Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Найти доверительную вероятность того, что среднее разрывное усилие проволок всей партии из 400 проволок отличается от
выборочной средней не более чем на 0,4 Н/мм
2
(по абсолютной
величине), если выборка:
повторная;
бесповторная.
Решение.
Доверительную вероятность найдем по формуле
()2()
P Х a Ф
при d = 0,4 , а средняя квадратическая ошибка
x
пока не опреде-
›
лена.
Для повторной выборки вычислим ее по формуле
2
B
=
x
B
n
n
а для бесповторной - по формуле
2
n
‰
›
1
nN
.
Для применения этих формул необходима выборочная дис-
2
персия
, а ее нельзя определить без выборочной средней.
‰
Поэтому предварительно найдем их по формулам:
xc
i
h
2
n
i
22
‘
xc
i
i
xhcDX hxc
BB B
n
i
h
1
nn
,() ( )
‘
1
i
161
Результаты вспомогательных вычислений при c = 45 и h = 2
поместим в таблице.
2
Количество
проволок
n
i
Середина
интервала
х
i
хi -с
c
x
i
c
x
i
h
h
n
›
i
h
i
Разр.
усилие
Н/мм
1234567
40-42 7 41 -4 -2 -14 28
42-44 24 43 -2 -1 -24 24
44-46 38 45 0 0 0 0
46-48 19 47 2 1 19 19
48-50 12 49 4 2 24 48
Итого 100 - - 5 119
Следовательно, выборочная средняя
= (5/100)2 + 45 = 45,1 (Н/мм2)
X
в
Выборочная дисперсия
222
(119 / 100) 2 (45,1 45) 4,75.
‰
Если выборка повторная, то по формуле
2
B
=
x
B
n
n
при s
2
= 4,75 , n = 100 находим среднюю квадратическую ошибку
в
выборочной средней:
2
–
n
i
а по формуле
162
4,75 / 100)
= 0,0475 » 0,218,
›
()2()
P Х m Ф
Bx
x
при d = 0,4 и
( 45,1 0,4) 2 (0, 4 / 0, 218) 2 (1,835) 0,9335
Pm ФФ
= 0,218 — доверительную вероятность:
x
x
(см. таблицу 2 приложения). ◄
Если же выборка бесповторная, то отличие решения состоит
лишь в ином определении средней квадратической ошибки
По формуле
2
n
в
1
nN
0, 035625 0,189;
при s
x
2
= 4,75; n = 100, N = 400 найдем
в
4,75 100
›
1
100 400
а доверительную вероятность снова находим по формуле
.
x
()2()
P Х m Ф
Bx
при d = 0,4 и
Pm ФФ
= 0,189:
x
45,1 0,4 2 0, 4 / 0,189 2 (2,116) 0,9654
x
x
(см. таблицу 2 приложения).
►Пример 20. Из партии, содержащей 8000 деталей, проверено 12,5% деталей. Среди них оказалось 84% деталей повышенного качества. Найти доверительную вероятность того, что процент
таких деталей во все партии отличается от процента их в выборке
не более чем на 2% (по абсолютной величине), если выборка:
повторная;
бесповторная.
163
Решение.
По условию, w=0,84 (или 84%), n=1000 (12,5% от 8000),
N=8000. Среднюю квадратическую ошибку выборочной доли повторной и бесповторной выборок вычисляем по формулам:
(1 ) /
wwn
W
и
(1 )
ww n
соответственно.
W
(0,84 0,16) /1000
0,0116
W
1
nN
.
или
(0,84 0,16) /1000 (1 1000 / 8000)
0,0108.
W
Доверительные вероятности найдем по формуле:
()2()
PW p Ф
W
Для повторной выборки при d = 0,02 и 0, 0116
получим
W
( 0,84 0, 02) 2 (0,02 / 0, 0116) 2 (1, 724) 0,9153Pp ФФ
(см. таблицу 2 приложения),
а для бесповторной – при 0, 0108
W
имеем
( 0,84 0, 02) 2 (0,02 / 0, 0108) 2 (1,825) 0,932Pp ФФ
(см. таблицу 2 приложения).
Полученные в примерах доверительные вероятности иллюстрируют сделанный ранее вывод о том, что для бесповторной
выборки результаты более достоверны, чем для повторной того
же объема.
