Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Глава 4. Колебания кристаллической решетки
# Колебания кристаллической решетки — согласованные сме-
щения составляющих кристалл атомов около положений равновесия (узлов решетки). Амплитуда колебаний тем больше, чем выше
температура кристалла. На тепловые колебания кристаллической
решетки могут “накладываться” колебания, вызванные распространением в кристалле упругих волн, порождаемых внешним воздействием. При упругом характере межатомного взаимодействия
колебательная энергия кристалла равна сумме энергий так называемых нормальных колебаний, каждое из которых вовлекает в
движение все атомы. Каждый атом в данном нормальном колебании движется около положения равновесия; траектории движения
одинаковы для эквивалентных по расположению в решетке и/или
сорту атомов. В трехмерном кристалле, состоящем из N примитивных элементарных ячеек по β атомов в каждой, существуют
3βN − 6 нормальных колебаний, которые группируются в 3β вет-
вей: 3 акустических и 3(β −1) оптических. Нормальное колебание
можно представить в виде двух упругих плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Для длин волн
много больших межатомного расстояния, акустическим колеба-
ниям решетки соответствуют смещения элементарной ячейки как
целого, а оптическим — смещения атомов внутри примитивной
элементарной ячейки. Энергию колебательного состояния кристалла можно рассматривать и как сумму энергий фононов — квантов
энергии упругих колебаний. Квантовая природа колебаний кристаллической решетки проявляется в наличии нулевых колебаний
атомов при абсолютном нуле температуры.
# В гармоническом приближении кинетическая энергия движения
совокупности атомов решетки есть сумма кинетических энергий
отдельных атомов, причем каждое слагаемое суммы зависит от одной точки пространства. Потенциальная же энергия содержит как
члены, пропорциональные квадратам смещений отдельных атомов,
так и перекрестные члены, пропорциональные произведению смещений пары атомов в разных точках кристалла. Если существует система координат, в которой перекрестные члены исчезают,
то координаты называются “нормальными координатами”. То-
гда колебательная энергия кристалла будет равна полной энергии
71
72 Глава 4
совокупности невзаимодействующих объектов — нормальных мод
колебаний. Если нормальную моду колебания кристалла сопоставить с квантом энергии и, следовательно, с квазичастицей (так
называемым фононом), то ей можно приписать квазиимпульс (импульс?) ћq. Тогда мы можем рассматривать энергию колебательных
состояний решетки как набор квазичастиц — фононов. Однако импульс фонона отличается от импульса частицы тем, что не может
возрастать неограниченно. Он может изменяться каждый раз на
величину, кратную ћb (где b — вектор обратной решетки); этот импульс “передается” решетке как целому, потому что фонон может
существовать только в решетке. Конечно, сумма всех импульсов,
переданных решетке, равна нулю и кристалл как целое не получает импульса от собственных волн решетки. И все же при рождении или уничтожении фононов внешними возбуждениями (например, при неупругом рассеянии тепловых нейтронов) обычный импульс передается кристаллу. Энергия нормальной моды колебания
(и фонона) распределена по кристаллу в реальном пространстве,
но локализована в пространстве q для каждого из j типов колебаний, где j = 3β — число колебательных степеней свободы примитивной элементарной ячейки, β — число атомов в ячейке. Моды колебаний, вызывающие смещение центра массы примитивной
ячейки, называются акустическими; моды, которые затрагивают
только внутренние степени свободы ячейки, называются оптиче-
скими. Различие между этими модами колебаний наибольшее при
|q| |b| (длинные волны). Число мод колебаний равно 3βN − 6,
где N — число примитивных ячеек в образце. Спектр частот ко-
лебаний кристалла ω(q) состоит из чередующихся разрешенных
и запрещенных зон. Число разрешенных зон (“ветвей” колебаний)
равно 3β; число различных квазиволновых векторов q в зоне равно
N, так что общее число частот (мод колебаний) равно числу колебательных степеней свободы кристалла 3βN − 6 ≈ 3βN . Различимые значения q ограничены 1-й зоной Бриллюэна. Число аку-
стических фононов Nap∝ (T/TD)3при T TDи Nap∝ T/TDпри
T > TD, где TD— температура Дебая. Число оптических фононов
Nop∝ exp(−ћωop/kBT) при kBT ћωop, где ωop— средняя частота
оптических фононов в кристалле, и Nop≈ 3(β − 1)N kBT/ћωopпри
kBT ћωop.
