Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Оптические и электрические свойства полупроводниковых материалов 221
двумя объектами, когда их изображения еще не сливаются в одно
изображение), определяется (Э. Аббе; 1872 г.) отношением длины
световой волны λ к удвоенному показателю преломления n материала: d
= λ/2n (для видимого света d
min
≈ 0.4–0.8 мкм).
min
# Антилазер — когерентный идеальный поглотитель светового
излучения с определенной длиной волны. Электромагнитное излучение, падающее на объект, полностью поглощается в этом объекте, так что во внешней по отношению к объекту области отсутствует отраженное или рассеянное объектом излучение. Вся поглощенная энергия излучения преобразуется в тепловую энергию.
Идею антилазера предложил А. Хапалюк (1962 г.).
# Концентратор солнечного света — устройство, собирающие
солнечное световое излучение (в диапазоне длин волн от 0.38 до
0.75 мкм) для повышения его интенсивности в ограниченной области пространства. На входе в атмосферу Земли интенсивность
солнечного света ≈1367 Вт/м2, а на уровне моря (на экваторе) —
1020 Вт/м2. (Мощность излучения 1 Вт = 1 Дж/с.) На Земле интенсивность солнечного света можно увеличить путем его концентрации линзами и/или зеркалами. Далее повысить интенсивность
света можно путем “сжатия” расходящихся от изображения солнечного диска лучей другим оптическим устройством, не формирующим изображение этого вторичного источника света. Простейший неизображающий концентратор солнечного света — это полая
коническая воронка из металла (с зеркальной внутренней поверхностью): свет, попавший в воронку через большее отверстие, напрямую или после одного-двух отражений от стенок воронки выходит из воронки через меньшее отверстие. При прохождении светом
воронки изображение его источника не формируется, но для цели
лишь концентрации лучей света в этом нет необходимости.
# Структурный цвет — цвет материала, который в большей сте-
пени определяется микро- и наноструктурой отражающей поверхности, чем ее химическим составом. Так, если на стеклянной пластине, покрытой тонким слоем серебра, создать регулярно расположенные канавки (глубиной 170 нм, шириной 40 нм и расстоянием
между канавками 180 нм), то канавки “захватывают” красный свет
(длина волны 640 нм), и отражаемый белый свет воспринимается
как голубой цвет (циан, сине-зеленый цвет).
# Рассеяние света на диэлектрических частицах микронных
размеров. Интенсивность света, рассеянного на диэлектрической
222 Глава 12
частице (микронных размеров сферической формы), зависит от того, сколько раз длина волны света укладывается на диаметре частицы. Если диаметр частицы равен нескольким длинам световой
волны, то чередование максимумов и минимумов в диаграмме направленности рассеянного света становится частым. Так, при падении солнечного света (непрерывный спектр электромагнитного
излучения в оптическом диапазоне длин волн) на “газ” частиц наблюдатель увидит белый рассеянный свет. В этом состоит причина
белого цвета молока (с шариками жидкого жира) и облаков (с капельками воды и кристалликами льда).
# Три схемы антистоксовой фотолюминесценции на атомах ак-
тиватора (атомах примеси) в кристаллических материалах. 1) Каскадный процесс последовательного поглощения фотонов уединенными атомами активатора приводит к заселению электронами их
возбужденных состояний. Этот процесс преобладает при малых
концентрациях активатора. 2) Двухфотонный процесс реализуется при отсутствии у атома активатора уровней энергии, разность
между которыми равна энергии одиночного фотона. Одновременное поглощение активатором двух фотонов, происходящее без участия его реальных промежуточных возбужденных состояний, возможно лишь при высокой плотности возбуждающих люминесценцию материала фотонов. Два фотона, участвующих в возбуждении
атома активатора, могут иметь разную энергию. 3) Суммирование
(кумуляция) энергии фотовозбуждения нескольких атомов активатора происходит в одном излучающем атоме активатора. Для
реализации этой схемы антистоксового повышения энергии испускаемого фотона (по сравнению с энергией поглощенного фотона) концентрация атомов активатора должна быть достаточно
большой [чтобы обеспечить передачу энергии электронного (или
электронно-колебательного) возбуждения между ближайшими по
расстоянию атомами активатора].
