Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 91
мов каждый атомный уровень расщепляется на N уровней, которые образуют квазинепрерывную разрешенную зону или ее часть.
Электроны заполняют разрешенные зоны энергий в соответствии
с принципом Паули: на N уровнях зоны может находиться не бо-
лее 2N электронов. Свойства кристалла зависят от числа электронов в зоне проводимости и/или от числа незаполненных уровней
энергии (вакансий для электронов) в валентной зоне. Если энергетическая зона заполнена электронами частично, то под действием внешнего электрического поля они перераспределяются по состояниям в зоне. При этом нарушается симметрия распределения
электронов по скоростям — возникает электрический ток. Поэтому
кристалл с частично заполненной c-зоной является проводником
электричества — металлом. Электроны в полностью заполненной
v-зоне из-за принципа Паули не могут перераспределяться по уровням энергии; кристалл с пустой c-зоной и полностью заполненной
электронами v-зоной является диэлектриком (изолятором). Если
тепловой энергии kBT достаточно для перевода части электронов
из v-зоны в c-зону (при kBT ∼ Eg), электропроводность кристалла
будет увеличиваться при его нагревании. Такой кристалл является полупроводником. Если c- и v-зоны слабо перекрываются,
кристалл является полуметаллом (например, Bi), а если эти зоны
смыкаются (Eg= 0) — бесщелевым полупроводником (α-Sn, графен). Зонная теория — приближение к решению исходной задачи:
вывести свойства кристалла из свойств составляющих его атомов.
# Эффект корреляции спинов в конденсированных системах:
а) два электрона с противоположно направленными спинами стремятся подойти друг к другу (притягиваются), б) два электрона
с одинаково направленными спинами стремятся держаться вдали
друг от друга (отталкиваются).
# В одноэлектронной модели (по Хартри – Фоку) кристаллического металла энергия, приходящаяся на один электрон проводи-
мости (электрон c-зоны), есть
Ece= E
где E
и электронов, E
— энергия кулоновского взаимодействия ионных остовов
cor
= 3EF/5 — средняя кинетическая энергия элек-
kin
трона вырожденного ферми-газа, EF— энергия Ферми, E
cor
+ E
kin
+ E
exc
,
— об-
exc
менная энергия взаимодействия между электронами.
# Энергия обменного взаимодействия электронов c-зоны кри-
сталлического полупроводника E
< 0 обусловлена симметрией
exc
92 Глава 5
волновой функции электронов относительно их перестановок в
пространстве координат. В квазиклассическом приближении квантовой механики блоховские волновые функции электронов c-зоны полупроводника заменяются плоскими электронными волнами (приближение эффективной массы для электронов). При этих
условиях одноэлектронная обменная энергия вырожденного газа
электронов c-зоны (в пределе нулевой абсолютной температуры)
есть E
нового вектора kF= (3π2n/ν)
= −3e2kF/8π2εrε0, где величина фермиевского квазивол-
exc
1/3
, n — концентрация электронов во
всех ν долинах c-зоны, εr— низкочастотная относительная диэлектрическая проницаемость кристаллической матрицы, ε0— электрическая постоянная (Дж. Слэтер; 1951 г.).
# Теория перколяции (протекания) описывает возникновение и
свойства бесконечных связных структур (кластеров), состоящих
из отдельных элементов (С. Бродбент и Дж. Хаммерсли; 1957 г.).
Теория перколяции оперирует с моделями физической реальности.
Группы моделей теории перколяции, имеющие общие черты в методике своего построения и используемых при этом формулировках, называются задачами теории перколяции. Система в теории
перколяции включает: 1) элементы (часто такие элементы группируются по двум взаимно исключающим признакам: черные и
белые узлы, разорванные и целые ребра решеток); 2) связь между
элементами; 3) расположение элементов в пространстве. В зависимости от того, из каких элементов состоит система, в рамках
теории перколяции выделяют: задачи узлов, задачи связей, задачи
сфер, континуальные задачи. В задачах узлов такими элементами являются узлы решетки, в задачах связей — ребра решеток.
В задачах сфер кластеры формируются из сфер определенного
радиуса, а в континуальных задачах — из точек пространства.
