Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
ятностью 0,99 отклонение выборочной средней от генеральной не
превосходило по абсолютной величине 25 ч. Генеральное среднее
квадратическое отклонение принять равным 150 ч.
Решение.
По формуле n =
22 2
/t
при t = 2,58 (что соответствует по
таблице 2 приложения данной доверительной вероятности 0,99),
=150 и d = 25 находим необходимый объем повторной выборки:
n = 2,58
2
×1502/252 » 239,6, т.е. выборочная совокупность должна
содержать 240 лампочек.
Если выборка бесповторная, то ее объем согласно формуле
nN
n
при n=240 и N=5000 должен составлять n= 240×5000/
nN
(240 + 5000) 229 лампочек.◄
►Пример 25. Определить объемы повторной и бесповторной
выборок, необходимые для того, чтобы с вероятностью 0,92 доля
деталей второго сорта в партии из 8000 деталей по абсолютной величине отличалась от доли их выборке не более чем на 0,02, если:
о доле их во всей партии нет данных;
известно, что деталей
второго сорта не больше 10%.
Решение.
По доверительной вероятности 0,92 находим из таблицы 2
приложения значение аргумента t = 1,75. В соответствии с формулой n = t
2
pq/d2 при t = 1,75; d = 0,02 и pq = 0,25 (поскольку о доле
деталей второго сорта во всей партии нет данных) получаем минимальный объем повторной выборки n = 1,75
2
× 0,25/0,022 1914.
Если значения t и d те же, pq = 0,25 , но выборка бесповторная,
nN
n
то по формуле
необходимый объем составляет
, при n = 1914 и N = 8000 находим, что ее
nN
n
= 1914 × 8000/(1914 + 8000)
1545.
Необходимый объем повторной выборки найдем по форму-
ле n = t
Имеем n = 1,75
2
pq/d2 при прежних значениях t, d и при p = 0,1; q = 0,9.
2
×0,1×0,9/0,022689, т. е. почти в три раза меньше
по сравнению с аналогичным случаем п 1.
171
Если выборка бесповторная, то ее необходимый объем найдем
по формуле
. Тогда n= 689×8000/(689 + 8000)634, т.е.
nN
nN
n
значительно меньше по сравнению с аналогичным случаем п. 1.3
10.3 Доверительные интервалы для параметрa
a
нормального распределения при известном σ
Пусть исследуемый количественный признак X генеральной
совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ известно. Найдем доверительный интервал,
покрывающий параметр
Будем рассматривать результаты выборки (x
a с заданной надежностью γ.
,...,xn) как не-
1,x2
зависимые одинаково распределенные случайные величины
X
,...,Xn причем М a
1,X2
случайная величина
распределена нормально с
i
,
n
1
Х
Bi
n
1
i
М a
,
x
, где i = 1 ,2 , … , n. Тогда и
n
для повторной выборки и
2
n
x
1
nN
для бесповторной выборки.
Для повторной выборки потребуем, чтобы выполнялось
Р(
Xa
B
)
. Так как Р(
Xa ФФ
Р(
B
172
)2 2
n
)2( )a Ф
n
, т.е. 2
, то
n
Ф
,
n
откуда
Ф
найдем значение t из условия Ф(t) =
Итак, из равенства
. По таблице 2 значений функции Лапласа
2
n
t
находим
()
PX a
.
B
2
n
.
t
, следовательно,
n
t
Таким образом,
* для повторной выборки доверительный интервал
tt
xx
BB
;
nn
покрывает параметр a с надежностью g, точность оценки при
t
этом равна
.
n
* для бесповторной выборки доверительный интервал
xt
1
(
B
n
n
;Bxt
N
1
n
n
N
покрывает параметр a с надежностью g, точность оценки при
этом равна
n
n
t
1
.
N
►Пример 26. Найти доверительный интервал для оценки с
надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности,
если даны генеральное среднее квадратическое отклонение s=4,
выборочная средняя
x =10,2 и объем повторной выборки n = 16.
B
Решение.
Чтобы найти доверительный интервал для повторной выборки
tt
››
‰‰
;
nn
,
173
находим t из 2Ф(t) = 0,99; т.е. из Ф(t) = 0,495 t = 2,57 (см. таблицу 2 приложения)
Итак,
(10,2 -
— доверительный интервал, покрывающий параметр
42,57 42,57
16 16
;10,2 ) (7,63;12,77)
a с надеж-
ностью 0,99.3
10.4 Доверительные интервалы для оценки параметра
нормального распределения при неизвестном значении σ
Пусть исследуемый количественный признак C генеральной
совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ неизвестно. Найдем доверительный интервал, покрывающий параметр с заданной надежностью γ.