10.2 Предельная ошибка и необходимый объем
случайной выборки
Предельная ошибка.
Наибольшее отклонение выборочной средней (или доли) от
генеральной средней (или доли), которое возможно
164
с заданной до-
верительной вероятностью g, называется предельной ошибкой
выборки d.
Риском a называется вероятность того, что модуль отклоне-
ния выборочной средней от генеральной средней превысит предельную ошибку:
P(
Х a)=α,
Тем самым вероятность противоположного события
P(½
Х a)=γ,
где α+γ=1.
Доверительная вероятность g определяет вероятность выпол-
нения неравенства
Х a, где Х — выборочная средняя или
выборочная доля (в зависимости от цели образования выборки),
a — их математические ожидания (соответственно генеральная
средняя или генеральная доля), δ – предельная ошибка выборки.
Отсюда следует, что границами, в которых с заданной довери-
тельной вероятностью γ заключена генеральная средняя, служат
x и Bx (соответственно нижняя и верхняя граница),
B
а (
,
xx
) — доверительный интервал, в котором с той же
BB
вероятностью заключена генеральная средняя.
Аналогично,
и w
– это границы, в которых с задан-
w
ной доверительной вероятностью γ заключена генеральная доля, а
(, )ww
- доверительный интервал.
Из формулы предыдущего пункта
Ф
x
x
,
2
следует, что
()2()
P Х a Ф
2( )
Ф
x
или ()
и значит при заданной доверительной вероятности γ предельная
ошибка δ выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где t – значение аргумента, при котором значение
функции Лапласа Ф(t) равно γ/2, т. е.
d = t ×
, где Ф(t) = γ/2
x
165
* Средняя квадратическая ошибка
в этой формуле опре-
x
деляется в зависимости от цели образования выборочной совокупности и способа отбора членов в нее. При этом используются
четыре формулы средних квадратических ошибок, применяемые
на практике, рассмотренные выше:
* для выборочной средней повторной выборки
2
B
=
x
B
n
n
* для выборочной средней бесповторной выборки
2
n
B
x
1
nN
;
* для выборочной доли повторной выборки
(1 )
ww
W
;
n
* для выборочной доли бесповторной выборки
(1 )
ww n
W
1
nN
.
Замечание 9.
Если риск пренебрежимо мал (например, α=0,05), то его в
этом случае называют уровнем значимости.
►Пример 21. В условиях примера 19 найти границы, в кото-
рых с вероятностью 0,9973 заключено среднее разрывное усилие
всех проволок.
Решение.
Предельные ошибки d повторной и бесповторной выборок
найдем по формуле d = t ×
при t =3 , так как Ф(t)=0,9973/2 =
x
0,49865 (см. таблицу 2 приложения), если t=3 .
166
Среднюю квадратическую ошибку выборочной средней по-
вторной выборки вычислим по формуле
2
/
xB
n
при
при
2
4,75
; n =100, а бесповторной - по формуле
B
2
n
B
1
nN
2
4,75
; n =100 и N = 400.
B
x
Таким образом,
4,75 100
=
4,75 / 100
x
Тогда 3 0, 218 0,65
0,218 или
(Н/мм
=
x
2
1
100 400
0,189.
) или d = 3×0,1890,57(Н/мм2).
Итак, если выборка повторная, то с вероятностью 0,9973
среднее разрывное усилие всех проволок по абсолютной величине отличается от выборочной средней 45,1 не более чем на 0,65
2
Н/мм
, т.е. заключено в границах от 44,45 до 45,75 Н/мм2 (соот-
ветственно (45,1±0,65) Н/мм
2
).
Если же выборка бесповторная, то с той же вероятностью
среднее разрывное усилие всех проволок по абсолютной величине отличается от средней выборочной не более чем на 0,57 Н/мм
т.е.заключено в границах от 44,53 до 45,67 Н/мм
(45,1±0,57) Н/мм
2
).3
2
(соответственно
2
►Пример 22. Из партии, содержащей 8000 деталей, проверено 800 деталей. Среди них оказалось 90% деталей первого сорта.
Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля
деталей первого сорта во всей партии, если выборка:
повторная;
бесповторная.