Соответственно, континуальные задачи можно рассматривать как
предельный случай задачи сфер, когда их число увеличивается,
а радиус стремится к нулю. По способу расположения элементов
системы в пространстве выделяют решеточные задачи и задачи на
случайных узлах. В решеточных задачах теории перколяции места, занимаемые элементами системы, упорядочены, в задачах на
случайных узлах — расположены произвольным образом. Вопросы, которые рассматриваются в рамках задач теории перколяции —
это среднее число элементов в кластере; распределение кластеров
по числу элементов, входящих в них; появление бесконечного кластера и доля входящих в него элементов. Доля элементов систе-
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 93
мы, обладающих определенным признаком (например, доля белых
узлов), при которой в ограниченной системе впервые появляется
кластер, связывающий “противоположные стороны макроскопической системы”, например электроды к ней, называется порогом
протекания (или перколяции). Для ограниченной системы порог
протекания является случайной величиной. Достоверное значение
для порога протекания получается в результате предельного перехода к бесконечному числу элементов, т. е. при переходе от ограниченной системы к неограниченной. Таким образом, в неограниченной системе на пороге протекания появляется бесконечный
кластер. В окрестности порога протекания свойства системы в зависимости от ее параметров описываются степенными законами.
Показатели степеней называются критическими индексами. Численные значения порогов протекания существенно зависят от типа
задач теории перколяции, однако критические индексы одинаковы для различных задач и определяются лишь размерностью пространства, в котором размещены элементы системы. Теория перколяции используется для изучения неоднородных сред со случайными, но зафиксированными в пространстве и неизменными
во времени свойствами. Например, на основе теории перколяции
дано описание переходов парамагнетик–ферромагнетик (решеточная задача узлов), переходов изолятор–металл в композиционных
материалах (континуальная задача и решеточная задача связей) и
прыжковой миграции электронов по неподвижным атомам водородоподобных примесей в кристаллических полупроводниках (задачи на случайных узлах). Вдали от порога протекания обычно
пользуются приближением эффективной среды. Например, если
характерные размеры структурных элементов каждой из фаз гетеросистемы в конденсированном состоянии много меньше длины
световой волны, то гетеросистема может быть представлена как
однородная оптическая среда, а ее свойства описаны эффективной
диэлектрической и магнитной проницаемостями. Различные модели эффективной среды используют дополнительные предположения относительно концентрации, формы и свойств каждой из компонент гетеросистемы. Так, в матричных гетеросистемах каждый
элемент включения окружен со всех сторон средой (матрицей), и
взаимодействием включений можно пренебречь.
94 Глава 5
# Энергетические зоны для электронов кристалла кремния
0
Полная энергия электрона
Расстояние между соседними атомами Si в решетке
4N состояний (sp3)
EA
E
E
E
0 электронов
c-зона
c
E
g
v
b
√
3/4
a
v-зона
4N состояний (sp3)
4N электронов
N = 8/a3= 5·1022атомов Si в 1 см
6N состояний (3p2)
2N электронов
2N состояний (3s2)
2N электронов
ext
3
int
Разрешенные энергетические зоны (полосы) электронов в кристаллическом кремнии образованы совокупностью уровней энергии атомов, “расщепившихся” в результате агломерации свободных
атомов в кристаллическую структуру. Уровни энергии валентных
электронов (еxt) атома расщепляются и сдвигаются сильнее, чем
уровни внутренних электронов (int). Ширина запрещенной зоны
Eg— энергетическая щель между потолком валентной зоны и дном
зоны проводимости — определяется равновесным расстоянием
a√3/4 между ядрами (атомными остатками), где a = 0.543 нм —
постоянная кристаллической решетки (при лабораторных условиях). Схема расщепления уровней энергии изолированных атомов
Si при уменьшении расстояния между ними (при образовании кристалла): Ec— дно зоны проводимости (c-зоны); Ev— потолок валентной зоны (v-зоны); Eg= Ec− Ev≈ 1.1 эВ — ширина запре-
щенной зоны (энергетической щели); EA ≈ 4.15 эВ — электронное
сродство (энергия, выделяющаяся при захвате электрона с нулевой кинетической энергией из вакуума на дно c-зоны Ecкремния);
Eb≈ [ћ(12π2N)
1/3]2
/2m0≈ 12 эВ — ширина валентной зоны. Объ-
ем 1 моля кристаллического кремния — 12.04 см3.