# Фонон (от греч. “звук”) — электронейтральная квазичастица,
квант энергии упругих колебаний атомов (молекул, элементов
структуры) около положений равновесия в кристаллической ре-
Колебания кристаллической решетки 73
шетке. Энергия колебаний атомов кристалла приближенно равна
сумме энергий фононов. Звуковую волну можно рассматривать как
направленное распространение фононов. Фононы взаимодействуют с другими подвижными квазичастицами (электронами проводимости, дырками), а также с фотонами, примесными атомами,
вакансиями и междоузельными атомами, что ограничивает теплопроводность и электропроводность кристаллов. В кристаллических
материалах акустические фононы представляют колебания примитивной элементарной ячейки как целого, оптические фононы — колебания атомов внутри ячейки. Как правило, с помощью фононов
осуществляется связь всех квазичастиц кристалла с окружающей
средой. Фононный газ — это бозе-газ с равным нулю химическим
потенциалом.
# Закон Гука: в зоне упругости материала его деформации про-
порциональны внешним механическим напряжениям (давлениям).
# В аморфном твердом теле фононы с малыми квазиимпульсами
ввести можно, а с больш´ими нельзя. Возможность введения фононов с малыми импульсами связана с тем обстоятельством, что
при колебаниях с большой длиной волны атомная структура тела
несущественна: твердое тело воспринимается как упругий континуум. Когда же длина волны фонона сопоставима с расстоянием
между соседними атомами, расположение атомов в пространстве
существенно для распространения фонона (возбуждения).
# Локальные колебания — коллективные колебания атомов, рас-
положенных в окрестности необладающего внутренними колебательными степенями свободы собственного дефекта или атома
примеси в кристаллической структуре; частоты локальных (щелевых) колебаний попадают в одну из запрещенных зон (щелей) спектра частот идеального кристалла. Колебательный спектр
окрестности примеси как бы настроен в резонанс с локальной частотой и выведен из резонанса с кристаллическими частотами.
Для релаксации локальных колебаний требуется ангармонический
процесс, в котором квант энергии локальных колебаний может распасться на два или более фононов. Частоты так называемых ква-
зилокальных колебаний примеси попадают в одну из разрешенных зон (ветвей) частот и оказываются в резонансе с собственными частотами кристаллической матрицы. Квазилокальное колебание нестационарно уже в приближении гармонических колебаний
атомов и, раз возникнув, оно распадается самопроизвольно, воз-
74 Глава 4
буждая колебания всего кристалла. Относительное (приведенное к
одинаковой частоте колебаний) время жизни квазилокального колебания меньше времени жизни локального колебания. Аналогично классифицируют (на локальные и квазилокальные) внутримолекулярные колебания примесной молекулы, состоящей из нескольких атомов примеси в решетке.
# Описание вибронного взаимодействия — взаимодействия
электронного движения с колебательным движением ядер (ионных остовов) в молекуле (дефекте решетки) — лежит за пределами
адиабатического приближения.
# Низкочастотная динамика, как правило, присуща системам, а
высокочастотная — подсистемам (ср. акустические и оптические
колебания атомов, образующих кристаллическую структуру).
# Акустические колебания кристаллической решетки — коле-
бания, частота ωaкоторых пропорциональна волновому вектору q
(для q b, где b — вектор обратной решетки). Примитивная эле-
ментарная ячейка участвует в акустических колебаниях как
целое. Число акустических “ветвей” колебаний, т. е. зависимостей
ωa(q), равно трем (2TA + LA).
# Отношение импульсов акустического фонона и равного ему по
энергии фотона равно отношению скоростей света c и звука v
в кристалле. В силу того, что va c, одновременное выполнение
законов сохранения энергии и (квази)импульса в процессе превращения одного фотона в один поперечный акустический (или
оптический) фонон без участия так называемого “третьего тела”
невозможно; в первом приближении поперечные электромагнит-
ные волны не взаимодействуют с продольными колебаниями
кристаллической решетки.
# Оптические колебания кристаллической решетки связаны с
относительным смещением атомов в примитивной элементарной
ячейке с числом атомов β > 2, т. е. возможны лишь в решетках
с базисом, когда с каждым узлом сопоставляемой кристаллу решетки Браве связано два и более неэквивалентных по расположению и/или сорту атомов. Число оптических “ветвей” ωop(q) равно
3(β − 1); частота оптических колебаний ωopслабо (по сравнению
с акустическими колебаниями) зависит от волнового вектора q.
