Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Решеточная теплопроводность. Атомная диффузия в кристаллах 151
# Теплопроводность диэлектрика
Плотность потока тепловой энергии в изотропном образце
Q = −κ∇T, где κ — коэффициент теплопроводности, ∇T — гради-
ент температуры. Тепловое сопротивление (1/κ) твердого диэлектрика обусловлено ангармонизмом колебаний атомов. В гармоническом приближении, когда силы, действующие на атомы, считаются
линейными функциями смещений атомов из положения равновесия, взаимодействие (столкновение) фононов невозможно (так как
гармонические волны распространяются в кристалле независимо,
не рассеиваясь друг на друге). Если два фонона, сталкиваясь, сливаются в один фонон, то его свойства определяются законом сохранения квазиимпульса ћq и энергии E(q) = E(q + b) = ћωq, где
b — вектор обратной решетки, ωq— угловая частота.
а)
q
y
б)
q
y
1-я зона
Бриллюэна
q
2
q
1
O
0
O
O
q
3
q
1
q
x
q
3
0
P
b
q
2
q
x
P
а) Нормальный процесс (N-процесс) рассеяния (слияния) фо-
нонов (для которого q1+ q2= q3; ω1+ ω2= ω3) изображен на
плоскости q-пространства (буквами O и O0обозначены узлы обратной решетки; |OO0| = |b|). Хотя сами N-процессы и не создают
теплового сопротивления, они могут влиять на него косвенным
образом, перераспределяя фононы по квазиимпульсам, а затем эти
фононы уже рассеиваются другими процессами.
б) Процесс переброса (U-процесс) фононов (для которого q1+
+ q2= q3− b; ω1+ ω2= ω3) приводит по Р. Пайерлсу к конеч-
ной величине теплового сопротивления (так как направление xкомпоненты фононного потока обращается); P и P0— эквивалентные точки в соседних зонах Бриллюэна. При низкой температуре
(T < TD, где TD— температура Дебая) среднее число фононов [с
волновыми векторами порядка b/2, а, следовательно, с энергиями
порядка kBTD/2, где kB— постоянная Больцмана], которое может
участвовать в U-процессах, пропорционально exp(−TD/2T).
152 Глава 9
# Диффузия атомов примеси в кристаллической матрице
Атомы примеси перемещаются прыжками из одного узла решетки (или междоузлия) в другой: а) диффузия атомов примеси
(темные кружки) по вакансиям прямоугольной двумерной кристаллической решетки, б) диффузия атомов примеси по междоузлиям.
а) б)
При диффузии на небольшую глубину с относительно низкой
концентрацией N (x, t) примеси (когда коэффициент диффузии D
не зависит от N ) зависимость N от координаты x (расстояние от
плоской поверхности в глубь кристаллической подложки) и времени t находится из уравнения диффузии (по Фику):
∂N
∂t
= −
∂J
∂x
= D
∂2N
∂x
,
2
где J = −D ∂N/∂x — плотность потока атомов примеси.
1. Загонка атомов примеси: N (x, t)|
Пар
атомов
P (B)
Si
0
(диффузия из “бесконечного источника”):
N(x, t) = Nserfc
где Ns— объемная концентрация атомов фосфора (или бора) у
поверхности при температуре диффузии, 2N
N(x, t)|
= 0. При загонке в течение все-
x→∞
го диффузионного процесса на поверхности
кремниевой подложки (x = 0) поддерживается постоянная концентрация примесных ато-
x
мов на границе с питающей газовой фазой
2√Dt
x
; erfc(χ) =
√
Z
∞
2
exp(−ξ2) dξ,
π
χ
√
Dt/π = Q — число
s
x=0
= Ns,
атомов, прошедших через единицу поверхности Si за время t.
SiO
2
2. Разгонка атомов примеси:(∂N (x, t)/∂x
N(x, t)|
= 0 при t > 0. При разгонке примеси
x→∞
)
x=0
= 0,
реализуется режим диффузии из ограниченного ис-
Si
точника (бесконечно тонкого легированного слоя)
с отражающей примесь границей (SiO2):
0
x
N(x, t) =
√
N
e
s
exp−
πDt
2
x
4Dt
,
гдеeNs= Q — поверхностная концентрация атомов примеси в Si.
