Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
М. В. Васина
А. А. Васин
Е. В. Манохин
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Руководство по решению задач
Учебное пособие
Часть 1
МОСКВА
2018
УДК 519.2
ББК 22.171
В19
Марина Владимировна Васина — кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры «Математика и информатика» Тульского филиала
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего образования «Финансовый университет при Правительстве
Российской Федерации» (Тульский филиал Финуниверситета);
Александр Александрович Васин — кандидат технических наук, заве-
дующий лабораторией биомеханики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тульский
государственный университет»;
Евгений Викторович Манохин — кандидат физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой «Математика и информатика» Тульского филиала федерального государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Тульский филиал Финуниверситета).
Л.А. Толоконников — доктор физико-математических наук, профес-
сор, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» Тульского филиала федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего образования «Финансовый университет при
Правительстве Российской Федерации» (Тульский филиал Финуниверситета);
В.А. Поляков — доктор экономических наук, доцент, заведующий
кафедрой «Экономика, менеджмент и маркетинг» Тульского филиала федерального государственного образовательного бюджетного учреждения
высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Тульский филиал Финуниверситета).
Васина М.В
В19 Теория вероятностей и математическая статистика: руководство по ре-
шению задач. Ч. 1: учебное пособие / М.В. Васина, А.А. Васин, Е.В. Манохин. — М.: Прометей, 2018. − 160 с.
Настоящее издание представляет собой подборку задач и упражнений
по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи снабжены
ответами, типовые даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы. В начале каждого раздела приводятся основные теоретические положения и формулы, необходимые для
решения задач.
Предназначено для студентов экономических и технических направлений высших учебных заведений.
© М.В. Васина, А.А. Васин,
ISBN 978-5-907003-70-5 © Издательство «Прометей», 2018
Авторы:
Рецензенты:
Е.В. Манохин, 2018
СОДЕРЖАНИЕ
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ ..........5
1.1. Общие понятия.........................................5
1.2. Отношения между событиями ............................7
1.3. Задачи и упражнения ................................... 11
2. ВЕРОЯТНОСТЬ. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ..............20
2.1. Вероятность. Аксиомы вероятности и их следствие..........20
2.2. Вероятностное пространство. ............................ 23
2.2.1. Конечное вероятностное пространство.
Классическое определение вероятности..............23
2.2.2. Элементы комбинаторики .........................27
2.2.3. Непрерывное вероятностное пространство.
Геометрическое определение вероятности. ...........32
2.3. Задачи и упражнения ................................... 38
3. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.....................48
3.1. Общие понятия о зависимости событий ...................48
3.2. Теорема умножения вероятностей ........................ 50
3.3. Формула полной вероятности и формула Байеса ............53
3.3.1. Формула полной вероятности ......................53
3.3.2. Формула Байеса .................................54
3.4. Задачи и упражнения ................................... 56
4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ ....................66
4.1. Формула Бернулли .....................................66
4.2. Теорема Пуассона......................................67
4.3. Локальная теорема Лапласа ............................. 68
4.4. Интегральная теорема Лапласа...........................69
4.5. Отклонение е относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях...................70
— 3 —
Содержание
4.6. Производящая функция.................................71
4.7. Задачи и упражнения ................................... 72
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ...................................88
5.1. Понятие случайной величины ...........................88
5.2. Математические операции над случайными
величинами ........................................... 91
5.3. Числовые характеристики случайных величин .............92
5.4. Основные законы распределения ......................... 99
5.5. Задачи и упражнения ...................................110
6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ..................................124
6.1. Предельные теоремы теории вероятностей.................125
6.2. Задачи и упражнения ...................................127
ЛИТЕРАТУРА ...............................................135
ОТВЕТЫ ...................................................136
ПРИЛОЖЕНИЯ .............................................150
— 4 —
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ
1.1. Общие понятия
Теория вероятностей особая математическая дисциплина, рассматривающая различные процессы и явления не с позиции математического моделирования механизмов и законов их протекания,
а с позиции оценки возможности протекания их тем или иным образом. То есть объектом изучения теории вероятности является некий факт и возможность его наступления, а не сама природа факта.
Математический аппарат теории вероятностей опирается на теорию
множеств и пространств.
Предполагается, что изучаемое явление или процесс, результат
которого мы можем наблюдать, может быть воспроизведен в одинаковых условиях сколь угодное количество раз. Однократное воспроизведение явления или процесса с наблюдением его результата принято называть опытом или испытанием.
Исходом опыта считается значение некоторого параметра или
их комплекса, измеряемое (наблюдаемое) в процессе опыта.
Событием называется некоторый возможный исход опыта,
который в опыте может реализоваться или не реализоваться. Исход
опыта, который реализовался, называют произошедшим событием.