# Полное внутреннее отражение наблюдается тогда, когда луч
света переходит из материала с большим показателем преломления
в материал с меньшим показателем преломления, т. е. из оптически более плотного материала в оптически менее плотный материал. В этом случае угол преломленного света больше угла падающего света, и при достижении угла Брюстера преломленный свет
распространяется вдоль границы раздела материалов, т. е. угол
преломления равен 90◦. При дальнейшем увеличении угла падения
Оптические и электрические свойства полупроводниковых материалов 223
луча, он частично проникает в оптически менее плотный материал,
но затем возвращается обратно в оптически более плотный материал. Глубина этого проникновения сопоставима с длиной волны
отражаемого света. Таким образом, вся световая энергия, за исключением малой ее доли, поглощенной оптически менее плотным
материалом, отражается. Это явление используется в волоконнооптических линях связи, перископах и др.
# Плазмоны — квазичастицы, возникающие в материалах за
счет коллективных колебаний электронов c-зоны и/или дырок vзоны, а также электронов v-зоны относительно неподвижных ионных остовов. Поперечная электромагнитная волна с частотой ниже
плазмонной частоты отражается от материала, потому что электроны c-зоны (электроны проводимости) успевают экранировать
электрическую компоненту волны. Поперечная электромагнитная
волна с частотой выше плазмонной частоты проникает в материал,
потому что электроны не успевают экранировать электрическую
компоненту волны. Плазмонная частота для металлов (Ag, Al, Na)
находится в ультрафиолетовой области спектра, делая их “блестящими” в видимом диапазоне. Возбуждать плазмоны могут только продольные электромагнитные волны, у которых электрическая
компонента волны параллельна их волновому вектору. Наряду с
обычными (или объемными) плазмонами существуют поверхност-
ные плазмоны — плазмоны на поверхности материала и/или на
границе раздела материалов при наличии там делокализованных
(иначе, “свободных”) электронов.
# Поверхностный плазмонный резонанс — возбуждение коле-
баний электронов на резонансной частоте поверхностного плаз-
мона под действием внешней электромагнитной волны. Резонанс
возникает при условии равенства импульсов поверхностного плазмона и параллельной поверхности компоненты вектора импульса
фотона. Для наблюдения поверхностного плазмонного резонанса используют явление полного внутреннего отражения, когда
часть электромагнитной волны распространяется вдоль поверхности раздела материалов и может взаимодействовать с электронами
на этой поверхности. Проекция импульса фотона вдоль поверхности зависит от его энергии и угла падения. Изменяя угол падения,
можно добиться выполнения условия поверхностного резонанса,
когда часть энергии света при полном внутреннем отражении будет поглощаться плазмонами на поверхности.
224 Глава 12
# Плоские электромагнитные волны и свободные электроны
c-зоны (дырки v-зоны) в кристаллических полупроводниках
Классическая плоская
электромагнитная волна
Напряженности электрического E = E0exp[−i(ωt −κκκ·r)]
и магнитного H полей волны
с угловой частотой ω и волновым вектором κκκ; i =√−1
Электрон зоны проводимости (c-зоны)
(квазиклассическое приближение)
Блоховская волновая функция электрона c волновым вектором k в точке r кристаллического образца есть ψk(r) = ψB.
Плотность вероятности найти электрон
c-зоны в точке r равна |ψk(r)|
Поляризация Спин
Плотность энергии волны:
1
2
(εE
2
0
+ µH
2
),
0
где ε = εrε0, µ = µrµ0— диэлектрическая и магнитная
проницаемости кристалла
Волновое уравнение
∇2E0= −ω2εµE0,
Энергия электрона E = E
+Uim(r) — сумма его кинетической энер-
гии E
гии в электростатическом поле U (r) кристаллической матрицы и в электростатическом поле Uim(r) атомов примесей
Стационарное уравнение Шредингера
−
где εµ — произведение диэлектрической и магнитной
проницаемостей кристалла;
D = εE, B = µH — электрическая и магнитная индукции в точке r в момент вре-
мени t; ∇2— лапласиан
где ћ — постоянная Планка, m0— масса электрона в вакууме, ψm— волновая
функция электрона с эффективной массой m в кристалле
2
(r) + U (r) +
kin
(r) и его потенциальной энер-
kin
2
ћ
∇2+ U (r) + Uim(r)ψB= EψB;
2m
0
2
ћ
−
∇2+ Uim(r)ψm= Eψm,
2m
Показатель преломления
˜
n =√εrµr— отношение
скорости света в вакууме
c = 1/√ε0µ0к фазовой ско-
рости волны в кристалле
vr= c/√εrµ
r
Для нелегированного кристалла аналог
˜
n — потенциальная энергия U или отно-
шение m/m0эффективной массы электрона в кристалле к массе электрона в
вакууме. Для легированного кристалла
аналогом˜n является U
im
Закон дисперсии: κ2= εµω2Закон дисперсии: k2= (2m/ћ2)E
Групповая скорость волны
vg= ∂ω/∂κ
κ
κ
Плотность потока энергии
(усредненная за период)
Π = [E0×H0]/2
Плотность импульса: Π/v
Групповая скорость электрона
vk= ∂E
kin
Плотность электрического тока
J = (ieћ/2m)(ψ
∗
∇ψm− ψm∇ψ
m
где e — элементарный заряд
2
(Квази)импульс электрона: ћk
g
/∂(ћk)
kin
∗
),
m
Оптические и электрические свойства полупроводниковых материалов 225
# Экранирование внешнего электростатического поля в однородно легированном ковалентном кристаллическом полупроводнике (приближения Дебая – Хюккеля и Шоттки – Мотта)
Электронейтральный кристаллический образец, занимающий
полупространство x > 0 и содержащий в единице объема n
электронов проводимости, Nd= N0+ N+1водородоподобных
доноров и Na= N−1акцепторов; n + N−1= N+1.