Решеточная теплопроводность. Атомная диффузия в кристаллах 153
PSfrag replacements
Энергия
# Кристаллизация и плавление
а) Что теплее — растущий кристалл или питающий его расплав
(раствор, пар и т. д.)? Обозначим температуру кристалла и его
расплава символами Tcи Tm, а температуру равновесия кристалла
с расплавом, т. е. температуру плавления [растворения, возгонки
(иначе сублимации) и т. д.] символом Ts. Символ Tcобозначает
температуру в тонком слое кристалла, непосредственно соприкасающемся с расплавом, а символ Tm— температуру в соответствующем слое расплава. Примем, что Tc6= Tm6= Ts. Тогда имеют
место неравенства (по А. Шубникову):
Неравенство Идеальный процесс, описываемый соответствующим
неравенством
Ts> Tc> TmРост кристалла, полностью окруженного расплавом
Ts> Tm> TcРост кристаллической оболочки, заключающей в себе
расплав
Tm> Ts> TcДекристаллизация (= плавление, растворение, воз-
гонка и т. д.)
Неравенства, в которых Tc> Ts, невозможны, поскольку кристалл не допускает перегрева. Выделение теплоты может происходить из кристалла в среду (а не наоборот) только после того, как
теплота возникла в кристалле.
б)
Затвердевание жидкости (расплава) приводит к образованию
либо кристаллов, либо стеклообразного вещества. Жидкости, которые переходят в твердое состояние, минуя процесс кристаллизации, называются стеклами. Медленно охлажденные стекла (штриховая линия) ближе к кристаллическому состоянию, чем быстро
охлажденные стекла (сплошная линия).
Жидкость
(расплав)
Скрытая теплота
Стекло
теплоты
Полное количество
Кристалл
затвердевания
расплава
Температура
154 Глава 9
z
# Квантовая теплопроводность одномерной диэлектрической
нити в режиме баллистического переноса продольных акустических фононов между двумя резервуарами тепла
y
x
Резервуар тепла
Температура T2= T1+ δT
1D-канал
L
x
Резервуар тепла
Температура T
1
Предполагаем, что имеет место идеальное согласование акустических сопротивлений двух резервуаров тепла и 1D-канала (акустического волновода). Результирующий поток тепловой энергии
W /Lxна единицу длины нити, переносимый от резервуара тепла
с температурой T2к резервуару тепла с температурой T1продольными акустическими фононами (мода сжатия-растяжения нити):
W
L
=
x
W21−W
L
x
12
=
X
1
(Φ2− Φ1)ћωqvqPq= κ1dδT, (1)
L
x
q
где q — модуль (квази)волнового вектора акустического фонона,
ћωq— энергия фонона с угловой частотой ωqи групповой скоро-
стью vq≈ ωq/q; Pq6 1 — вероятность баллистического (бесстолк-
новительного) переноса фонона от “горячего” резервуара с температурой T2= T1+ δT к “холодному” резервуару с температурой T1;
Φ2= [exp(ћωq/kBT2) −1]−1, Φ1= [exp(ћωq/kBT1) −1]−1— функ-
ции Бозе – Эйнштейна для двух резервуаров, κ1d— теплопроводность, [κ1d] = Вт/К, (T2−T1)/Lx= δT/Lx— градиент температуры.
Для одной моды акустических фононов (в том числе продольных) имеет место асимптотическое равенство
Z
X
(...) →
q
L
2π
∞
x
(...) dq (для q > 0 и q < 0). (2)
0
С учетом равенства (2) из (1) при Pq= 1 для всех q имеем:
κ1d=
W
LxδT
=
1
2π
Z
∞
ћωqv
0
dΦ
dq =
q
dT
2
k
B
2πћ
Z
∞
T
ξ2exp(ξ) dξ
[exp(ξ) − 1]
0
, (3)
2
где T ≈ (T2+ T1)/2 — средняя температура в 1D-нити.
Вычисляя интеграл (3), получаем теплопроводность 1D-нити из
изолятора (диэлектрика) длиной Lxв виде:
2
2
k
π
κ1d=
B
T,
3
h
где h = 2πћ — постоянная Планка, kB— постоянная Больцмана.
