Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Итак,
P(a–3δ<X<a+3δ)=0,9973.
Таким образом, если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,9973, т.е. практически все значения случайной величины находятся в интервале (
a
-3; a+3).
Вероятность же того, что значения случайной величины попадут
вне этого интервала пренебрежимо мала и равна 0,0027.
Пример 27. Ошибка измерения подчинена нормальному
закону с параметрами
a
=5м, =10м. Найти вероятность того, что
измеренное значение расстояния будет отклоняться от истинного не более, чем на 15 м.
Решение.
Случайная величина Х-ошибка измерения,
Р(-15<X<15) = Ф(
15 510
)-Ф(
15 5
) = Ф(1)-Ф(-2) = Ф(1)+Ф(2) =
10
| по таблице 2 приложения | = 0,3413+0,4772=0,8185.4
Пример 28. На станке изготовляются втулки, длина кото-
рых L представляет нормально распределенную случайную вели-
0, 2
чину, причем М[L]=20cм,
l
см.
Найти:
Вероятность того, что длина втулки будет отклоняться от ее
среднего значения на величину, меньшую 0,3 см.
Длину втулки с вероятностью 0,95.
Длину втулки с вероятностью 0,9973.
Решение.
По условию
a
=20см, =0,2.
0,3
P(|L – a|<0,3) = 2Ф(
) = 2Ф(1,5) = 2·0,4332 = 0,8662;
0, 2
(см. таблицу 2 приложения).
51
1, 9 6
)=0,475; находим
0, 2
=0,392
P(|L – a|<)=2Ф(
)=0,95 , Ф(
0, 2
по таблице 2 приложения, что
0, 2
20–0,392<L<20+0,392 19,608<L<20,392.
Т. к. по условию р=0,9973, то L
(a-3
; 3
a
).Откуда
L(20–0,6;20+0,6) = (19,4;20,6).4
11.4. Другие числовые характеристики
случайной величины
11.4.1 Медиана
В качестве показателя центра группирования наряду с математическим ожиданием используется медиана. Для абсолютно
непрерывных случайных величин медиана – это граница, левее и
правее которой находятся значения случайной величины с вероятностями, равными 0,5. Медиана случайной величины Х обозначается Ме[Х].
Для дискретных случайных величин
медиана находится на
отрезке, который определяется из условий:
1
ll
05 05
pp
ii
11
ii
,; ,
11.4.2 Мода
Для абсолютно непрерывных распределений модой называется точка локального максимума функции плотности. Мода случайной величины Х обозначается Мо[Х]. Распределения, имеющие одну моду, называются одномодальными.
Встречаются и многомодальные распределения (смеси одномодальных распределений).
52
11.4.3 Квантили
Для характеристики разброса значений случайной величины
пользуются точками, в которых функция распределения переходит через другие значения.
Квантилем, отвечающим вероятности , называется то значение х= x
F(x
x
3/4
, при котором функция распределения F(x) равна , то.е.
)=P(X< x)= .
Квантиль, отвечающий =
Чаще всего пользуются, кроме медианы x
1
2
, называется медианой Me[X].
, квантилями x
1/2
, которые называются квартилями.
1/4
и
11.4.4 Коэффициент асимметрии
При изучении распределений, отличных от нормального,
возникает необходимость количественно оценить это различие.
С этой целью вводят специальные характеристики, в частности
асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю.
Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия
и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить
близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие
значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.
Асимметрией теоретического распределения называют от-
ношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего
квадратического отклонения:
3
.
sa
3
Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию.
Асимметрия положительна, если “длинная часть” кривой распределения расположена справа от математического ожидания;
53
асимметрия отрицательна, если “длинная часть” кривой расположена слева от математического ожидания.
Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума
функции плотности): если “длинная часть” кривой расположена
правее моды, то асимметрия положительна .
Для симметричных распределений
=0, поэтому коэффици-
3
ент асимметрии равен нулю. Для распределений скошенных влево
a
s
<0 (большие отрицательные отклонения определяют знак
для скошенных вправо
a
>0. Например, показательное распреде-
s
a
),
s
ление скошено вправо.