,
167
Решение.
Предельные ошибки найдем по формуле d = t×
при t = 2,
x
поскольку Ф(t)= 0,9545/2 = 0,47725 при t = 2 .
Среднюю квадратическую ошибку выборочной доли повтор-
ной выборки вычислим по формуле
(1 )
ww
W
,
n
а бесповторной – по формуле
(1 )
ww n
W
1
nN
,
в которых W = 0,9; n = 800 и N = 8000.
В соответствии с этим получим, что для повторной выборки
предельная ошибка составит
2 0,9 0,1/ 800
0,0212 или 2,12 %,
а для бесповторной
0,9 0,1 800
d = 2
1
800 8000
0,0201, или 2,01 %.
Таким образом, если выборка повторная, то с вероятностью
0,9545 доля деталей первого сорта во всей партии отличается от
доли их в выборке не более чем на 2,12 %, т.е. заключена в границах от 87,88 до 92,12 %.
Если же выборка бесповторная, то с той же вероятностью га-
рантируются более узкие границы доли
деталей первого сорта во
всей партии: от 87,99 до 92,01%.◄
168
►Пример 23. Из генеральной совокупности объема N = 400
отобрана бесповторная выборка объема n = 100. По результатам
выборки вычислена
Найти доверительный интервал для генеральной средней,
если доверительная вероятность g = 0,9975 и
x 45,1.
B
2
4,75.
Решение.
Из
()
Ф t по таблице значений функции Лапласа
0,9975
22
находим t = 3,02. Т.к. выборка бесповторная, а оценивается гене-
ральная средняя, то
2
x
1
nN
n
4,75 100
=
100 400
1
0,189
Итак, доверительный интервал, покрывающий генеральную
среднюю с надежностью 0,9975 равен
(45,1- 3,02× 0,189; 45,1+3,02 × 0,189) = (44,53; 45,67).◄
Mинимальный объем случайной выборки
Прежде чем образовывать выборочную совокупность, необходимо решить вопрос об ее объеме. Найдем минимальный объем
случайной выборки с повторным отбором членов, при котором с
заданной доверительной вероятностью g точность оценки неизвестной генеральной средней определяется данной предельной
ошибкой d.
Для вывода искомой формулы воспользуемся соответствующей теоретической формулой предельной ошибки повторной выборки. Подставив в равенство d=t
тической ошибки, получим
выражение средней квадра-
x
=
2
/.tn
. Решая это уравне-
ние относительно n , найдем
22 2
/t
n =
Однако воспользоваться выведенной формулой нельзя: необходимо знать генеральную дисперсию
2
, которая нам неизвестна. Поэтому вместо генеральной дисперсии используют или
выборочную дисперсию, полученную ранее примерно в таких же
169
условиях, или же организуют небольшое выборочное наблюдение
специально для оценки генеральной дисперсии.
Аналогично тому, как была получена формула предыдущая
формула, исходя из равенства d = t
и подставив в него выраже-
x
ние средней квадратической ошибки, получим следующую формулу необходимого объема повторной выборки, предназначенной
для оценки неизвестной генеральной доли при заданной предельной ошибке d и доверительной вероятности g:
2
pq/d
2
n = t
В этой формуле содержится генеральная доля р, которую и
требуется оценить с помощью выборочного наблюдения. Поэтому
в качестве р или используют значение выборочной доли, полученное ранее примерно в тех же условиях, или же считают произведением pq равным 0,25 – его максимальной величине.
Минимальный объем n случайной бесповторной выборки для
оценки неизвестной генеральной средней
и неизвестной гене-
ральной доли как доказано, ищется по формуле
где n =
22 2
/t
1
n
11
nN
для генеральной средней и n = t2 pq/d2 для гене-
nN
nN
,
ральной доли.
При одинаковых предельных ошибках выборки и доверительной вероятности необходимый объем бесповторной выборки
n
всегда меньше необходимого объема повторной выборки n . В самом деле, так как n и N положительны , то из равенства имеем
11
n
11 1
nN n
, откуда nn
.
►Пример 24. Определить необходимый объем повторной и
бесповторной выборок, чтобы при определении средней продолжительности горения лампочек в партии из 5000 лампочек с веро-
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]