Решеточная теплопроводность. Атомная диффузия в кристаллах 155
PSfrag replacements
# Коэффициент полезного действия термопары
Пусть ветви a и b термопары (например, Fe–Ni) имеют примерно одинаковую
удельную электропроводность σ и теплопроводность κ. Термоэдс U = Uab, возникающая на концах разомкнутой термопары (при сопротивлении R0→ ∞ нагрузочного резистора): U = αabδT, где
αab— коэффициент Зеебека, δT — раз-
T
a
R
T +δT
Термоэлектрический генератор — термопара ab, нагруженная на резистор R
b
0
T
ность температур горячего (T +δT) и хо-
лодного (T) концов термопары ab. Согласно теории электрических
цепей, максимальная электрическая мощность на постоянном токе
в нагрузочном резисторе выделяется тогда, когда его электрическое сопротивление R0равно внутреннему электрическому сопротивлению источника тока Ri, т. е. сопротивлению Ria+ Ribдвух
ветвей (a и b) термоэлектрической пары:
2l
Ri= Ria+ Rib=
,
σA
где l и A — соответственно длина и поперечное сечение каждой
ветви термопары. При Ri= R0сила термоэлектрического тока в
цепи It= U/(Ri+ R0) = U /2R0, и выделяющаяся на нагрузочном
резисторе R0электрическая мощность:
P0= I
2
R0=
t
U
4R
2
=
0
Aσα
8l
2
ab
(δT)2.
На концах термопары внешними нагревателем и холодильником поддерживается разность температур δT T , так что через
термопару “протекает” тепловая мощность
0
Q = Qa+ Qb= 2Aκ δT/l.
Коэффициент полезного действия ηtтермопары (равен отношению электрической мощности P0, выделившейся в резисторе R0, к
тепловой мощности Q, взятой от нагревателя):
2
σα
0
=
ab
δT ≡
16κ
ZtT4δT
,
T
где Zt= σα
P
ηt=
Q
2
/4κ — термоэлектрическая добротность.
ab
При вычислении Q пренебрегалось передачей тепла за счет эффекта Пельтье, и поэтому формула для коэффициента полезного
действия термопары ηtсправедлива для ZtT < 1.
Глава 10. Миграция электронов и дырок.
Термоэлектричество. Сверхпроводимость
# Удельная электрическая проводимость — коэффициент про-
порциональности между плотностью тока и напряженностью электрического поля в образце (без учета тока смещения связь напряженности поля с плотностью тока алгебраическая); заряды текут, а
ток существует, направлен. Электропроводность кристаллических
полупроводников на постоянном токе представляет собой одну из
наиболее сильно меняющихся с температурой величин в природе.
# Электрическая проводимость (электропроводность) — спо-
собность вещества проводить электрический ток под воздействием внешнего электрического поля, а также физическая величина,
количественно характеризующая эту способность. Электропроводность вещества обусловлена имеющимися в нем подвижными носителями заряда (электронами, дырками, ионами), направленное
движение которых и есть электрический ток. В изотропных проводниках электричества плотность постоянного тока J совпадает
по направлению с напряженностью не изменяющегося во времени
электрического поля E, что выражает закон Ома: J = σE, где σ —
удельная электропроводность. В общем случае зависимость J от
E нелинейна и анизотропна. Электропроводность на переменном
токе зависит от его частоты. В зависимости от величины удельной электропроводности вещества условно делят на три группы:
проводники (металлы), полупроводники и изоляторы (диэлектрики). Электропроводность зависит от температуры, структуры
вещества (агрегатного состояния, примесных атомов) и от внешних воздействий (магнитного поля, ионизирующего излучения). У
металлов уменьшение электропроводности с ростом температуры
определяется в основном уменьшением длины свободного пробега
электронов проводимости. В полупроводниках экспоненциальный
рост электропроводности при их нагреве происходит из-за увеличения числа электронов проводимости и/или дырок. Диэлектрики
имеют заметную электропроводность лишь при высоких напряженностях электрического поля и/или температурах. Измерение электропроводности — один из важных методов исследования электронной и атомной структуры веществ. Электрическое сопротивление квадрата площадью L2и толщиной d L вычисляется по
156
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 157
формуле R2= ρL/Ld = ρ/d, где ρ — удельное сопротивление мате-
риала. Поэтому размерность R2обычно записывается как Ом/.