11.4.5 Коэффициент эксцесса
Для оценки “крутости”, т.е. большего или меньшего подъема
кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой – эксцессом.
Эксцессом теоретического распределения называют характе-
ристику, которая определяется равенством
= (4/4) – 3.
е
к
Для нормального распределения
/4 = 3; следовательно,
4
эксцесс равен нулю. Поэтому, если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и “острую” вершину, чем нормальная
кривая; если эксцесс отрицательный, то сравнимая кривая имеет
более низкую и “плоскую” вершину, чем
нормальная кривая При
этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.
Для более островершинных распределений е
островершинных е
54
<0.
к
>0, для менее
к
Замечание 5.
Для нормального распределения Ме[Х]=Мо[Х]=М[Х]=
.
a
12. Функции случайных аргументов
Закон распределения функции случайных аргументов
Функция Y=(X) называется функцией случайного аргу-
мента Х, если каждому возможному значению случайной величи-
ны Х ставится в соответствие по правилу одно из возможных
значений случайной величины Y. Если мы знаем закон распределения случайной величины Х, то как найти закон распределения
случайной величины Y=
1. Х — дискретная случайная величина, т.е. ее ряд распреде-
ления имеет вид
(X)?
Хх1х
Рр1р
2
2
... х
... р
n
n
Если различным возможным значениям случайной величи-
ны Х соответствуют различные возможные значения случайной
величины Y, то вероятности соответствующих значений случайных величин Х и Y равны, т.е. если
Р(Х=х
) = pi, то и P(Y= (xi)) = pi.
i
Например, если
Х –2 3 5
Р 0,3 0,6 0,1
и Y=X2, то
Y4 9 25
P 0,3 0,6 0,1
55
Если различным возможным значениям случайной величи-
ны Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между
собой, то вероятности повторяющихся значений случайной величины Y равны суммам вероятностей соответствующих значений
случайной величины Х.
Пример 29. Найти ряд распределения случайной величины
2
Y=Х
, если
Х –2 1 2 3
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Решение.
Так как P(Y=1)=P(X=1)=0,3; P(Y=4)=P(X=-
2)+P(X=2)=0,1+0,2=0,3; P(Y=9)=P(X=3)=0,4; то
Y1 4 9
P 0,3 0,3 0,4
.4
2. X-непрерывная случайная величина, т.е. известна плот-
ность распределения случайной величины f(x).
Пусть функция y=(x) — непрерывна, монотонна и диффе-
ренцируема на всем интервале возможных значений случайной
величины Х. Тогда существует обратная функция х=
(у), также
непрерывная, монотонная и дифференцируемая.
Найдем плотность вероятности случайной величины Y:
()()
g(y)=F
lim
=
0y
/
(y)=
()
Px X x x
Fy y Fy
lim
0y
y
y
lim
(
00x
y
| = плотность вероятности g(y)0|= f(x) ·|
Итак, в этом случае
g(y) = f( (y))·|
56
()
Py Y y y
lim
0y
()
Px X x x x
y
xy
dx
| = =f((y))|/(y)|.
dy
/
(y)|.
)=
Пример 30. Случайная величина Х имеет нормальное рас-
пределение f(x)=
1
2
e
2
()
xa
2
2
, Y=kX+b, где k0. Найти плот-
ность вероятности случайной величины Y, т.е. g(y).
Решение.
Т. к. y=kx+b, то x=
g(y)=f(
yb
|
)
k
k
yb
k
11
|1
e
2
1
dx
dy k
yb
2
a
()
k
2
2
, следовательно,
||
1
k
2
||
k
(( ))
ybak
2
e
2
22
k
.
Следовательно, случайная величина Y имеет нормальное рас-
пределение с параметрами m
=ak+b,
y
=|k|.4
y
Если y= (x) — немонотонна, то следует весь интервал
возможных значений случайной величины Х разбить на такие интервалы, в которых функция (x) монотонна, и найти плотности
вероятности g
g(y)=
i
(y) для каждого интервала монотонности, а затем
()
gy
i
i
(())| ()|
fy y
ii
i
/
.
