Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
DU
u
B
xcDX
BB
, .
hh
* Если введены условные варианты ,
то
xhuc ,
BB
DX hDU
BB
B
2
xc
i
u
т.е.
i
2
h
.
xhuc
ii
* Можно использовать и следующие формулы
2
xc
xc
i
i
xhcDX hxc
BB B
n
i
h
nn
,() ( )
i
h
i
n
i
22
9. Методы получения точечных оценок
9.1 . Метод моментов
Этот метод был предложен английским статистиком Карлом
Пирсоном в 1894 году. Достоинством метода является его простота, получаемые оценки являются состоятельными, но не всегда
эффективны и могут иметь смещение.
, ,...,
По выборке
метров
, ,...,
12
xx x нужно дать оценки
12
некоторого распределения, если вид распреде-
l
n
ления известен с точностью до этих параметров. Напомним, что:
Начальным теоретическим моментом порядка k случайной величины X называется число
n
=M[Xk];
k
Центральным теоретическим моментом порядка k слу-
чайной величины X называется число
m
=M[(X-mx)k] .
k
Заметим, что n
1=mx
, m2=Dx .
, ,...,
12
пара-
l
151
Выборочный (эмпирический) начальный момент k-го порядка
находим по формуле
n
1
*
ki
k
;
x
n
i
1
выборочный (эмпирический) центральный момент k-го порядка
находим по формуле
n
1
*
xx
n
1
i
k
.
Вычисляем по выборке l эмпирических моментов (начальных
и центральных) и приравниваем их к l соответствующим теоретическим моментам. Получим систему l уравнений с l неизвестными
, ,..., .
12
l
Решения
*
θ
= j1(x1,x2 ,.., xn), q
1
*
= j2(x1, x2,.., xn),...,q
2
*
= jl (x1, x2,.., xn)
l
полученной системы l уравнений являются cоcтоятельными оценками параметров θ
, θ 2,..., θ l.
1
►Пример 14. Случайная величина X распределена нормаль-
но, но параметры
a и s неизвестны. Найти по выборке
, ,...,
xx x
12
n
точечные оценки этих параметров.
Решение.
Оценки параметров и σ найдем из системы двух уравнений,
ax
приравняв ν
1=ν1
*
, μ2=μ
*
или ,,
m›D D т.е.
2
x‰x B
B
2
.
D
B
Решением системы являются a*=
x , s
B
*
=
D . ◄
B
► Пример 15. Случайная величина X распределена по показательному закону, но параметр l неизвестен. Найти точечную
оценку l по выборке
152
, ,..., .
xx x
12
n
Решение.
Т.к. неизвестен один параметр, то решаем одно уравнение ν
1
или mx =
› ; но т.к. m
‰
=
x
, то
1
x , откуда решение l
B
*
=
1=ν1
1
.◄
x
B
►Пример 16. Оценить методом моментов параметр p (веро-
ятность успеха) в биноминальном распределении по числу m появлений события A в n в независимых опытах.
Решение.
Пусть Х – число появлений события А в одном опыте (индикатор события в одном опыте). Тогда ряд распределения величины
Х имеет вид
X01
P 1-p p
Здесь р – вероятность появления события А в одном опыте.
Тогда
0(1 ) 1
mppp.
X
*
◄
*
или mx=
1
Оценку p* находим из уравнения ν1=ν
n
11
*
pxm
i
nn
i
1
.
Следовательно, p*= .
m
n
►Пример 17. Случайная величина X распределена равномерно на
;.ab Требуется оценить неизвестные параметры a и b
по выборке.
Решение.
Рассмотрим систему двух уравнений
ab
*
11
22
или
*
mx
xB
DD
xB
или
2
ba
12
x
B
2
D
B
ab x
ba D
x , т.е.
B
2
B
12
B
153
*
ax D
bx D
3,
BB
3
BB
◄
Существуют и более эффективные оценки
**
ab
,
11
nn
,
где a= min xi, b=max xi.
Замечание 7. Если неизвестных параметров больше двух, то
используют другие начальные и центральные моменты.
9.2 . Метод наибольшего правдоподобия
Этот метод был предложен английским статистиком
P. Фишером в 1912 году.
9.2.1. Дискретная случайная величина
Пусть X-дискретная случайная величина, вид закона распределения которой известен, но неизвестен параметр q, которым
определяется этот закон. Требуется по выборке (x
ти точечную оценку q
Пусть p (x
;q) - вероятность того, что в результате опыта слу-
i
чайная величина X примет значение x
*
параметра q.