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 95
# Закон дисперсии для электрона c-зоны кристалла
В приближении эффективной массы m для электрона волновая
функция ψ, соответствующая энергии E электрона в образце, имеющем форму куба с ребром длиной L, находится из стационарного
уравнения Шредингера (УШ)
−(ћ2/2m)∂2/∂x2+ ∂2/∂y2+ ∂2/∂z
2
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z).
Если принять ψ(0, y, z) = ψ(L, y, z) = 0 (и аналогично для координат y и z), то из стационарного УШ получаем волновую функцию ψ
ψ
lx,ly,l
где lx, ly, lz= 1, 2, 3, ...; l2= l
в виде стоячей волны и энергию Elэлектрона:
lx,ly,l
z
(x, y, z) =(2/L
z
El= (ћ2/2m)(π/L)2(l
3/2
sin(πlxx/L)sinπlyy/Lsin(πlzz/L);
)
2
2
+ l
x
2
+ l
x
2
+ l
) = (ћ2/2m)(πl/L)2,
y
z
2
2
+ l
.
y
z
Если принять ψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) (и аналогично для ко-
ординат y и z), то из нестационарного УШ получаем волновую
функцию ψk(x, y, z, t) = L
−3/2
exp[i(k·r −(Ek/ћ)t)] в виде бегущей
волны с квазиимпульсом p = ћk и энергию Ekэлектрона
2
2
Ek= Ek= (ћk)2/2m = (ћ2/2m)(k
x
+ k
y
+ k
2
),
z
где r — радиус-вектор, t — время, kx, ky, kz= 0, ±2π/L, ±4π/L, ... .
Если L a, где a — постоянная кристаллической решетки, то
для электрона с тепловой энергией E = 3kBT/2 и m = m0получаем
l = L(2mE)
1/2
/πћ ≈ 106(при температуре T ≈ 300 К и L ≈ 1 см),
при этом одноэлектронная энергия E квазинепрерывно зависит от
l (или k). Каждому состоянию {kx, ky, kz} соответствует элемент
объема (2π/L)3в k-пространстве, так что число состояний в сфере
объемом 4πk3/3 равно (4πk3/3)/(2π/L)3. Число состояний g3dE в
интервале энергий (E, E + dE) для E Ebс учетом двукратного
вырождения каждого из них по спину есть:
d
4πk3/3
g3dE = 2
dk
(2π/L)
а) б)
E
E
b
dk
3
dE = L
dE
4π(2m)
3
g
(2πћ)
3
3/2
3
√
E dE.
−π/a
k
0
π/a
x
0
E
E
b
а), б) Закон дисперсии E(kx) и плотность одноэлектронных состояний g3в кристалле; Eb— энергетическая ширина c-зоны.
96 Глава 5
# Зависимости одноэлектронной энергии E от волнового вектора k
и одноэлектронной плотности состояний g от E в пределах первой
зоны Бриллюэна кристаллических материалов: непрямозонного полупроводника (а), бесщелевого прямозонного полупроводника (б),
полуметалла (в) и металла (г). Обозначения: EF— химический
потенциал (уровень Ферми), mnd, mpd— эффективная масса плотности состояний электрона c-зоны (e−) и дырки v-зоны (h+).
а)
б)
в)
c-зона
v-зона
−
e
Ec, E
E
gn∝ m
E
c
E
mnd= 6
F
E
v
c-Si
3/2
(E − Ec)
nd
2/3(m2
⊥
mk)
1/2
1/3
g
E
α-Sn
mpd m
E
F
v
gp∝ m
nd
3/2
(Ev− E)
pd
1/2
g
E
E
Ec(k)
E
F
E
g
k
E
Ec(k)
E
F
Ev(k)
k
E
Bi
+
+
h
h
E
F
−
e
E
F
mpd m
v-зона
nd
г)
k
E
E
F
Ev(k)
E
E
F
E
c
E
v
c-зона
Cu
mnd≈ m
k
g
0
g
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 97
Концентрация электронов в c-зоне — зоне разрешенных значений энергии делокализованных (свободных) электронов — трех-
мерного кристаллического образца объемом V есть:
n =
(2π)
Z
2
fFD(Ek) dkxdkydkz=
3
BZ
V
Z
1
g(Ek)fFD(Ek) dEk,
BZ
где интегрирование проводится в пределах 1-й зоны Бриллюэна;
fFD= 1/{1 + exp[(Ek− EF)/kBT]} — распределение Ферми – Ди-
рака, EF— уровень Ферми, kBT — тепловая энергия, g(Ek) =
= V m
3/2
(2Ek)
1/2
/(π2ћ3) — одноэлектронная плотность состояний
в расчете на две возможные ориентации спина электрона с квазиволновым вектором k, эффективной массой m и кинетической
энергией Ek= E = (ћk)2/2m. Размерность n — (длина)−3.
