Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Начала статистической термодинамики и квантовой механики 281
перестановки любых пар одинаковых ферми-частиц (при перестановке координат двух тождественных частиц волновая функция
меняет лишь знак). Принцип Паули исключает возможность находиться условно в одной точке пространства двум электронам
с параллельными спинами (собственными магнитными моментами). Этот запрет распространяется и на некоторую область вокруг
данного электрона, где вероятность найти электрон с тем же направлением спина мала. (Как следствие, в окрестности электрона возникает т. н. “обменная” или “фермиевская” дырка.) Но и
электронам с антипараллельными спинами мешает сблизиться их
кулоновское отталкивание. (Как следствие, в окрестности данного электрона возникает т. н. “кулоновская” или “корреляционная”
дырка.) Если бы принцип Паули не выполнялся для электронов
(т. е. если бы электроны были бозонами), ни одно тело не могло
бы быть твердым [все тела занимали бы меньший объем (были бы
более плотными)] и все было бы “липким”?
# Волновая функция квантовой системы многих частиц при
перестановке двух частиц либо не изменяется (для бозонов), либо меняет знак (для фермионов). Для фермионов принцип Паули
можно сформулировать так: 1) в одном и том же квантовом состоянии системы не может находиться более одного фермиона, т. е.
два электрона могут иметь одинаковые пространственные волновые функции, только если у них противоположные направления
спинов; 2) волновая функция фермионов антисимметрична относительно перестановки двух фермионов.
# Принцип Паули связан со спином электрона (собственным ди-
польным магнитным моментом) и не может быть выведен из более
общих законов природы. Для учета спина полная волновая функция ψ электрона представляется в виде произведения ϕχ пространственной ϕ и спиновой χ волновых функций. Величина |ψ|2есть
плотность вероятности нахождения электрона с данным спином
в данной точке пространства. Принцип Паули первоначально был
сформулирован для атома так: не может быть двух электронов
с одинаковой пространственной частью волновой функции (т. е.
занимающих одну орбиталь) и одинаковым спином. Этот принцип ограничивает предельное число электронов на одной орбитали. Действительно, если каждая атомная орбиталь характеризуется тремя квантовыми числами (главным n, орбитальным l и
магнитным m), и число m принимает только два разных значе-
282 Приложение
ния, то на орбитали не может быть более двух электронов. Спины
этих электронов должны быть противоположны по направлению
(т. е. скомпенсированы). Электроны принципиально неразличимы.
Так что обмен электронов не вызовет изменений в системе, что
эквивалентно постоянству |ψ|2при обмене их пространственными
и спиновыми координатами. Вследствие этого волновая функция
должна оставаться неизменной или менять только знак при перестановке координат двух электронов, т. е. волновая функция ψ
может быть симметричной или антисимметричной по отношению
к обмену координатами. Установлено, что только антисимметричные функции описывают электроны, поэтому более общей формой
принципа Паули является требование антисимметричности полной
волновой функции при обмене электронами. Обмен пространственными и спиновыми координатами x для двух электронов 1 и 2 в
одной квантовой системе можно записать так:
ψ(x1, x2, x3, ...) = −ψ(x2, x1, x3, ...),
где xiобозначает все координаты i-го электрона. Если два электрона имеют одинаковый набор пространственных и спиновых координат x1= x2= x, то ψ(x, x, x3, ...) = −ψ(x, x, x3, ...), и следовательно ψ(x, x, x3, ...) = 0. Волновая функция ψ обращается в нуль,
если два электрона обладают одинаковыми наборами координат,
т. е. два электрона с одинаково направленными спинами не могут одновременно иметь отличные от нуля волновые функции в
одной точке пространства. Если же спины электронов направлены противоположно, то предыдущее ограничение отменяется. Это
означает, что хотя пространственная часть ϕ волновой функции ψ
симметрична по отношению к обмену электронами, спиновая часть
χ волновой функции ψ остается антисимметричной, сохраняя за
полной волновой функцией такое же свойство. Действие принципа Паули независимо от электростатического отталкивания между
электронами. Для электронов с одинаковыми спинами электростатическое отталкивание только усиливает их стремление к взаимному удалению, а для электронов с противоположными спинами
электростатическое отталкивание препятствует их сближению.
# Бозоны (частицы с нулевым или целым спином) принципу запрета Паули не подчиняются, и для них разрешены многократно
заполненные квантовые состояния (в частности, работа лазеров
возможна потому, что большое число фотонов может находиться в
одном и том же состоянии).