Металлическая пластина площадью A (в плоскости yz)
−
+
Локальная связь между плотностью наведенного внешним полем
объемного заряда ρ(x) и электростатическим потенциалом ϕ(x) в
полупроводнике n-типа определяется из уравнения Пуассона
d2ϕ
dx
12d
=
2
dϕ
dϕ
dx
2
=
−ρ(x)
ε
e
=
[n(x) + N−1−N+1(x)] =
ε
−ρ(ϕ(x))
ε
где e — элементарный заряд, ε = εrε0— диэлектрическая проницаемость кристаллической матрицы; ϕ(x) < 0, если ρ(x) > 0.
При слабом легировании (среднеквадратичная флуктуация термической энергии ионизации доноров по кристаллу меньше тепловой энергии kBT) имеем: Nd/N+1(x) = 1+(N0/N+1) exp[eϕ(x)/kBT].
Для невырожденного полупроводника [уровень Ферми EF(x) =
= EF+ eϕ(x) расположен в запрещенной энергетической зоне]:
n(x)/n = exp[eϕ(x)/kBT], где T — абсолютная температура.
В приближении Дебая [e|ϕ(0)| kBT; ρ(x) = −εϕ(x)Λ
−2
D
] потенциал ϕ(x) = ϕ(0) exp(−x/ΛD), где длина ΛD— экранирования
поля −dϕ/dx в слабо легированном невырожденном кристалле;
−2
Λ
= (e2/εkBT)(n + N0N+1/Nd) = −(1/ε)[dρ(ϕ)/dϕ]|
D
Величина ΛDопределяет плотность наведенного заряда так:
R
∞
ρ(x) dx = ε dϕ/dx|
0
= Qi/A = ΛDρ(x = 0).
x=0
ϕ=0
.
В приближении Шоттки [e|ϕ(0)| kBT; ρ(0 6 x 6 ΛS) =
= e(Nd− Na), когда приповерхностная область образца обеднена
электронами, а концентрацией дырок в v-зоне можно пренебречь]
ϕ(x) = −(e/2ε)(Nd− Na)(x − ΛS)2, где Λ
длина экранирования, Qi/A = ΛSρ(x = 0) =
2
= −2εϕ(0)/e(Nd− Na) —
S
R
∞
ρ(x) dx — плот-
0
ность наведенного заряда. Электрическая емкость образца
,
C = −dQi/dϕ(0) = εA/Λ = εA2ρ(x = 0)/Qi,
где Λ = ΛDили Λ = ΛSв соответствующих приближениях.
226 Глава 12
Ui=
U
0
ε
r
# Диэлектрические свойства неметаллических материалов в
электрическом поле
а)
QL
U0=
ε0A
L
Вакуум
+Q+Q
−
−
−
+
−
d
+
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−Q−Q
U0=
−
+
−
+
−
+
QL
ε0A
−
+
−
+
−
+
Диэлектрик
Диполь
Электрод
площадью A
с зарядом −Q
б)
(op) (ip) (ep)
Re
Im
проницаемость
Диэлектрическая
Частота
а) Схема влияния электрических диполей атомных размеров
(d L) на макроскопическую разность электростатических потенциалов Uiв плоском конденсаторе с расстоянием L
√
A между
металлическим пластинами (электродами). Заряды на поверхности
диэлектрика с проницаемостью εrε0частично компенсируют заряды на электродах, что приводит к ослаблению напряженности
электрического поля в диэлектрике Ei= E0/εr= Q/Aεrε0по сравнению с вакуумом. Макроскопическое поле Eiмежду обкладками конденсатора складывается из созданного внешними зарядами
первичного электрического поля напряженностью E0= U0/L и вторичных полей, созданных каждой молекулой диэлектрика.