, где i=1, 2,..., n.
i
, x2 ,..., xn) най-
1
Функцией правдоподобия дискретной случайной величины X
назовем функцию
L (x
Оценку q
,..., xn ,q) = p (x1;q)× р(x2;q)×...× p(xn;q).
1 , x2
*
= j (x
,..., xn), при которой функция правдоподо-
1 , x2
бия достигает максимума, называют оценкой наибольшего правдоподобия. Т. к. функции L и ln L достигают максимума при одном
и том же значении параметра q, то удобнее исследовать на экстремум функцию lnL, которую называют логарифмической функцией правдоподобия. Чтобы найти точку максимума функции lnL,
нужно
а) найти
ln,dL
d
154
б) из уравнения правдоподобия
точку,
в) если в этой точке q
*
q
— точка максимума.
*
вторая производная
lndL
= 0 найти критическую
d
2
lndL
2
d
►Пример 18. Методом наибольшего правдоподобия найти
по выборке (x
Пуассона
Pe
m
,...,xn) оценку параметра a распределения
1,x2
m
a
a
.
!
m
Решение.
Функция правдоподобия
< 0, то
xx
12
aa a
L(x
,..., xn,) =
1, x2
aa a
ee e
!! !
xx x
12
=
/ a
=
x
B
◄
Следовательно, lnL =
Найдем (lnL)
n
1
*
a
=
x
, т. е. a*= .
i
n
1
i
x
n
...
nn
x a na x
ii
11
ii
xn
i
1
i
или L(x
n
ln ln !
1
a
0
, из этого уравнения
,..., xn, a ) =
1, x2
a
i
n
x
i
1
i
na
.
e
n
!
x
i
1
9.2.2. Непрерывная случайная величина
Пусть X-непрерывная случайная величина, вид плотности
распределения f(x) которой известен, но неизвестен параметр q,
которым определяется f(x).
Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины
называют функцию
L (x
где (x
,..., xn , q) = f(x1;q) ×f(x2;q)× ...× f(xn;q) ,
1, x2
,..., xn) - выборка.
1, x2
155
Оценку наибольшего правдоподобия q* ищем так же , как и
для дискретной случайной величины .
Замечание 8.
Оценки, полученные этим методом, являются состоятель-
ными и эффективными, но вычисления часто сложны.
Если плотности распределения f(x) случайной величины X
определяется двумя неизвестными параметрами q
и q2, то функ-
1
ция правдоподобия имеет вид
L(x
где (x
Для нахождения точечных оценок параметров q
,..., xn, q1, q2)= f(x1,q1,q2)× f(x2,q1, q2)×...×f(xn,q1, q2) ,
1, x2
,..., xn) - выборка.
1, x2
и q2 решаем
1
систему
ln
L
0
1
ln
.
L
0.
2
10. Интервальные оценки
10.1 Точность, надежность. Доверительный интервал
До сих пор рассматривались точечные оценки неизвестных
параметров, но при небольшом объеме выборки точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е.
приводит к грубым ошибкам. По этой причине при малом объеме
выборке следует пользоваться интервальными оценками, которые
позволяют установить точность и надежность оценок.
Пусть
по выборке (x
смещенная точечная оценка
,..., xn) найдена каким-то методом не-
1, x2
xx x
12
, ,..., )
неизвестного параме-
n
тра q.
*
Зная закон распределения точечной оценки q
, можно для за-
данной вероятности g (близкой к единице) найти такой интервал
(q
) со случайными границами q1 и q2, что P(q1<q*<q2) <) =g.
1,q2
156
Длина интервала q2-q1 характеризует точность оценки q*, а число
g называют доверительной вероятностью или надежностью этой
оценки.
Равенство P(q
<q<q2)=g означает, что интервал (q1,q2) покры-
1
вает неизвестный параметр q с вероятностью g.
Интервал (q
) со случайными границами q1 и q2, покрыва-
1,q2
ющий параметр q с заданной вероятностью g, называется доверительным интервалом и является интервальной оценкой пара-
метра q.
Различают односторонние и двусторонние оценки.
Односторонние:
Оценка сверху: P(q<q
Оценка снизу: P(q>q
) = g
1
) = g
2
Двусторонняя:
P(q1<q<q2)=g, причем P(q<q1)= P(q>q2)=(1-g)/2.