Начала статистической термодинамики и квантовой механики 283
# Вторичное квантование — метод описания квантовых систем,
состоящих из большого числа тождественных частиц, в котором
роль независимых переменных волновой функции играют числа
заполнения числа частиц в индивидуальных состояниях отдельной
частицы. Формально вторичное квантование сводится к замене одночастичной волновой функции (например, в координатном или
импульсном представлении) на операторы рождения и уничтожения частиц в состоянии, описываемом этой волновой функцией.
К введению вторичного квантования приводят следующие рассуждения. Первичное квантование заменяет наблюдаемые величины
операторами, а результаты экспериментов рассматриваются как результат действия этих операторов на волновые функции, полученные решением уравнения Шредингера для рассматриваемой системы. Предположим по аналогии, что мы интерпретируем волновые
функции ψkкак операторы, действующие на что-то иное. При этом
мы выходим за рамки привычной процедуры квантования и попадаем в мир вторичного квантования, в котором действие оператора
+
ψ
(на нечто иное) порождает частицу в состоянии k, а действие
k
оператора ψ
−
приводит к уничтожению частицы в состоянии k.
k
Можно понять, что такая возможность порождать и уничтожать
частицы позволяет получить способ вывода уравнений для расчета
квантово-механических свойств многочастичных систем. В рамках метода вторичного квантования переход квантовой системы из
одного состояния в другое можно трактовать как “рождение” в
системе одних частиц и, возможно, “уничтожение” других.
# Матрица плотности (статистический оператор) квантовой системы — это квантово-механический аналог классической функции распределения вероятности значений наблюдаемой величины.
Диагональные элементы матрицы плотности задают статистически
усредненные заселенности состояний, а недиагональные — усред-
ненные корреляции между состояниями системы.
# Потенциальная энергия: энергия, которой обладает тело бла-
годаря своему положению (а не движению) в поле внешних сил.
Потенциальный барьер — ограниченная область пространства,
недоступная, согласно классическому описанию, для частицы (системы) при заданной энергии. Формально в области барьера потенциальная энергия частицы больше, чем ее полная энергия. Потен-
циальная яма — область пространства, в которой потенциальная
энергия частицы меньше, чем вне ее.
284 Приложение
# Если на аморфную пленку, содержащую N ядер (пленку для
того, чтобы ядра не “затеняли” друг друга), падает параллельный
моноэнергетический пучок нейтронов с однородной и стационарной пространственно-временной плотностью потока I и за время
t происходит αt актов рассеяния, то полным сечением рассея-
ния нейтронов на одном ядре называется отношение α/I N . Длина
свободного пробега — расстояние, проходимое частицей между
последовательными столкновениями.
# В модели Друде – Лоренца вместо того, чтобы рассматривать
внешние силы, действующие на отдельный электрон проводимости (электрон c-зоны), и затем усреднять результат по всем электронам, описывается влияние внешних сил на некоторый “средний электрон”, характерный для всего ансамбля. Чтобы выяснить
макроскопическое поведение системы, следует вклад от “среднего
электрона” умножить на число электронов.
# Туннельный эффект — явление проникновения квантовой си-
стемы (частицы) через область потенциального барьера, разделяющего две классические доступные области. Температурная зависимость вероятности туннельного перехода определяется: 1) тепловым заселением высших уровней энергии туннелирующей частицы
(указанный механизм может привести к существенному ускорению
туннельного перехода лишь при таких температурах, когда уже
нельзя пренебречь надбарьерными переходами); 2) термическими
флуктуациями параметров потенциального барьера. Эффект Зи-
нера — туннельный переход электронов из валентной зоны (vзоны) в зону проводимости (c-зону) при приложении к кристаллическому диэлектрику электростатического поля.
# Адиабатическое условие соответствует большой величине от-
ношения времени пролета электроном атомной системы (иначе времени изменения взаимодействия) tiк периоду собственных колебаний атомов и/или молекул в этой системе 2π/ω. Например, если скорость электрона настолько мала, что выполняется условие
ω 2π/ti, то пролетающий электрон не может вызвать в системе
квантовых переходов, соответствующих угловой частоте ω.
# Метод адиабатического исключения переменных при реше-
нии уравнений движения. Если “быстрые” переменные, описывающие процессы в системе, достигают своего стационарного состояния гораздо быстрее “медленных” переменных, которые остаются
почти статичными, и их изменение во времени можно описать как
Начала статистической термодинамики и квантовой механики 285
адиабатический дрейф, то выражения для быстрых переменных
можно представить в виде алгебраических функций от медленных
переменных. Эти функции можно подставить в уравнения движения для медленных переменных, получив таким образом самосогласованное решение.