Энергия практически любого оптического фонона ћωopв кристаллическом кремнии примерно равна 60 мэВ, в GaAs — 30 мэВ.
a
Колебания кристаллической решетки 75
# Температура Дебая TDопределяется предельными угловыми
частотами ωDакустических колебаний (фононов), разграничивающих область низких и высоких температур по отношению к решеточным свойствам кристалла. При абсолютной температуре T > T
теплоемкость кристалла при постоянном давлении (CP) и постоянном объеме (CV) не зависит от T (в гармоническом приближении
CP= CV), а при T < TDона пропорциональна T3. В модели Де-
бая величина ћωD= kBTDпредставляет собой максимальный квант
энергии акустических колебаний решетки. Для кристалла, состоящего из атомов одного сорта, ћωD= ћ[18π2/((2v
−3
t
+ v
−3
l
)V1)]
1/3
где vt, vl— скорости поперечных и продольных акустических (звуковых) волн, V1— объем, приходящийся на атом. Для алмаза
TD≈ 2230 К, для Si — 645 К, для Ge — 374 К. Температурой Дебая
для оптических колебаний решетки называют величину ћωop/kB,
где ωop— средняя угловая частота оптических фононов.
# При упругом рассеянии (брэгговской дифракции) рентгенов-
ских фотонов (квантов, лучей) на кристалле справедливо правило
отбора для волновых векторов: κκκ0= κκκ + b, где κκκ и κκκ0— волно-
вые векторы падающего и рассеянного фотонов, b — вектор обратной решетки; при брэгговском рассеянии фотона кристалл в целом
будет испытывать отдачу с импульсом ћb. Если фотон испытывает
неупругое рассеяние, при котором образуется фонон с волновым
вектором q, то κκκ0+q = κκκ+b. Если же при неупругом рассеянии фо-
тона поглощается фонон с волновым вектором q, то κκκ0= κκκ + q + b.
Процесс переброса импульса фотона в кристаллической решетке
можно представить как рождение (или уничтожение) им фонона
с одновременным брэгговским отражением. Опыты по неупругой
дифракции пучка частиц на кристалле практически осуществляют
с “тепловыми” нейтронами, длина волны которых порядка постоянной решетки a = 2π/b, где b = |b|, а энергия порядка 0.1 эВ.
При этом изменение энергии нейтрона за счет фонона, энергия
которого меньше или порядка дебаевской энергии kBTD≈ 0.01 эВ,
легко наблюдать. Для электронов или рентгеновских лучей с длиной волны порядка 2π/b энергия пучка много больше (десятки
или сотни электронвольт), и поэтому незначительные изменения
их энергии при неупругой дифракции обнаружить трудно.
D
,
# Поведение фонона с волновым вектором q обычно рассматривают так, как если бы он обладал импульсом ћq (иногда ћq называют квазиимпульсом). В действительности же фонон с (квази)-
76 Глава 4
волновым вектором q 6= 0 не обладает истинным импульсом (количеством движения); фонон с волновым вектором q = 0 имеет истинный импульс и сопоставляется перемещению центра масс кристалла в пространстве. Например, в молекуле H2“фонон”, соответствующий колебанию атомов водорода друг относительно друга, не обладает истинным импульсом; колебания центра масс H
имеют импульс (это как бы соответствует акустическому фонону
с нулевым волновым вектором).
# Сравнение закона дисперсии для акустических фононов с малыми квазиволновыми векторами и соответствующего закона для
фотонов подсказывает, что масса фонона равна нулю. Далее, поскольку упругие волны кристалла в гармоническом приближении
не взаимодействуют друг с другом и в одном и том же состоянии может находиться произвольное число фононов, они являются
бозонами, т. е. обладают целым спином. Так как, в отличие от фотонов, у фононов возможны не два, а три типа поляризации, то общее число проекций спина одного фонона равно трем: (+ћ, 0, −ћ),
где ћ = h/2π — постоянная Планка.
# Ангармонизм колебаний атомов в кристаллической струк-
туре — свойство колебаний, обусловленное отклонением их от
гармонических. Под гармоническим колебанием понимается колебание, происходящее под воздействием возвращающей силы, линейно зависящей от величины смещения атома из положения равновесия. Ангармонизмом обусловлено тепловое расширение кристаллов и отклонение их теплоемкости CVпри постоянном объеме
от закона Дюлонга – Пти [CV= 3NAkB= 24.94 Дж/(моль·К)] в области температур, больших температуры Дебая.
# Фактор Дебая – Валлера — безразмерный коэффициент, от-
ражающий влияние фононов (квантов энергии колебаний атомов
возле положений равновесия) на процессы рассеяния и/или излучения фотонов (или электронов, нейтронов) в кристаллической
структуре без передачи квантов энергии от фотонов к фононам.
Этот фактор определяет уменьшение (с увеличением температуры)
вероятности процессов передачи импульса кристаллу как целому
без изменения состояния фононов в нем (например, при эффекте
Мёссбауэра).