Для симметричных относительного математического ожидания распределений, в частности, для нормального распределения
и распределения Стьюдента двусторонняя оценка симметрична
относительно точечной оценки q
q
=q*-d, q2=q*+d, P(q1<q<q2)= P(|q-q*|<d)= g,
число
1
называют точностью оценки q*.
*
:
Доверительную вероятность g на практике выбирают достаточно близкой к единице, так чтобы событие с вероятностью g
можно было считать практически достоверным. Наиболее часто
задают надежность g равную 0,95; 0,99; 0,999.
Выборочная средняя и выборочная доля случайной выборки
при больших n в соответствии с центральной предельной теоремой имеет распределение, близкое к нормальному, независимо от
вида распределения
генеральной совокупности. Обычно приме-
няют нормальное распределение при объеме выборки n>30.
Поэтому доверительная вероятность в случае двусторонней
оценки определяется по формуле, т.е.
()2()
P Х a Ф
x
157
где Х — выборочная средняя или выборочная доля (в зависимости от цели выборки),
a - их математические ожидания (ими яв-
ляются соответственно генеральная средняя и генеральная доля),
— средние квадратические отклонения отклонения выбороч-
x
ной средней или выборочной доли, Ф(х) — функция Лапласа (затабулированна, см. таблицу 2 приложения).
Средние квадратические отклонения выборочной средней
и выборочной доли называются средними квадратическими
ошибками.
В соответствии с предыдущими результатами в зависимости
от цели образования случайной выборки и способа отбора элементов в нее
получены следующие формулы средних квадратиче-
ских ошибок для:
* выборочной средней повторной выборки
2
/›n
* выборочной средней бесповторной выборки
2
n
›
1
nN
* выборочной доли повторной выборки
р /Wqn
* выборочной доли бесповторной выборки
р
qn
W
1
nN
,
где q=1–p.
Выражения для повторных и бесповторных выборок отличаются лишь множителем
158
n
1
(под знаком корня), который всегда
N
меньше единицы. Поэтому средние квадратические ошибки выборочной доли и выборочной средней бесповторной выборки всегда
меньше тех же характеристик повторной выборки того же объема,
и, как показывает формула
()2()
P Х a Ф
,
x
бесповторная выборка более точна, чем повторная выборка того
же объема, т.е. ее результаты гарантируются с большей вероятностью.
Однако это различие доверительных вероятностей заметно лишь тогда, когда объем выборки n составляет значительную
часть объема генеральной совокупности N. В противном случае
результаты бесповторной и повторной выборок в первом приближении совпадают. Точность
результатов, получаемых при бесповторном отборе членов в выборку, зависит главным образом от ее
объема и лишь незначительно от отношения n/N . Действительно,
если, например, объем бесповторной выборки не превышает 10%
объема генеральной совокупности, то
1
³
n
N
0,11N
= 0,9 0,95
N
и средняя квадратическая ошибка выборочной средней (доли)
бесповторной выборки составляет не менее 95% той же характеристики повторной выборки того же объема. Различие, как видно,
небольшое.
На практике пользоваться формулами невозможно, так как ге-
неральная доля p и генеральная средняя m
генеральную дисперсию
2
неизвестны. О них можно судить
(без нее нельзя найти
x
лишь по данным выборки. Получается “заколдованный круг”:
чтобы по данным выборки получить оценку неизвестных характеристик генеральной совокупности, необходимо знать эти характеристики. Если же эти характеристики были бы известны, то отпала бы нужда в выборочном наблюдении. Это принципиальное
159
затруднение устраняется тем, что в формулах средних квадратических ошибок генеральная дисперсия заменяется выборочной
дисперсией, а генеральная доля — выборочной долей.
Заменив в формулах генеральную дисперсию
2
ной
, а генеральную долю p выборочной долей W, получим
в
2
выбороч-
применяемые на практике формулы для определения средних квадратических ошибок:
* выборочной средней повторной выборки
2
B
=
x
B
n
n
* выборочной средней бесповторной выборки
2
n
B
x
1
nN
* выборочной доли повторной выборки
(1 )
ww
W
n
* выборочной доли бесповторной выборки
(1 )
ww n
W
1
nN
.
►Пример 19. Результаты испытаний на прочность 100 сталь-
ных проволок одной длины выражаются распределением, приведенным в таблице.
Разрывное
усилие, Н/мм
Количество
проволок
160
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50
2
7 24381912 100
Всего
проволок
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]