# В периодической (в пространстве) решетке рассеивающих центров волна способна распространяться без затухания благодаря
когерентной интерференции рассеянных волн.
# В первом порядке теории возмущений скорость перехода W
(вероятность перехода в единицу времени) квантовой системы из
состояния с энергией Eiи волновой функцией ψiв группу состояний с энергетической плотностью ρ(Ef) в окрестности энергии
Ef= Eiи волновой функцией ψfпод действием стационарного воз-
мущенияbU определяется “золотым правилом Ферми”:
Wfi=
2π
ћ
Z
∗
b
ψ
Uψid3r
f
2
ρ(Ef),
где ∗ — знак комплексного сопряжения; d3r = r2sin ϑ dr dϑ dϕ —
трехмерный элемент объема; Wfiимеет размерность (время)−1.
# Неупругое рассеяние частицы — процесс столкновения части-
цы с мишенью, в результате которого поглощается часть кинетической энергии частицы и изменяется внутреннее состояние частицы
и/или мишени. В случае упругого рассеяния изменяются лишь
импульсы частицы и мишени (при сохранении их суммарной кинетической энергии).
# Ааронова – Бома эффект — влияние скалярного и векторного
потенциалов (ϕ и A) внешнего электромагнитного поля, напряженности (E и H) которого сосредоточены в области пространства,
недоступной (в условиях эксперимента) для заряженной частицы,
на ее квантовое состояние.
# Вектор — направленный отрезок в евклидовом пространстве;
элемент векторного пространства. Аксиальный (осевой) вектор,
в отличие от полярного вектора, не преобразуется в противо-
положный при переходе от левой декартовой системы координат
к правой (или при переходе от правой декартовой системы координат к левой). Аксиальные векторы: угловая скорость, индукция магнитного поля, вектор Бюргерса и др. Полярные векторы:
радиус-вектор, линейная скорость, плотность тока, напряженность
электрического поля и др.
fi
286 Приложение
# Эффект Яна – Теллера: в состоянии с электронным вырожде-
нием ядерная конфигурация нелинейной многоатомной системы
неустойчива по отношению к смещениям ядер, снимающим это
вырождение. В вырожденном электронном состоянии симметрия,
на которой основано это вырождение (расположение ядер в молекуле), вообще говоря, нарушается. Под эффектом Яна – Теллера
понимают круг явлений, связанных с особенностями систем с вырожденным электронным состоянием: вследствие такого вырождения симметричная конфигурация атомов оказывается неустойчивой, возникает специфическое сильное электрон-колебательное
(вибронное) взаимодействие, в ряде случаев происходят структурные фазовые переходы с понижением симметрии молекулы, кристалла и т. д. Молекулам с высокой симметрией присуща внутренняя неустойчивость, и они способны понизить свою энергию, переходя в конфигурацию с более низкой симметрией. Поэтому если
результаты расчетов показывают, что основное состояние молекулы вырождено, то рассматриваемая форма этой молекулы является
неустойчивой, а ее естественное состояние — менее симметричная
форма, в которой отсутствует вырождение. Это заключение не распространяется на линейные молекулы, которые могут существовать в симметричных вырожденных состояниях, однако для них
существует аналогичный эффект более высокого порядка, называемый эффектом Реннера – Теллера. При наличии электронного
вырождения симметрия электронного распределения в отдельных
состояниях ниже, чем симметрия ядерной конфигурации (приводящей к вырождению). Поэтому минимуму адиабатического потенциала соответствует конфигурация ядер более низкой симметрии.
# Погрешность — мера экспериментальной неопределенности измеренной величины, указывающая на ее воспроизводимость. Точ-
ность — мера отклонения наблюдаемой величины от (предполагаемого) среднего ее значения.
# Как свет может замедлить движение атомов в газе? Проиллюстрируем принцип охлаждения газа двумя пучками света одной
частоты и поляризации, которые “освещают” одиночный (уединенный) атом. Пусть один пучок распространяется в том же направлении, что и атом, а другой — в противоположном. Частота света несколько ниже одной из частот электромагнитного излучения,
которое атом может поглощать. В системе отсчета, связанной с
атомом, частота пучка света, движущегося в том же направлении,
Начала статистической термодинамики и квантовой механики 287
что и атом, уменьшается, а встречного — увеличивается (вследствие эффекта Доплера). В результате атом будет поглощать эти
высокочастотные фотоны, а не низкочастотные, и поэтому в силу
закона сохранения суммарного импульса (атома и фотона) будет
“подталкиваться” в направлении, противоположном своему движению, т. е. будет замедляться. Испускание поглощенного света
будет “толкать” атом в некотором направлении, но если этот процесс повторяется многократно, испускание не дает суммарной силы. Таким образом, атомы замедляются и газ в целом охлаждается
радиационным давлением лазерного излучения.