б) Зависимость действительной (Re) и мнимой (Im) частей ди-
электрической проницаемости εrε0от частоты приложенного электрического поля E0для материала с ориентационной (op), а также
индуцированной ионной (ip) и электронной (ep) поляризациями.
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты внешнего
электрического поля обусловлена запаздыванием процессов установления поляризации по отношению к изменению напряженности
внешнего электрического поля E0и сопровождается появлением
диэлектрических потерь (мнимая часть εr).
Оптические и электрические свойства полупроводниковых материалов 227
# Приближение Клаузиуса – Моссотти – Лоренца – Лоренца
При низких температурах для полупроводника с концентрацией водородоподобных доноров N = N0+ N+1в зарядовых состояниях (0) и (+1) и акцепторов в зарядовом состоянии (−1) с концентрацией N−1= KN выполняется условие электрической нейтраль-
ности: N+1= N−1, здесь K < 1 — степень компенсации доноров.
Низкочастотная диэлектрическая проницаемость связывает локальное электрическое поле El, действующее на каждый поляризующийся атом (собственный или примесный), со средним полем
Eavв полупроводнике от внешнего источника напряжения.
Исходя из линейной суперпозиции электрических полей от атомов кристаллической матрицы с концентрацией Nmи поляризуемостью αmодного атома матрицы и от электрически нейтральных
доноров с концентрацией N0= (1 − K)N и поляризуемостью α0одного донора в зарядовом состоянии (0), получаем
El= Eav+ [(αmNm/βm) + (α0N0/3)]El, (1)
где параметр βmучитывает симметрию кристаллической структуры полупроводника (βm= 3, если атомы матрицы образуют простую кубическую решетку или распределены хаотично); Nm N0.
Поляризуемость уединенного (одиночного) электронейтрального донора: α0= 18πa
3
, где aH= e2/8πεrε0Id— боровский радиус
H
орбиты “оптического” электрона донора с энергией ионизации Id;
εrε0— статическая диэлектрическая проницаемость кристалличе-
ской матрицы, ε0— электрическая постоянная. Средний радиус
сферической области кристалла, приходящейся на один атом примеси Rim≈ 0.62[(1 + K)N]
−1/3
. Использование величины εrε0в вы-
ражении для боровского радиуса aHоправдано при Rim aH.
Суммарная макроскопическая поляризованность атомов кристаллической матрицы и электрически нейтральных доноров есть
(αmNm+ α0N0)El= [εr(N0) −1]Eav, (2)
где εr(N0) — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника (без учета поляризуемости ионов примесей).
Из (1) и (2) следует макроскопическая статическая относительная диэлектрическая проницаемость примесного полупроводника
εr(N0) = 1 +
3(εr− 1)βm+ 3(εr− 1 + βm)α0N
3βm− (εr− 1 + βm)α0N
0
0
. (3)
При N0→ 0 из (3) получаем диэлектрическую проницаемость
беспримесного полупроводника: εr= 1 + [αmNm/(1 −αmNm/βm)].
228 Глава 12
# Спектр поглощения (схематически) неметаллического кри-
сталла, у которого переходы электронов из v-зоны в c-зону через
запрещенную зону (энергетическую щель) происходят при поглощении света в ультрафиолетовой области
Поглощение колебаниями
кристаллической решетки
Поглощение электронами
(дырками) примесных атомов
Поглощение
ИК-область УФ-область Частота
Экситонное
поглощение
Переходы
электронов
из v-зоны
в c-зону
(Краевое
поглощение
света)
Оптические спектры кристаллов — спектры поглощения, отражения и рассеяния света, люминесценции и фотопроводимости,
возникающие при взаимодействии электромагнитных волн оптического диапазона с кристаллической структурой. Поглощение и
испускание света (фотонов) при межзонных переходах электронов может происходить без возбуждения колебаний кристаллической решетки (фононов) или с участием фононов. При межзонном (фундаментальном) поглощении света электрон из валентной
зоны переходит через запрещенную энергетическую щель в зону проводимости, и в валентной зоне кристалла образуется электронная вакансия (дырка). При рекомбинации свободных или связанных в экситон электрона и дырки возникает люминесценция.
