.
# Квазиимпульс в одноэлектронной зонной теории появляется
как следствие инвариантности гамильтониана кристалла относительно трансляции электрона на постоянную кристаллической решетки. На вероятность пребывания электрона в данной точке
кристалла никак не влияют остальные электроны, т. е. эффекты корреляции между электронами отсутствуют. Но при сильном
электрон-электронном взаимодействии (корреляции) гамильтониан
не обладает указанным свойством симметрии для одного электрона: он инвариантен только относительно трансляции на постоянную решетки всех электронов в кристаллической структуре.
# Временем жизни носителя заряда (электрона, дырки) в кри-
сталлическом полупроводнике (и диэлектрике) называют средний
интервал времени, в течение которого заряд может свободно (или
с рассеянием) перемещаться по кристаллу (и тем самым вносить
вклад в электропроводность, теплопроводность и т. д.); среднее
время пребывания электрона в c-зоне и/или дырки в v-зоне.
# Упругая деформация кристаллического полупроводника изме-
няет ширину Egзапрещенной энергетической зоны с ростом давления P. При температуре T ≈ 300 К всестороннее сжатие Si дает
dEg/dP ≈ −1.5·10
−11
эВ/Па; Ge — dEg/dP ≈ +5·10
−11
эВ/Па.
# Зона проводимости (c-зона) и валентная зона (v-зона) об-
разованы совокупностью уровней энергии атомов, “расщепившихся” в результате объединения свободных атомов в кристаллическую структуру (иначе решетку, матрицу). Энергетическая щель
Egмежду дном c-зоны и потолком v-зоны определяется постоянной кристаллической решетки. В кристалле из N идентичных ато-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]