# Принцип Ле Шателье – Брауна: если на систему многих ча-
стиц, находящихся в состоянии термодинамического равновесия,
оказывается внешнее воздействие, то в системе проявляются процессы, ослабляющие результаты этого воздействия. Впервые этот
принцип был высказан А. Ле Шателье (1884 г.) и сформулирован
К. Брауном (1887 г.) при анализе условий равновесия в химических реакциях. Принцип Ле Шателье – Брауна позволяет определить направление смещения термодинамического равновесия при
внешнем возмущении без детального анализа условий равновесия. Например, согласно этому принципу, нагревание (охлаждение) равновесной системы стимулирует в ней процессы, стремящиеся понизить (повысить) ее температуру. Пусть в смеси газов идет
несколько химических реакций. Одни реакции идут с выделением
тепла, а другие с поглощением тепла. Тогда без каких-либо расчетов можно утверждать (на основе лишь принципа Ле Шателье –
Брауна), что нагревание сдвигает химическое равновесие в сторону реакций, протекающих с поглощением тепла, а охлаждение — в сторону реакций, протекающих с выделением тепла. Таким образом, система как бы стремится ослабить результат внешнего воздействия. Принцип Ле Шателье – Брауна обобщает правило, установленное Э. Ленцем (1833 г.): индукционный ток, наведенный нестационарным магнитным полем в замкнутом электрическом контуре, имеет такое направление, что своим магнитным
полем он препятствует изменению магнитного потока, вызывающего этот индукционный ток. (За направление электрического тока
принято направление движения положительных зарядов.)
# Элементарный электрический заряд — фундаментальная фи-
зическая постоянная; значение элементарного электрического заряда e = 1.602·10
−19
Кл = 0.1602 аКл. Любые наблюдаемые в экс-
288 Приложение
перименте электрические заряды целочисленно кратны элементарному электрическому заряду. Например, заряд протона и позитрона равен +e, заряд электрона равен −e. Заряд нейтрона, фотона
и нейтрино равен нулю. Во всех превращениях элементарных частиц, в ядерных и химических реакциях электрический заряд сохраняется. Сила притяжения (или отталкивания) двух неподвижных точечных заряженных частиц прямо пропорциональна произведению их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (Ш. Кулон; 1785 г.). Идею дискретности электрического заряда высказал Г. Гельмгольц (1881 г.), интерпретируя законы электролиза, открытые М. Фарадеем (1833 г.). В атоме число положительно и число отрицательно заряженных частиц
одинаково, причем противоположные заряды разделены: протоны
сосредоточены в атомном ядре, а электроны распределены вокруг
ядра. Если атом теряет или присоединяет электроны (один или
несколько), он становится ионом. Заряд в один кулон переносится
за одну секунду через поперечное сечение проводника постоянным
(стационарным) электрическим током силой один ампер.
# Обменное взаимодействие — часть кулоновского взаимодей-
ствия между электронами (или между другими заряженными элементарными частицами, например протонами). [Согласно принципу Паули, полная волновая функция квантовой системы должна
быть антисимметричной относительно перестановки (обмена) двух
тождественных частиц с полуцелым спином (собственным магнитным моментом).] Полная волновая функция ψ представляется в
виде произведения пространственной ϕ и спиновой χ волновых
функций. Функция ϕ является симметричной по отношению к
обмену местами электронов, а функция χ является антисимметричной, сохраняя за полной волновой функцией ψ = ϕχ такое же
свойство. Теоретически предсказано и экспериментально установлено, что только антисимметричные функции ψ правильно описывают свойства электронов. В одной квантовой системе два электрона с одинаковым направлением (ориентацией) спина не могут
одновременно иметь отличную от нуля функцию ψ в одной точке
пространства координат. (Если же спины электронов ориентированы противоположно, то это ограничение отменяется.) Энергия
обменного взаимодействия электронов двух атомов с незаполненными внешними электронными оболочками отрицательна, и ато-
мы притягиваются (например, Na + Cl). Энергия обменного взаимодействия электронов двух атомов с заполненными внешними
Начала статистической термодинамики и квантовой механики 289
электронными оболочками положительна, и атомы отталкива-
ются (например, He + He). Обменное взаимодействие обусловли-
вает существование орто- и пара-состояний атома гелия, устойчивость ковалентной химической связи между атомами углерода в
алмазе, ферромагнитное состояние металлического кобальта и др.
При образовании молекул H2O и H2определенную роль играет и
обменное взаимодействие между протонами атомов водорода.