Построим по данным выборки (x
, x2,..., xn) случайной вели-
1
чины C случайную величину
Х a
B
Т=
,
S
n
имеющую распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы.
Т.к. распределение Стьюдента определяется только числом n —
объемом выборки, т.е. не зависит от неизвестных параметров и σ,
то потребуем выполнения условия
Х a
B
Р
S
n
t
.
Тогда
tS tS
xax
BB
nn
,
174
Р
где можно найти t по таблице 3 приложения t= t(γ , n) по заданным γ и n.
Таким образом, доверительный интервал
tS tS
xx
BB
;
nn
покрывает неизвестный параметр a с надежностью γ.
►Пример 27. Имеется выборка объема n = 13 из некоторой
генеральной совокупности; исследуемый количественный признак C этой совокупности распределен нормально. По этой выборке найдены выборочная средняя
персия D
параметр
=0,48. Найти доверительный интервал, покрывающий
B
a с надежностью 0,95.
0, 2
x и выборочная дис-
B
Решение.
0, 2
По условию
x ; D
B
Найдем по таблице 3 приложения t
= 0,48; n = 13; γ = 0,95.
B
= t (0,95;13)=2,18.
Вычислим
tS
n
2
S
112
n
13 2,18 0,52
DS
0,48 0,52 0,52 ,
n
13
2,18 0, 2 0, 44
.
Следовательно, искомый доверительный интервал есть
tS tS
xx
BB
;
nn
= (0,2-0,44; 0,2+0,44)=(-0,24; 0,64).3
10.5 Доверительные интервалы для оценки среднего
квадратического отклонения s нормального
распределения
Пусть количественный признак C распределен нормально и
n
1
2
S
=
n
1
1
i
xx
i
2
— исправленная выборочная дисперсия (несмещенная точечная
оценка дисперсии σ
2
).
175
К. Пирсон показал, что случайная величина (n-1) S2/σ2 име-
ет распределение χ
2
(n – 1) с числом степеней свободы (n –1), где
n – объем выборки. В связи с этим каждой несмещенной оценке
2
S
сопоставляют определенное число степеней свободы k. Для ис-
правленной дисперсии S
При известном
22
распределение
2
число степеней свободы k = n – 1.
а несмещенная оценка
()n
, поэтому число степеней свободы k=n.
n
n
1
2
sxа
i
n
i
1
2
имеет
Дисперсия служит мерой разброса случайной величины или
мерой точности. В связи с этим часто для дисперсии находят верх-
2
нюю оценку
g-интервал с левосторонней критической точкой
2
<
, считая, что величина kS2/
верх
2
Р
2
()kSk
2
2
попадает в
или
22 2
kS kS kS
22 2
(), , .
k
22 2
верх верх
() ()
kk
Попутно найдена верхняя оценка для среднеквадратичного отклонения
. Критическую точку 2()k
верх
находят из таблицы 5
приложения.
Иногда необходима двусторонняя оценка дисперсии (двусто-
ронний доверительный интервал)
222
л n
Случайные границы доверительного интервала находят из
2
kS
условия попадания случайной величины
γ-интервал (α=1-γ):
2
22
1
kS
() ().
kk
22
2
в двусторонний
2
Решая эти неравенства относительно s2, получим
22 2 2
kS kS kS kS
22 2 2
222 2
176
222
() () () ()
kkk k
,, .
Л n
11
Двусторонний доверительный интервал для среднеквадра-
тичного отклонения будет:
Л n Л n
,, .
kk
SS
22
() ()
kk
22
1
Иногда определяют двусторонний доверительный интервал
|s-S|<d, симметричный относительно S.
Найдем доверительный интервал, покрывающий параметр σ с заданной надежностью γ. Потребуем, чтобы
Р
где S — исправленное выборочное среднее ква-
дратическое отклонение, найденное по выборке (x
,S
, x2 ,.., xn).
1
Итак, потребуем чтобы Р(S-δ<σ<S+δ) = γ. Чтобы воспользоваться таблицей приложений, перепишем неравенство S-δ<σ<S+δ в
равносильное S
11Sq Sq
.
11S
SS
или, обозначив q
, имеем
S
Рассмотрим два случая:
I. q<1.
Из S(1-q)<s<S(1+q).
1Sn , имеем
nSn n
11
Случайная величина
111
(1 ) (1 )Sq Sq
111
qq
2
(1)Sn
имеет распределение
2
или, умножив на
.
2
с k =
n–1 степенями свободы.
Здесь значения q находят по таблице 4 приложения q = q(γ,n).
2. q³1
Из S(1-q)<σ<S(1+q) учитывая, что σ>0 , имеем 0<σ<S(1+q) , т.е.