# В твердом водороде скорость продольных акустических волн
(согласно расчетам) составляет приблизительно 35 км/с, т. е. практически в два раза больше, чем в алмазе.
2
Колебания кристаллической решетки 77
# Взаимодействие электронов c-зоны с акустическими фоно-
нами в трехмерном кристалле
При излучении (−) или поглощении (+) электроном фонона закон сохранения энергии и квазиимпульса (с точностью до вектора
обратной решетки) имеет вид: E0= E(p ±ћq) = E(p) ± ћqva, где
E(p) = p2/(2m) — кинетическая энергия электрона с квазиимпуль-
сом p = ћk и изотропной эффективной массой m (предполагается,
что m не изменяется при взаимодействии электрона с фононом);
ћq — квазиимпульс фонона, va— скорость звука (предполагается
не зависящей от направления в кристалле), ωq= qva— угловая частота фонона в окрестности центра зоны Бриллюэна (при q = 0),
ћ = h/2π — постоянная Планка; p0= p ± ћq.
√
0
E
√
E0=√E
√
v
2m
a
√
0
E
√
v
2m
a
√
E0=√E
√
v
2m v
a
√
E
00
√
2m
a
√
E
а) б)
а) Заштрихованная область соответствует значениям начальной E = p2/(2m) и конечной E0= E −ћωqэнергий электрона при
излучении фонона с квазиимпульсом ћq = p −p0. Электрон может испускать акустический фонон, если его кинетическая энергия удовлетворяет неравенству 2E > mv
|dE/dp| = p/m больше скорости звука. При E mv
ная энергия испускаемого фонона (ћωq)t= |∆E|t= v
2
, т. е. если его скорость
a
2
/2 максималь-
a
√
8mE, т. е.
a
энергичный (горячий) электрон c-зоны в одном акте излучения
может потерять только малую часть своей кинетической энергии
|∆E|t/E 6 v
√
8m/E 1.
a
б) При поглощении фонона электроном допустимые значения
энергий представляются заштрихованной областью (E, E0— кинетическая энергия электрона до и после поглощения фонона с
квазиимпульсом ћq = p0−p. Горячий электрон (E mv
2
/2) и при
a
поглощении фонона меняет свою энергию на малую величину.
78 Глава 4
# Акустические фононы в трехмерных кристаллах
Спектр акустических колебаний атомов кристаллического образца (содержащего N 1 одинаковых атомов в объеме V ) рассчитал П. Дебай (1912 г.). Принимаются допущения: 1) спектр колебаний атомов кристалла соответствует спектру колебаний изотропного упругого континуума (сплошной среды), обладающего
3N −6 ≈ 3N независимыми колебаниями; 2) угловая частота ω и
величина (квази)волнового вектора q акустических колебаний (и
сопоставляемым им фононам) связаны так: ω = vaq, где скорость
vaзвука в кристалле выражается через скорость vlволны растяже-
ния (сжатия; одна LA-ветвь колебаний) и скорость vtволн сдвига
(кручения; две TA-ветви колебаний) так: v
−3
a
= (v
−3
l
+ 2v
−3
t
)/3.
Плотность распределения Gap(ω) по частоте ω трех ветвей акустических колебаний (продольных и поперечных фононов):
3V
Gap(ω) dω = [Gl(ω) + Gt(ω)] dω =
2π2v
ω2dω.
3
a
В кристалле могут быть возбуждены колебательные состояния
атомов [иначе (LA + 2TA)-фононы] только до максимальной частоты ωD— частоты Дебая, определяемой из соотношения:
Z
ω
3N =
D
Gap(ω) dω =
0
V
2π2v
3
ω
.
D
3
a
Из равенства ћωD= kBTDопределяется абсолютная температу-
3
ра Дебая TD= (ћ/kB)[6π2Nv
/V ]
a
1/3
, где ћ/kB— отношение посто-
янных Планка и Больцмана.
Средняя энергия всех акустических фононов (при T TD):
3
T
,
T
D
hEapi =
Z
ω
D
Gap(ω) ћω fBEdω =
0
3π
4
NkBT
5
где fBE= [exp(ћω/kBT) − 1]−1— функция распределения Бозе –
Эйнштейна, т. е. заселенность обладающего энергией ћω колебательного состояния атомов в кристаллическом образце; kBT — тепловая энергия.
Среднее число LA- и 2TA-акустических фононов (при T TD):
3
T
.