а) Концентрация электронов niи дырок piв собственном (неле-
гированном) полупроводнике с шириной запрещенной зоны (энергетической щели) Eg= Ec− Ev> 0 при температуре T равна
ni= pi= 2(mnmp)
3/4
2πkBT
(2πћ)
3/2
2
exp
−E
2kBT
g
,
где mn(= mnd), mp(= mpd) — эффективные массы плотности состояний для электронов (n) и дырок (p); уровень Ферми EF= −Eg/2+
+ (3/4)kBT ln(mp/mn) отсчитывается от дна c-зоны Ec= 0.
б) В типичном бесщелевом полупроводнике (сером олове =
= α-Sn) mn mpи уровень Ферми EF> 0 расположен в c-зоне:
m
m
p
n
2πmpkBT
(2πћ)
#
3/2
3π2ћ
3/2
3
"
; pi≈ 2
(2mnEF)
ni≈
Из условия электрической нейтральности ni= piследует:
3√π
EF≈ kBT ln
4
3/2
2
exp
, так что ni∝ T
−E
kBT
3/2
F
.
.
в) В полуметаллах концентрация электронов c-зоны niравна
концентрации дырок v-зоны pi. Число подвижных электронов и
дырок на атом по порядку величины составляет от 10−5до 10−3.
г) Концентрация электронов проводимости ni∝ E
3/2
F
в собственном (нелегированном) металле равна концентрации ионных
остовов матрицы и практически не зависит от температуры:
ni=
V
Z
∞
1
g(E)fFD(E, EF) dE ≈
0
V
Z
E
F
1
(2mnEF)
g(E) dE =
0
3π2ћ
3/2
.
3
98 Глава 5
PSfrag replacements
PSfrag replacements
PSfrag replacements
# Зависимость одноэлектронной энергии E от квазиимпульса
p = (px, py) при pz=const в кристаллических полупроводниках:
приближение эффективной массы для электронов и дырок
а) Зонная диаграмма полупроводника с изотропной (сфериче-
ски симметричной) массой электрона mnу дна c-зоны Ec(0), где
px= 0 соответствует центру зоны Бриллюэна.
p
E
Ec(px)
y
Ec=
1
2m
2
2
(p
+p
)
x
n
y
б) Полупроводник с изотропной массой дырки mpу потолка
v-зоны Ev(0) при px= 0.
в) Многодолинный полупроводник с поперечной (mt) и про-
дольной (ml) эффективными массами электрона c-зоны.
г) Полупроводник с вырожденным потолком v-зоны (1 и 2 —
подзоны тяжелых (hh) и легких (lh) дырок соответственно, 3 —
подзона спин-орбитального расщепления ∆soпотолка v-зоны). Показаны изоэнергетические контуры Ehh, Elhи E
∆
Ev=
Ec=
p
l
.
p
p
p
2m
p
E
x
2m
x
2
t
x
hh
E
p
1
2
2
(p
+p
)
x
p
2m
y
2
l
l
p
+
t
lh
x
0
Ec(px)
p
x
p
x
Ev(px)
p
y
0
p
y
p
t
0
E
0
E
0
0
E
0
p
x
soh
p
y
p
x
1
2
1
so
Ev(px)
3
0
2
3
E
soh
Делокализованные электронные состояния. Энергетические зоны 99
# Ионизационное равновесие в слабо легированном невырожденном кристаллическом полупроводнике p-типа
1. Условие электрической нейтральности полупроводника:
p + KNa= N
где p — концентрация дырок v-зоны, Na= N
a,−1
,
a,0
+ N
— концен-
a,−1
трация водородоподобных акцепторов в зарядовых состояниях (0)
и (−1); K = Nd/Na< 1 — отношение концентрации водородоподобных доноров Nd= N
, полностью находящихся в зарядовом со-
d,+1
стоянии (+1), к концентрации акцепторов (основной примеси).