# Прямой (без заброса в c- или v-зону) механизм обмена носи-
телями заряда между локализованными состояниями в неупорядоченном материале называется “прыжковым”. Так как лока-
лизованные состояния из-за различия в окружении имеют, как
правило, разную энергию, то при прыжке баланс энергии (и импульса) осуществляется за счет взаимодействия носителя заряда с
тепловыми колебаниями атомов. Таким образом, основную роль в
прыжковой электропроводности играет тепло. Именно оно направленно перебрасывает электроны и дырки между их локализованными состояниями в присутствии внешнего электрического поля
и возвращает их к хаотическому распределению после удаления
поля. В образцах, где уровень Ферми “лежит” в области уровней
энергии локализованных состояний, низкотемпературная проводимость на постоянном токе осуществляется путем прыжков носителей тока по этим состояниям в уменьшающейся с понижением
температуры энергетической полосе в окрестности уровня Ферми.
# Миграция электронов и дырок в кристаллических полупро-
водниках. При описании движения электронов и дырок в кристаллах обычно выделяют два предельных случая. 1) Зонная мо-
дель: электроны c-зоны и дырки v-зоны в приближении эффективной массы рассматриваются как плоские волны. Равномерное
движение электрона (и дырки) в пределах кристалла может быть
прервано рассеянием на статических дефектах структуры, например на атомных вакансиях, дислокациях, границах раздела зерен
(кристаллитов) и т. п. Кроме того, электроны могут быть рассеяны на динамических искажениях кристаллической решетки — на
фононах. 2) Модель прыжков: электроны сильно локализованы
на атомах примеси и перемещаются между центрами локализации
путем термически активированных (т. е. при ассистировании фононов) туннельных перескоков. В отличие от электронов, дырки
(воображаемые частицы, электронные вакансии в ковалентной химической связи атомов кристаллической матрицы) могут прыгать
только между водородоподобными акцепторами. Таким образом,
при описании электрической проводимости на постоянном токе в
модели прыжков (перескоков) подчеркивается локальный (молекулярный) характер электронных и дырочных состояний, в то время
как зонная модель выявляет их коллективную природу.
158 Глава 10
# Механизмы миграции электронов в кристаллах под действием
внешнего стационарного электрического поля. а) Зонный перенос.
В идеальном кристалле электрон c-зоны движется без рассеяния.
В реальном кристалле всегда имеются фононы, которые рассеивают электроны. Охлаждение кристалла уменьшает число фононов,
т. е. амплитуды колебаний атомов около своих средних положений, и поэтому приводит к увеличению дрейфовой подвижности
электронов. б) Перенос путем перескоков. Если кристалл содержит точечные атомные дефекты строения, то электрон может локализоваться на дефекте (или в потенциальной яме, созданной в
результате поляризации кристаллической решетки самим электроном, образуя полярон). Для того чтобы электрон мог мигрировать
от одного центра локализации к другому, существенны и колебания решетки, и туннелирование электрона. Для режима прыжков
(перескоков) электронов их подвижность обычно увеличивается
при нагревании кристалла. в) Перенос посредством волны заря-
довой плотности — кооперативное движение группы электронов
в квазиодномерных молекулярных кристаллах. В этих кристаллах
при низких температурах инжекция электронов в c-зону из контакта (электрода) может приводить к появлению спонтанных деформаций кристаллической решетки, т. е. множественных минимумов
потенциальной энергии (иначе ям) для электронов. Если инжектированные электроны собираются в этих ямах в последовательность
периодических сгустков (ассоциатов), то создается возможность их
дрейфа (вместе с деформациями) во внешнем постоянном электрическом поле как единого целого в виде волны зарядовой плотности.
# Поляроны в ионных кристаллах. Электрон c-зоны может ло-
кализоваться в потенциальной яме, созданной в результате поляризации кристаллической матрицы самим электроном. Электрон вместе с деформированной им областью кристалла называется поля-
роном. Этот тип локализации электронов (поляронов) наблюдается в ионных кристаллах при нагревании и приводит к прыжковому
механизму миграции поляронов. Охлаждение кристалла уменьшает число фононов, т. е. амплитуды колебаний атомов около своих
средних положений, что уменьшает вероятность автолокализации
электронов, и поэтому приводит к уменьшению вероятности образования поляронов и зонному механизму их миграции в кристалле.
# Дрейфовый ток — направленное движение носителей заряда, вызванное градиентом электрического потенциала. Подвиж-
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 159
ность — отношение средней установившейся скорости перемеще-
ния носителей заряда в направлении электрического поля к на-
пряженности этого поля.