# Наличие спина у валентного электрона атома Ag выявлено по
расщеплению пучка этих атомов на две компоненты при прохождении через неоднородное стационарное магнитное поле (О. Штерн,
В. Герлах; 1922 г.). В свете этого эксперимента В. Паули (1924 г.)
допустил наличие у электрона внутренней степени свободы с двумя состояниями, а Дж. Уленбек и С. Гаудсмит (1925 г.) предположили, что электрон обладает собственным угловым моментом
(неверно интерпретированным ими как результат механического
вращения самого электрона и названного поэтому спином). В соответствии с квантово-механическим описанием момента импульса, проекция спина Szна ось z декартовой системы координат
(x, y, z), может принимать только дискретные значения: Sz= ћms,
где ћ — постоянная Планка, ms— квантовое число изменяется от
−s до +s с шагом 1 для некоторого целого или полуцелого числа
s. Величина s называется спиновым квантовым числом (значе-
ние s часто называют спином частицы). Для электрона s = 1/2,
и проекция спина Szможет принимать значения ћ/2 и −ћ/2. Согласно квантовой теории, квадрат вектора спина равен ћ2s(s + 1).
(Орбитальный момент импульса частицы, обусловленного движением частицы как целого, характеризуется орбитальным квантовым числом и может принимать только целые значения.) Для ядер
атомов спин определяется как векторная сумма спиновых и орбитальных моментов протонов и нейтронов, составляющих ядро.
Вектор спинового магнитного момента µ заряженной частицы связан с ее спином S соотношением µ = g(q/2m)S, где q/m — отношение заряда к массе частицы; число g называется g-фактором.
Для электрона в вакууме ge= −2.0023. Спиновый магнитный момент электрона µe= ge(µB/ћ)S, где µB= eћ/2me— магнетон Бора, e — элементарный заряд, me(= m0) — масса электрона в вакууме. Для описания спиновых магнитных моментов протона и
нейтрона используется ядерный магнетон µN= eћ/2mp, где mp—
масса протона. Магнитный момент протона µp= gp(µN/ћ)S, где
gp= 2µp/µN= 5.586. Нейтрон не обладает электрическим зарядом,
290 Приложение
но обладает спиновым магнитным моментом µn= gn(µN/ћ)S, где
gn= −3.826. Согласно В. Паули (1940 г.), знак волновой функции
квантовой системы изменяется на противоположный при перестановке двух тождественных частиц с полуцелым спиновым числом
(фермионов) и не изменяется при перестановке двух тождественных частиц с целым спином (бозонов). Следствием этого является
принцип запрета Паули: стационарные состояния системы, в которых два тождественных фермиона обладают одинаковыми наборами квантовых чисел, не реализуются.
# Спин — собственный угловой момент элементарной частицы, не
обусловленный ее движением в трехмерном евклидовом пространстве. Вектор спина является величиной, характеризующей ориентацию элементарной частицы в квантовой теории. Он означает
определенный закон преобразования компонент волновой функции
частицы при преобразовании (повороте и/или зеркальном отражении в плоскости) системы координат или пространства. Термин
спин применяют также к атомному ядру, рассматриваемому как
целое. Квантовое число s спинового углового момента принимает
значения s = 0, 1/2, 1, ...; угловой момент равен sћ, где ћ — постоянная Планка. Проекция спинового момента на физически выделенное направление в евклидовом пространстве принимает значения msћ, где ms= −s, −s + 1, ..., s − 1, s.
# Электроны, а также протоны и нейтроны являются фермионами и обладают собственным моментом импульса (спином) S.
Проекция Szспина S электрона на некоторое направление z может принимать только два дискретных значения: Sz= ћms, где
ћ = h/2π — постоянная Планка, ms— магнитное квантовое чис-
ло, принимающее значения −1/2 и 1/2. Эти два состояния спина обозначаются символами | i и | i соответственно. Магнитный
момент электрона, находящегося в вакууме, пропорционален моменту импульса и определяется соотношением: µe= −|ge|(µB/ћ)S,
где |ge| = 2.00232 — модуль g-фактора электрона, µB= eћ/2me—
магнетон Бора, e — элементарный заряд, me(= m0) — масса электрона. Зеемановское расщепление электронных уровней энергии
квантовой системы в стационарном внешнем магнитном поле с индукцией B равно ∆EZ= |ge|µBB|∆S|, где ge— g-фактор электрона,
B = |B|; ∆S = ±1. Величина ∆EZсоответствует различным значе-
ниям проекции магнитного момента электрона |µe| = |ge|µB/2 на
направление вектора индукции B магнитного поля.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]