Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3.2. Теорема умножения вероятностей
C AB= ⋅
11 1
23 6
1 2 1 3 12 12 1
()(|)(| ) (| )
i nn
( ) () ()PA B PB PB⋅= ⋅
11
() ( ) () ()
nn
i ni
ii
∏∏
1 ()
ii
Для рассмотренного выше примера о вынимании шаров рассмотрим событие C = {первым и вторым вынут белый шар}. Поскольку
, то:
()( )()(|)
PC PAB PA PB A= ⋅ = ⋅ =⋅= .
Соотношение (29) путем индукции можно обобщить на произвольное количество событий:
n
P A PA PA A PA AA PA AA A
∏
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
1
i
=
−
. (31)
С учетом (29) для независимых событий теорема умножения
вероятностей (30) и (31) принимает вид:
P A PA PA PA PA
Соотношение (32) можно, как и (29), использовать для провер-
= ⋅ ⋅⋅ =
= =
12
. (3 3 )
, (32)
ки независимости двух событий.
Для расчета вероятности объединения независимых событий
можно воспользоваться соотношением (12), которое с учетом (33)
примет вид:
n
P A PA
1
i
=
= −
∏
i
n
. (34)
1
=
При использовании аксиом теории вероятностей, их следствий
и соотношений (30)–(33) необходимо внимательно анализировать
условие задачи и не упускать из вида то обстоятельство, что исследуемые события могут быть определены на разных пространствах
элементарных событий и применение указанных формул непосредственно к ним является ошибкой.
Пример. 3.1. Самолет-бомбардировщик атакует одну из двух
целей, которые защищены системами противовоздушной обороны
(ПВО). Эффективность каждой системы ПВО характеризуется вероятностью сбить бомбардировщик над защищаемой целью, соответственно P
= 0,6 и P2 = 0,7. Необходимо вычислить вероятность того,
1
что бомбардировщик будет сбит над целью 1 или над целью 2.
— 51 —
3. Зависимые и независимые события
( ) 0,6 0, 7 1,3PB P P=+= + =
12
( ) (1 ) (1 ) 0, 4 0,3 0, 7PB P P=− +− = + =
1 12 2
(| ), (| )P PB A P PB A= =
=+=
112 2
.A BA BA BA BΩ= + + +
AB
2
AB
Решение. События B1 = {бомбардировщик сбит над целью 1}
и B2 = {бомбардировщик сбит над целью 2} несовместны, поскольку самолет не может быть сбит дважды. Тот, кто примет этот факт
в качестве основы для применения аксиомы аддитивности для исследуемого события B = {бомбардировщик сбит над целью 1 или над
целью 2}, получит очевидный неверный результат:
12
> 1.
Очевидность получения неверного результата видна из противоречия аксиоме нормирования вероятности, но, исходя из таких
же соображений, для обратного события получим не такой очевид-
ный, но также неверный результат:
.
Причина ошибки кроется в том, что задача недоопределена, так
как события B
и B2 относятся к разным множествам элементарных
1
событий и могут произойти или не произойти только в случае появления бомбардировщика над конкретной целью. Объединить эти
события в одно пространство событий можно, рассмотрев систему
события A1 = {бомбардировщик атакует цель 1} и A2 = {бомбардировщик атакует цель 2}. Тогда заданные вероятности приобретают
смысл условных вероятностей сбить бомбардировщик при условии,
что он атакует ту или иную цель:
.
События A
и A2 образуют полную систему и являются эле-
1
ментарными событиями в том смысле, что достоверно известно,
что бомбардировщик атакует обязательно одну из двух целей, т.е.
A1 + A2 = W и P(A1) + P(A2) = 1.
В свою очередь атака бомбардировщика на цель сопровождается противодействием систем ПВО целей, и бомбардировщик может
быть сбит или не сбит, т.е.:
AABABi
.
ii i
, 1, 2
Тогда пространство элементарных событий задачи будет представлено суммой:
Событию B будут благоприятствовать два исхода
, которые выражают правильное представление о события B1
— 52 —
1
3.3. Формула полной вероятности и формула Байеса
()()()( )( )
=+= + =
( ) ( ) 0,5 ( ) 0,5 (0,6 0, 7) 0,65PA PA PB= =⇒ =⋅+ =
H
: ,;
H HH i j⋅ =∅∀≠
1
k
()
= Ω= + + + + =
.
n
n
nk
AH AH AH AH AH
= + + ++ =
∑
k
AH
11
nn
kk
kk
= ≡⋅
∑∑
и B2 соответственно. Таким образом, вероятность события B можно
определить как:
PB PB PB PA B PA B
12 1 2
() (| ) ( ) (| ).
PA PB A PA PB A
=⋅ +⋅
1 12 2
Для вычисления P(B) условие задачи необходимо дополнить
вероятностями P(A1) и P(A2) или их соотношением.
Предполагая равновероятность налета бомбардировщика на цели,
получим:
12
.
3.3. Формула полной вероятности и формула Байеса
Рассмотренный выше пример демонстрирует решение задачи
определения вероятности некоторого события В, которое может наступить при реализации одного из несовместных событий A1 и A2,
образующих полную систему.
3.3.1. Формула полной вероятности
Рассмотрим произвольное событие A, которое может произойти при наступлении одного из событий
группу:
Система событий H
kij
называют системой гипотез, а сами со-
k
бытия гипотезами. Поскольку событие A может наступить только
совместно с одной из гипотез, то
AA A H H H H
123
n
, образующих полную
k
n
H== Ω∑ .(35)
k
123
Поскольку гипотезы несовместны, то и события
(k = 1..n) также несовместны, и вероятность события A равна:
()
PA PA H PAH
.