Произвольные события принято обозначать заглавными латинскими
буквами: A, B, C, D, и т.д.
Детерминированным называют событие, которое происходит
всегда при воспроизводстве опыта.
— 5 —
1. Случайные события и отношения между ними
ω
Á∈
ω
Á∉
ω
Стохастическим или случайным называют событие, которое
может произойти или не произойти при воспроизводстве опыта.
Представим себе множество всех исходов опыта и соответствующих им событий, таких, что в опыте должно произойти одно
и только одно из них, т.е. такие события являются единственно воз-
можными и называются элементарными, их обычно обозначают
греческой буквой ω. Элементарные события обладают свойством
взаимоисключения, говорят, что события несовместны. Если для
произвольных двух и более событий возможность одновременного
наступления исключена, они также называются несовместными.
Множество, включающее все элементарные события опыта,
называют пространством элементарных событий опыта и обозначают его заглавной греческой буквой W, т.е. W
. Пространство
элементарных событий применительно к рассматриваемому опыту
является универсальным множеством событий (универсум — множество, содержащее все мыслимые элементы).
Пространство элементарных событий может быть дискрет-
ным или непрерывным. Дискретное пространство элементарных событий может быть конечным, т.е. состоять из ограниченного числа
элементарных событий, или счетным, т.е. состоящим из бесконечно
большого количества пронумерованных событий, любое из которых
можно выделить по его индексу-номеру.
Пространство элементарных событий рассматриваемого опыта обладает свойством полноты и любое произвольное событие A
в опыте рассматривается как подмножество W. Говорят, что в опыте произошло событие A, если произошло элементарное событие
A (элементарное событие принадлежит А, в противном случае
i
A).
i
Вместе с элементарными событиями и пространством элементарных событий вводится понятие невозможного события, которое
не может произойти в опыте, сколько его не воспроизводи. Невозможное событие обозначается знаком пустого множества ∅, т.е.
множества, не содержащего ни одного элемента.
Обратным невозможному событию является достоверное со-
бытие, т.е. такое, которое обязательно происходит при каждом воспроизводстве опыта. Например, в опыте по бросанию стандартной
игральной кости (игральная кость — это кубик, на гранях которого
— 6 —
1.2. Отношения между событиями
BA⊂
BA⊂
BA⊃
C AB=
нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6) невозможным событием можно считать выпадение более 6 и менее 1 очков, а достоверным – выпадение
некоторого целого количества очков от 1 до 6, достоверно известно, что такое событие реализуется при каждом опыте по бросанию
игральной кости.
Очевидно, что достоверное событие совпадает с W, иначе го-
воря, множество элементарных событий является достоверным событием.
1.2. Отношения между событиями
Для математического описания отношений между событиями
используется алгебра теории множеств. Рассмотрим отношения
между множествами и основные теоретико-множественные операции над ними, иллюстрируя каждое диаграммами Эйлера.
Пусть A и B два произвольных множества.
Если все элементы, из которых состоит B входят
в состав A, то говорят что B является подмножеством A (A содержит в себе B), обозначается
. Такое отношение между множествами
также называется отношением включения, в том
смысле, что одно множество включено в другое
(
в себя A). Следует подчеркнуть различие отношений принадлежности элемента множеству (∈) и отношения включения, смешение
этих понятий – ошибка.
ду множествами является равенство множеств
A = B в том смысле, что A
но в этом случае A и B состоят из одних и тех
же элементов.
A и B называется множество
ящее из всех элементов принадлежащих хотя
бы (по крайней мере) одному из объединяемых множеств A и B. Указанный принцип справедлив для произвольного количества объединяемых множеств.
– В включено в A,
Частным случаем такого отношения меж-
Суммой или объединением двух множеств
– B включает
B и B A. Очевид-
, состо-
�
�
�
�
A
A
A
A
B
B
B
B
— 7 —
1. Случайные события и отношения между ними
C AB=
() ()()AB C AC BC=
( ) ( )( )a b c ac bc+⋅=⋅+⋅
() ()()AB C AC BC=
( ) ( )( )ab c a c b c⋅+≠ +⋅+
\Ñ AB=
\A B AB A=∅⇒ =
\A B AB=⇒=∅
BA⊂
\AUA
C AB= ∆
CAB= ⊕
Пересечением двух множеств A и B называ-
ется множество
элементов принадлежащих как A, так и B.
Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны, также как алгебраические операции сложения и произведения.
Также эти операции взаимно дистрибутивны,
тогда как алгебраические только по отношению
к сложению.
Для множеств введена операция вычитания. Разностью C
вается множество C, состоящее из всех элементов принадлежащих A, но не принадлежащих B,
читается – C есть A без B. Также можно встретить обозначение C
Справедливо
же
Разность двух множеств A и B также называется дополнением
множества В до множества A в случае когда
(множество В полностью принадлежит
множеству А).