Существуют оптические спектры, обусловленные как собственными атомными дефектами кристаллической решетки (вакансиями,
междоузельными атомами, дислокациями), так и примесными атомами. Симметрия кристаллической решетки и ее дефектов определяет анизотропию оптических спектров. Окрашивание (цветность) кристаллов обусловлено непоглощенной ими частью белого
света. Существуют искусственные и природные кристаллические
структуры, размер которых в одном, двух или трех измерениях
сопоставим с дебройлевской длиной волны среднестатистического
электрона в зоне проводимости и/или дырки в валентной зоне, а
также расстоянием между ними при образовании экситона. Оптические спектры таких структур сильно зависят от их размеров.
Оптические и электрические свойства полупроводниковых материалов 229
# Схема переходов электронов и дырок в кристалле
а)
E
E
v
Энергия электрона
а) 1 — “краевая” люминесценция (излучательная рекомбинация электрона c-зоны с дыркой v-зоны), 2 — экситонное излучение, 3 — примесное
(c-зона – уровень примеси) излучение, 4 — излучательный переход дырки из v-зоны на примесный уровень, 5 — излучательная рекомбинация
электрона и дырки на ловушке, 6 — внутрицентровое излучение, 7 —
межпримесное излучение (рекомбинация электрона донора с энергией
ионизации Edи дырки акцептора с энергией ионизации Ea)
б)
E
−
e
c
2
1
+
h
3
4
5
c-зона
6
v-зона
E
d
7
ћω
em
E
a
Пространственная координата
−
e
c
c-зона
−
1
2
E
v
Энергия электрона
+
h
e
3
+
h
4
v-зона
Пространственная координата
б) Ловушки электронов (1) и дырок (2); центры генерации (3) и реком-
бинации (4) электрона c-зоны и дырки v-зоны
Донорно-акцепторная пара — две водородоподобные примеси в
кристалле. Энергия фотона, испускаемого при переходе электрона
с донора в зарядовом состоянии (0) на акцептор в зарядовом состоянии (0), есть: ћωem= Eg−Ed−Ea+e2/4πεRi, где Eg= Ec−Ev>
> 0 — ширина запрещенной зоны, Ed+Ea— сумма энергий ионизации донора и акцептора, e2/4πεRi— модуль энергии кулоновского
взаимодействия донора в зарядовом состоянии (+1) и акцептора
в зарядовом состоянии (−1) после межпримесной рекомбинации
электрона донора и дырки акцептора, ε = εrε0— диэлектрическая
проницаемость, Ri— расстояние между ионами примесей в паре
(дискретизируется периодом кристаллической решетки).
230 Глава 12
PSfrag replacements
# Экситон малого радиуса возникает при переходе одного из ато-
мов (или молекул) кристалла в возбужденное электронное состояние и миграции этого возбуждения от одного атома к другому.
Экситон большого радиуса возникает при связывании электрона
и дырки, находящихся на разных атомах (или в разных элементарных ячейках кристалла). В трехмерном кристалле свободный
экситон может двигаться во всех трех направлениях.
−
e
a
ex
−
e
c-зона
E
c
3
E
v-зона
g
E
v
Энергия электрона E
1 2
+
h
+
h
Пространственная координата
На диаграмме “энергия – пространственная координата” электроны и дырки обозначены черными и светлыми кружками соответственно (заполненные электронами состояния в v-зоне заштрихованы), Ec— энергия электрона на дне c-зоны, Ev— энергия
электрона на потолке v-зоны, Eg= Ec− Ev— ширина запрещенной зоны, 1 — переход электрона из v-зоны в c-зону, 2 — рекомбинация электрона и дырки (переход электрона из c-зоны в v-зону),
3 — экситон с расстоянием aexмежду электроном и дыркой.
Распад экситона может сопровождаться испусканием фотона с
энергией ћωex= Eg− Eex∓ ћω
, где ћ — постоянная Планка, Eg—
lat
ширина запрещенной зоны кристалла, Eex= e2/(8πεaexζ2) — энергия связи экситона, e — элементарный заряд, ε = εrε0— статическая абсолютная диэлектрическая проницаемость кристаллической
матрицы, aex= 4πεћ2/(mexe2) — радиус экситона, ζ = 1, 2, 3, ... —
номер внутреннего состояния экситона (аналог главного квантового числа для атома водорода), mex= mnmp/(mn+ mp) — эффективная масса экситона, mn— эффективная масса электрона в c-зоне,
mp— эффективная масса дырки в v-зоне, ћω
— энергия испус-
lat
каемого (−) или поглощаемого (+) при распаде экситона фонона.
Если экситон распадается с испусканием фотона без участия фонона, то ћω
= 0. В кристалле кремния aex≈ 5 нм, Eex≈ 14.7 мэВ,
lat
в кристалле арсенида галлия aex≈ 15 нм, Eex≈ 4.2 мэВ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]