# Диффузионный ток — направленное движение носителей за-
ряда, возникающее вследствие градиента их концентрации. Ко-
эффициент диффузии — отношение плотности потока носи-
телей заряда одного типа к градиенту их концентрации в отсут-
ствие внешних полей. Амбиполярная диффузия — совместный
диффузионный перенос противоположно заряженных частиц в направлении уменьшения (падения) их концентрации.
# Поляризационные токи (токи смещения) в изоляторах (ди-
электриках) и полупроводниках обусловлены изменением их электрической поляризации во времени. Из-за неполной компенсации
молекулярных токов в намагниченных материалах могут возникать
незатухающие (бездиссипативные) токи намагничения.
# Существование стационарного электрического тока в твердом
теле предполагает, что электрическое поле ускоряет большее
число носителей заряда (электронов, дырок, ионов), а тормозит — меньшее. Энергетическое распределение так называемых
горячих носителей заряда (тока) заметно отличается (в сторону
больших энергий) от равновесного распределения и зависит от их
дрейфовой скорости и времени релаксации избыточной энергии.
# Омический контакт — электрический контакт между двумя
проводниками электричества с линейной и симметричной зависимостью плотности стационарного тока от величины и направления
напряженности внешнего электрического поля на контакте. Контакт металл–полупроводник является омическим, если в контакте
не проявляется энергетический потенциальный барьер для движения электронов (или дырок) через границу раздела. Как правило,
омический контакт образуется в четырех случаях: 1) для контакта с полупроводником n-типа, имеющим низкую плотность дефектов кристаллической структуры поверхности, выбран металл с работой выхода электронов (сродством к электрону), меньшей чем
сродство к электрону полупроводника; 2) потенциальный барьер
присутствует, но он узкий, что достигается сильным легированием приповерхностной области полупроводника донорами, так что
электроны переходят границу раздела сквозь барьер по всей его
высоте посредством полевой эмиссии; 3) потенциальный барьер
присутствует, но он низкий, что достигается изменением химиче-
160 Глава 10
ского состава полупроводника вблизи контакта и созданием узкозонного приконтактного слоя, так что электроны проходят границу раздела над барьером посредством термоэлектронной эмиссии;
4) потенциальный барьер “закорочен” декорирующими его атомами
примесей и другими дефектами строения приповерхностной области полупроводника, что достигается его сплавлением с металлом
или нанесением (электро)химическим способом металла на механически шлифованную поверхность полупроводника.
# В отсутствие столкновений движение электрона в c-зоне кри-
сталлического полупроводника под действием постоянного однородного электрического поля Exимеет вид осцилляций в k-пространстве (электрон проходит по всей зоне Бриллюэна, отражается
от ее границы, снова пересекает зону и т. д.), а следовательно, и
в обычном координатном пространстве. Угловая частота осцил-
ляций (Зинера – Блоха) ωZB= eExa/ћ, где a — период решетки,
e/ћ — отношение элементарного заряда к постоянной Планка. Ам-
плитуда пространственных осцилляций в пределах элементарной
ячейки объемом a3равна Eb/2eEx, где Eb— ширина разрешенной
для движения энергетической зоны (c-зоны). Величина Ebсопоставима с разностью энергии электрона на уровне вакуума и дне
c-зоны. Наблюдение колебаний возможно при ωZBτ > 1, где τ —
среднее время релаксации квазиимпульса ћk электрона.
# Явления миграции носителей заряда (электронов, дырок) в
кристаллических полупроводниках описываются в терминах переходов между состояниями. Выделяют, в основном, два механизма
миграции электронов и дырок: зонный (propagating) и прыжковый
(hopping). Зонная электрическая проводимость обусловлена пе-
реносом делокализованных электронов c-зоны и дырок v-зоны, когда время их свободного движения (время жизни в делокализованном состоянии с определенным квазиволновым вектором) гораздо
больше длительности столкновения с фононами или атомами примесей. Когерентность движения (туннелирования) электрона обусловлена периодичностью кристаллической матрицы (проявление
интерференции электронных волн при рассеянии на упорядоченно расположенных атомах). Прыжковая электрическая прово-
димость доминирует в области температур и степеней неупорядоченности кристалла, когда время “оседлой” жизни электрона или
дырки в локализованном состоянии (на точечном дефекте) гораздо
больше времени “пролета” электрона или дырки между дефекта-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]