2. Концентрация дырок v-зоны для невырожденного полупро-
водника (уровень Ферми EF< 0 отсчитывается от потолка v-зоны):
p = pvexp
E
F
kBT
2(2πmpdkBT)
=
(2πћ)
3/2
3
exp
E
F
kBT
,
где kB— постоянная Больцмана, T — абсолютная температура,
mpd— эффективная масса плотности состояний дырки (при учете
тяжелых и легких дырок), |EF| > 3kBT, ћ — постоянная Планка.
3. Концентрация отрицательно заряженных акцепторов
N
N
a,−1
=
1 + γa(lt) exp[(Ea+ EF)/kBT]
где Ea> 0 — уровень энергии основного (невозбужденного) состояния акцептора, γa(lt) = γa(l =1)
a
P
l
t
l2exp[(1 − l2)Ia/l2kBT]; чис-
l=1
= Na− N
a,0
,
ло l нумерует возбужденные состояния акцепторов в зарядовом
состоянии (0), lt= (Rim/aH)
денных состояний, Rim≈ 0.62[(1+K)Na]
1/2
> 1 — максимальное число возбуж-
−1/3
— радиус сферической
области в кристаллической матрице, приходящейся на один атом
примеси, aH= e2/8πεrε0Ia— боровский радиус дырки на акцепторе, εrε0— диэлектрическая проницаемость матрицы, Ia— энергия
ионизации одиночного (уединенного) акцептора.
4. При низких температурах (когда p K(1 − K)Na) из условий
(1–3) имеем:
p = p
где pv= 2.5·1019(mpd/m0)
(1 −K)
v
γaK
3/2
(T/300)
exp−
3/2см−3
E
a
,
kBT
; γa= 4 (для основного
состояния типичных акцепторов — атомов бора, галлия и алюминия, замещающих атомы кристаллической матрицы в кремнии и
германии); Ea= (1 − aH/Rim)Ia— зависящая от концентрации всех
примесей (Na+ Nd) энергия термической ионизации акцепторов.
Глава 6. Поверхность. Пленки, нити, наночастицы
# Идеальная поверхность кристалла представляет собой дву-
мерное расположение атомов с тем же трансляционным периодом,
что и внутри кристалла для параллельной поверхности атомной
плоскости. Реальная поверхность кристалла представляет сверхструктуру, созданную перегруппировкой атомов поверхности. Следовательно, можно определить элементарные возбуждения, кото-
рые локализованы в узкой области в направлении нормали к поверхности, но распространяются вдоль поверхности. Эти элемен-
тарные возбуждения условно подразделяют на одночастичные
возбуждения (электроны и/или дырки), локализованные в поверх-
ностных состояниях; коллективные возбуждения (поверхностные
плазмоны, как коллективные возбуждения электронного (дырочного) газа вблизи поверхности, поверхностные фононы и т. д.).
# Поверхностные (таммовские) состояния — двумерные состо-
яния электронов и/или дырок, возникающие на чистой поверхности кристалла из-за обрыва кристаллической решетки. Уровни
энергии этих состояний всегда попадают в энергетические зоны,
запрещенные для электронов объема с тем же значением компоненты квазиволнового вектора вдоль поверхности kk(это, однако,
не противоречит существованию в объеме кристалла разрешенных
состояний с той же энергией, что и таммовские, но с другими
значениями kk). Таммовские состояния образуют поверхностные
энергетические зоны, состоящие из близко расположенных уровней энергии, соответствующих различным kk.
# Различают два вида адсорбции: 1) физсорбция, при которой
отсутствует перенос электронов между адсорбатом и адсорбентом,
и силы притяжения между ними являются поляризационными;
2) хемосорбция — при наличии электронного переноса, т. е. химической реакции между адсорбатом и адсорбентом, и силы притяжения при этом имеют ту же природу, что и в соответствующей
химической связи. Энергия связи (или энергия десорбции) при физической адсорбции меньше, чем при химической.
# Пористость — отношение объема открытых пор (связанных с
внешней средой даже на уровне отдельных молекул) к общему
объему пористого материала. Поры отличаются от трещин тем,
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]