11 1 1
(1 ) 1
Sq q
Sn n
177
И в этом случае q находят по этой же таблице 4 приложения
q = q(γ,n).
Итак, чтобы найти доверительный интервал, покрывающий
параметр σ с надежностью γ, нужно по выборке (x
,...,xn) вы-
1,x2
числить S и по таблице 4 приложения q = q(γ,n) найти q. Тогда
* Если q<1 ,то доверительный интервал (S(1-q);S(1+q));
* Если q≥1, то доверительный интервал (0;S(1+q)).
Замечание 10.
Однако такая оценка не столь универсально, как двусторон-
няя оценка математического ожидания. Во-первых, подобная
оценка для σ не всегда возможна, поскольку S≥0, δ≤ 1. Во-вторых,
выбор S для центра интервала
не кажется очевидным, поскольку
S — смещенная оценка для σ: М[S]< σ. Практически всегда при
небольшом числе степеней свободы (k<30) симметричный относительно S интервал мало отличается от верхней оценки, поскольку вероятность того, что σ будет левее интервала (S(1-σ)<σ<
S(1+δ)): a
роятности расположения σ правее интервала: α
α
1+α2
=Р(σ<S(1-δ)) либо равна нулю, либо много меньше ве-
1
=α=1-γ, α1<<α2=>S(1+δ)
. (Именно так получается в
верх
=Р(S(1+δ)<σ),
2
примерах 7.3, 7.4 учебника [Колемаев В. А.] стр. 157).
В теории ошибок точность измерений (прибора) принято ха-
рактеризовать с помощью среднего квадратического отклонения s
случайных ошибок измерений. Т. к. результаты измерений независимы, имеют одни и те же математическое ожидание и дисперсию, то доверительный интервал для оценки точности измерений
находят аналогично.
►Пример 28. По результатам 20 измерений получим
115 ,
x м Dв = 4 м
B
2
. Найти точность измерений с надежностью
0,95.
Решение.
1 способ.
Так как S
2
=
DВ, то S2=
1nn
20
44,21
(м
19
2
); k=19; kS2=80(м2)
178
Надежность γ=0,95 => α=1-γ=0,05;
=0,025; 1–
2
=0, 975.
2
Из таблицы 5 приложения находим критические точки
22
( ) (19) 8,91k
22
( ) (19) 32,9k
2
0,025
1
2
0,975
Границы доверительного интервала для дисперсии σ2 и среднеквадратического отклонения:
2
kS
22
ЛЛ
2
(19) 32,9
0,025
kS
22
nn
2
(19) 8,91
0,975
80
2,435( ), 1,56( )
мм
2
80
8,982( ), 3,00( )
мм
Итак, доверительный интервал для среднеквадратического
отклонения есть 1,56<σ<3,00.
2 способ.
Так как S
2
=
Dв, то S2=
1nn
20 80
42,04
19 19
S
По таблице 4 приложения q = q(0,95; 20)=0,37<1.
Доверительный интервал равен
1 ; (1 ) (2, 04(1 0,37); 2,04(1+0,37) )=(1,28; 2,79)SqSq
(сравните результаты). ◄
10.6 Оценка вероятности события
по относительной частоте
Пусть производятся n независимых испытаний , причем событие А появилось m раз. Требуется найти точечную и интервальную оценки неизвестной вероятности р появления события А.
179
Точечная оценка.
Точечной оценкой р является относительная частота события
m
wn .
Покажем, что эта оценка несмещенная. Действительно, m
имеет биномиальное распределение, поэтому
1
mnp
Mw M Mm p np
Найдем,
nn n
mpq
D D npq npq
ww
nn n
, т.к. M m .
1
, т.к. D m .
Интервальная оценка.
Найдем доверительный интервал, покрывающий параметр р с
надежностью γ. Потребуем, чтобы
()PW p
. Если n до-
статочно велико (n>30) и вероятность р не очень близка к нулю и
к единице , то можно считать , что относительная частота имеет
распределение близкое к нормальному. Тогда ,
22 2()
ФФ Фt
w
Итак, t=
обе части неравенства
n
pq
n
, следовательно,
pq
2
t
.
(
nn
, где t=
(1 )tp p
wp
(т.к. q = 1-p) получим
2
1) ( 2 ) 0
p
n
2
t
wpw
n
.
pq
tpq
. Возведя в квадрат
n
2
()PW p
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому
его корни действительные и различные:
180
2
p
nwwt
=
2
1
t
nwwt
=
p
2
2
t
t
wt
22
nnn
n
t
wt
22
n
(1 )
2
nnn
(1 )
2
2
и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]