Предполагая, что рассматриваемое множество A является подмножеством некоторого универсального множества (универсума) U, вводится понятие дополнения множества A
(обозначается A) как множества всех элементов
унивесума, не принадлежащих A:
Особое значение для решения некоторых
задач имеет симметрическая разность (дизъ-
юнктивная сумма) двух множеств A и B как
множество, состоящее из всех элементов принадлежащих только A и только B, но не им обоим. Симметрическая разность обозначается как
или
ность определяется соотношением:
, состоящее из всех
,
, но
множеств A и B назы-
.
.
= .
. Симметрическая раз-
, а так-
�
�
�
�
�
�
�
�
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
;
.
B
B
B
B
— 8 —
1.2. Отношения между событиями
(\)(\) ( )\( )AB AB BA AB AB∆= =
AB B A∆=∆
() ()ABC A BC∆∆=∆∆
( ) ( )( )A BC AB AC∆= ∆
AA∆∅=
∆=∅
AU A∆=
BA⊂
C AB=
.
Симметрическая разность обладает следующими свойствами:
• симметрическая разность коммутативна
;
• симметрическая разность ассоциативна
;
• пересечение множеств дистрибутивно относительно симме-
трической разности
;
• пустое множество нейтрально по отношению к симметри-
ческой разности
;
• любое множество обратно само себе относительно симме-
трической разности AA
и
.
Рассмотрим отношения между событиями с позиции отношений множеств и операций над ними и разберем на примере опыта
по бросанию двух игральных костей.
Следуемость событий:
. Осуществление события A является следствием осуществления события B, т.е. событие B является частным случаем события A. Отсюда утверждение о том, что
любое произвольное событие считается произошедшим, если произошло любое из элементарных событий его составляющих.
Например, событие {в сумме на двух костях выпало четное количество очков} будет следовать за наступлением события
{на игральных костях выпало одинаковое количество очков}.
Равенство событий: A = B. Два события A и B равны и всегда
происходят одновременно в опытах, если они состоят из одних и тех
же элементарных событий (элементов пространства элементарных событий). Равные события обладают взаимной следуемостью
A
B и B A.
Так в рассмотренном примере равными будут события {в сумме выпало четное количество очков} и {на игральных костях выпало
одинаковое количество очков или на каждой кости выпало четное
количество очков}. Этот пример также применим к следующей операции над событиями.
Сумма событий:
. Событие C происходит, если
происходит хотя бы (по крайней мере) одно из событий A или B.
Следует заметить, что одновременное наступление событий, если
такое возможно, A и B также удовлетворяет этому условию.
— 9 —
1. Случайные события и отношения между ними
C A B AB= = ⋅
\Ñ AB=
( )
{4; 6} {6; 4} {5; 5} \ {5; 5}
\AA= Ω
AA=
{4; 6} {6; 4}
AB≠∅
AB= ∅
C AB= +
()
AA ij=∅≠
1
n
k
k
A== Ω
Произведение событий:
. Событие C происхо-
дит только если происходят оба события A и B.
Например, событие {в сумме на двух игральных костях выпало
12 очков} произойдет, если произошли события {на первой кости
выпало 6 очков} и {на второй кости выпало 6 очков}.
Отношения равенства и операции суммы и произведения событий можно легко обобщить очевидным образом на произвольное
количество событий, участников этих отношений.
Разность событий: C
. Событие C происходит в том
случае, если происходит событие A и не происходит событие B.
Например, событие C = {выпало в сумме 10 очков, но при этом
не выпадало 5 очков ни на одной кости} можно представить в виде
разности, рассматривая все возможные комбинации выпадения очков на двух костях:
C = .
Противоположное событие:
. Противоположное событие A происходит тогда, когда не происходит A, причем справедливо
.
Очевидно, что в предыдущем примере любой исход опыта от-
личный от комбинации событий
приведет к наступле-
нию C.
Совместные события. Два события A и B являются совмест-
ными если они могут произойти одновременно при одной и той
же реализации опыта (
чена то события несовместны (
), если такая возможность исклю-
). Сумму несовместных
событий часто обозначают знаком алгебраической суммы
мы также будем придерживаться далее такого подхода, подчеркивая
разницу в характере отношений между событиями.
События {на двух костях выпало в сумме 10 очков} и {на одной
из костей выпало не более 4 очков} будут совместны, т.к. в случае
выпадения двух рассмотренных ранее комбинаций {4; 6} и {6; 4},
указанные события в опыте наступят одновременно.
Множество событий A1, A2,..., An называют полной группой событий (множество обладает свойством полноты) если
и
ij
.
,
— 10 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]