Замечание 6.
Числовые характеристики функции случайного аргумента
находятся аналогично числовым характеристикам случайной ве-
личины. Например, математическое ожидание функции Y=
(X)
находим по формулам
() ,
xp для дискретной Х
ii
i
() () .
xfxdx для дискретной Х
M[Y]=
Запишите аналогично формулы для дисперсии функции Y=
(X).
57
Пример 31. Найти M[Y], если Y=sinX и ряд распределения
случайной величины Х
Х p/4 p/2 3p/4
Р 0,2 0,7 0,1
Решение.
Т. к. sin(
/4
)=sin(3
/)4
2
=
sin(
,
/)2
=1,
2
3
2
то P(Y=
)
2
P(Y=1)=P(X=
=P(X=
)
=0,7.
2
4
)
+P(X=
)
= =0,2+0,1=0,3 и
4
Итак, ряд распределения случайной величины Y
Y
P 0,3 0,7
Следовательно, M[Y]=
22
2
0,3 1 0, 7 0,91.
1
4
2
Пример 32. Случайная величина Х распределена равно-
мерно в (0;
Найти плотность распределения случайной ве-
/2).
личины Y, если Y=sinX, и M[Y].
Решение.
По условию
2
0
2
f(x)=
,(,),
00
если x
2
,(,).
если x
58
T. к. y=sinx в (0;
следовательно, g(y)=
,(,),
001
если y
g(y)=
2
2
1
y
)
монотонна, то x=arcsiny, где y(0;1),
2
2
(arcsiny)
/
2
=
y
1
y
,(,).
если y
01
Проверим, выполняется ли условие нормировки:
1
2
0
2
1
y
dy
2
arcsin
1
10 1
y
0
.
Найдем M[Y] двумя способами:
M[Y]=
M[Y]=
1
y
0
2
(sin )
0
2
dy
1
2
xdx
2
y
1
11
dy
-
0
22
( cos ) | .
x
2
()
1
-
2
y
/
2
0
т.е.
,
2
2
1
y
12
12
1
.
|
0
/
4
13. Система случайных величин
Часто результат опыта определяется не одной величиной, а
несколькими случайными величинами (X
ми случайный вектор или многомерную случайную величину.
Например, при обработке детали на станке контролируются длина
и диаметр втулки; т.е. имеем дело с двумерной случайной величиной. Свойства многомерной случайной величины определяются
не только свойствами ее составляющих случайных величин, но
и возможными зависимостями между ними. Рассмотрим двумерную случайную
величину (Х;У).
Задать двумерную случайную величину — значит задать ее
закон распределения.
,...,Xn), образующи-
1,X2
59
13.1. Функция распределения двумерной
случайной величины
Функцией распределения F(x,y) случайной величины (X;Y)
назовем F(x,y)=P(X<x,Y<y), т.е. F(x,y) — вероятность попадания
точки (Х;У) в левый нижний бесконечный квадрат плоскости Оху
с вершиной в точке (х;у).
Свойства F(x,y).
0
F(x,y)1.
F(x; –)=F(–,y)=F(–,+)=0.
;)
)=F1(x).
;) y
=1.
=F2(y).
F(+
F(x;+
F(+
F(x,y) — функция неубывающая.
P((X;Y)
D)=F(c;d)–F(a;d)–F(c;b)+F(a;b).
Рис. 10
13.2 Закон распределения дискретной двумерной
случайной величины
Случайная величина (X;Y) называется дискретной, если Х
и У дискретные случайные величины. Простейшей формой закона распределения дискретной (Х;У) является таблица распре-
деления, т.е. перечень возможных значений (х
ствующих вероятностей p
= p(xi;yj) = P(X=xi;Y=yj), где i=1;2;...;n;
ij
) и их соответ-
i;yi
j=1;2;...; m.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]