T
D
hNapi =
Z
ω
D
Gap(ω) fBEdω ≈ 21.6N
0
При абсолютной температуре T TDэнергия среднестатистического акустического фонона hEapi/hNapi ≈ (π4/36)kBT.
Глава 5. Делокализованные электронные
и дырочные состояния. Энергетические зоны
в трехмерных кристаллах
# Зонная теория — квантовая теория спектра энергий электронов
кристалла, состоящего из чередующихся зон (полос) разрешенных
и запрещенных энергий. Основа зонной теории — одноэлектрон-
ное приближение: 1) скорость движения атомных ядер около положений равновесия много меньше скорости электронов; 2) любой
электрон движется в трехмерном периодическом поле, создаваемом
ядрами и остальными электронами. Зона проводимости (c-зона) и
валентная зона (v-зона) образованы совокупностью атомных уровней энергии, “расщепившихся” в результате объединения свободных атомов в кристалл. В соответствии с зонной теорией движение
электрона в кристаллической структуре сходно с движением электрона в вакууме, однако фактически носит туннельный характер;
электрон в кристалле оказывается квазичастицей с эффективной
массой. В зонной теории считается, что коллективные свойства
кристаллической матрицы при температуре T → 0 формируют закон дисперсии “кристаллического” электрона, а “некогерентные”
виды взаимодействий вызывают переходы электрона из одного делокализованного состояния в другое (взаимодействия с фононами,
атомами примеси и т. д.). Диаграммы энергетических зон соответствуют электронной энергии. Энергетический спектр каждого
электрона состоит из чередующихся разрешенных и запрещенных
зон (полос) энергии. Итак, в одноэлектронном подходе предпола-
гается, что можно рассматривать каждый электрон в усредненном
поле всех электронов и ядер, т. е. можно выделить движение одного электрона. Проводя такое рассмотрение для каждого электрона,
можно приближенно описать электронные свойства системы.
# Основой для описания свойств электронов в кристаллических
твердых телах служит зонная теория. Она строится на двух
приближениях: 1) колебательное движение атомов, образующих
кристалл, слабо влияет на состояние электронов в нем, поэтому приближенно можно считать все атомы (ионные остовы, ядра) находящимися в положении равновесия; 2) влияние на данный
электрон остальных электронов можно учесть введением самосогласованного потенциала взаимодействия, зависящего от их сред-
79
80 Глава 5
ней плотности. Адиабатическое (1) и одноэлектронное (2) при-
ближения математически эквивалентны утверждению, что каждый
электрон движется в идеальном периодическом поле, обладающем
симметрией кристаллической структуры. Это позволяет выразить
волновую функцию всей совокупности электронов через одноэлек-
тронные блоховские функции. Основное различие моделей зонной
структуры сводится к способам вычисления этих одноэлектронных
функций внутри элементарных атомных ячеек, на которые разбивается все вещество, и методам “сшивания” решений уравнения
Шредингера на границах ячеек. Таким образом, условия 1) и 2)
каждое в отдельности необходимы, а вместе достаточны для построения зонной теории спектра значений энергий и квазиимпульсов электронов в кристаллах.
# Делокализованный электрон в кристаллическом твердом
теле — квазичастица с зарядом −e < 0 и спином ћ/2 электрона
в вакууме, динамические свойства которой определяются законом
дисперсии E(p) (в частных случаях компонентами тензора обратной эффективной массы m
−1
= ∂2E/∂pi∂pjв окрестности экстре-
ij
мума(ов) на зависимости полной энергии E от квазиимпульса p).
# Дырка — квазичастица с зарядом +e и спином ћ/2, возникаю-
щая при освобождении занятого состояния вырожденного Фермираспределения электронов; подвижная электронная вакансия.
# Электрон проводимости — электрон, находящийся в c-зоне
(зоне проводимости). Дырка проводимости — незанятое элек-
троном энергетическое состояние в v-зоне (валентной зоне). Если
стационарная электрическая проводимость (т. е. на постоянном токе) полупроводника обусловлена в основном электронами c-зоны,
то это полупроводник n-типа. Если электропроводность на по-
стоянном токе обусловлена в основном дырками v-зоны, то это
полупроводник p-типа.
# В полупроводнике, не содержащем атомов легирующих примесей и собственных дефектов кристаллической структуры (собственных междоузельных атомов, атомных вакансий и др.), концентрации электронов и дырок равны, и он называется собствен-
ным. Полупроводник, в котором концентрации водородоподобных
доноров и водородоподобных акцепторов равны друг другу, называется скомпенсированным.
# Понятие дырки (электронной вакансии) введено В. Гейзен-
бергом (1931 г.) при анализе электропроводности кристалла, в раз-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]