( ) ( )
= =
— 53 —
1
k
=
3. Зависимые и независимые события
( )
11 1
() ( | ) ( ) () ( )
k
nn n
k kk H k
kk k
PA P A H PA H PH P A PH
= = =
= ⋅= ⋅ ≡ ⋅
∑∑ ∑
()(|) ()(|)PH PA H PA PH A⋅=⋅
( ) (| )
ii
PH PA H
⋅
1
( ) (| )
( |)
(| ) ( )
ii
i
n
kk
k
PH PA H
PH A
PA H PH
=
⋅
=
⋅
∑
|iHA
( |)1
()
i
PH
( |)
i
PH A
Использую (30) преобразуем последнее выражение и получим
формулу полной вероятности некоторого события A обусловленного
системой гипотез Hk:
. (36)
3.3.2. Формула Байеса
Рассмотрим ситуацию, когда известен исход опыта, но необходимо установить вероятность того, что он реализовался в опыте совместно с одной из гипотез. Для рассмотренной ранее задачи вопрос
может звучать так, — какова вероятность того, что сбитый бомбардировщик атаковал первую цель.
Если рассмотреть два зависимых события A и H, то для них
в соответствии с (30) справедливо:
.
Очевидно, что это соотношение будет справедливо и в случае,
когда H одна из гипотез, тогда для произвольной гипотезы, с учетом
(36) получим:
( |)
PH A
= или
i
()
PA
.
Полученная формула называется формулой Байеса. По этой
формуле можно вычислять условные вероятности реализации гипотез при условии, что в опыте событие A реализовалось. Следует отметить, что события
и для них:
Часто вероятности
стями, а
— апостериорными вероятностями, а саму
(i = 1..n) также образуют полную группу
n
PH A==∑.
i
k
1
называют априорными вероятно-
формулу Байеса — формулой (теоремой) гипотез.
С этими названиями связаны некоторые особенности практического применения формулы полной вероятности и формулы Байе-
— 54 —
(37)
3.3. Формула полной вероятности и формула Байеса
()
PH
( |)
i
PH A
(| )
i
PAH
|iAH
( |) ( )
ii
PH A PH=
(| )
i
PAH
( |)
i
PH A
1
( |)PA B
( ) ( ) 0,5;PA PA= =
( | ) 0,6; ( | ) 0,7; ( ) 0,65.PB A P PB A P PB= = = = =
11
1
() (| )
0,5 0,6 6
( | ) 0,4615
( ) 0, 65 13
PA PB A
PA B
PB
⋅
⋅
= = = ≈
22
2
( ) (| )
0,5 0,7 7
( | ) 0,5385.
( ) 0,65 13
PA PB A
PA B
PB
⋅
⋅
= = = ≈
са. Как правило, на момент начала исследования некоторой проблемы, вероятности гипотез
известны, так как они описывают
i
варианты условий реализации опыта в котором проявляется событие A и могут быть заданы предварительно (априорно) на основании изучения этих условий. Для нахождения
знать вероятности
, но при полном отсутствии информации
необходимо
о вероятности события A указать их расчетным или статистическим
путем в начале исследования не представляется возможным. В этом
случае естественно принять события
при применении формулы Байеса
равновероятными, тогда
, т.е. вероятности того, что в опыте, в котором произошло исследуемое событие A,
реализовалась та или иная гипотеза первоначально (априорно) могут
быть приняты равными вероятностям самих гипотез.
После того как в исследовании будут уточнены
в результате проведенных экспериментов, статистических исследований
или иной дополнительной информации, по формуле Байеса можно
вычислить уточненные (апостериорные) вероятности
.
Пример. 3.2. Основываясь на условии примера 3.1, ответим
на вопрос, какую цель вероятнее всего атаковал сбитый бомбардировщик.
Определим вероятность
гипотезы A1 = {бомбардировщик атакует цель 1} при условии, что B = {бомбардировщик сбит
над целью 1 или над целью 2}.
Вероятности гипотез и условные вероятности B по отношению
к гипотезам заданы в условии, а полная вероятность события B рассчитана нами:
12
11 2 2
Тогда, по формуле Байеса найдем:
А для второй цели получим:
— 55 —
.
3. Зависимые и независимые события
Т.е. в результате мы установили, что с несколько большей вероятностью, 0,5385 против 0,4615, сбитый самолет атаковал не первую, а вторую цель притом, что в качестве априорных приняты гипотезы равновероятности атаки каждой цели.
3.4. Задачи и упражнения
3.1. В мастерской два автоматизированных станка работают
независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа
первый станок не потребует внимания мастера, равна 0,9, для второго станка эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того,
что в течение часа ни один из станков не потребует внимания мастера.
3.2. В урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Наугад из урны
вынимают последовательно два шара. Найти вероятность того, что
оба шара белые.
3.3. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для
второго — 0,7 и для третьего — 0,75. Каждый стрелок сделает по одному выстрелу, найти вероятность того, что:
а) по крайней мере, один из них попадет в цель;
б) только один из них попадет в цель;
в) только двое попадут в цель.
3.4. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится
24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета.
Какова вероятность выигрыша: 1) хотя бы на один билет; 2) по первому одному денег, а по другому — вещей?
3.5. В урне 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того,
что 3 наудачу вынутых по одному шара окажутся белыми.
3.6. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают сначала два шара, а затем один. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров два черных.
— 56 —
3.4. Задачи и упражнения
3.7. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают сначала два шара, а затем наугад один из вынутых возвращают в урну.
Найти вероятность того, что оставшийся шар белый. Найти вероятность того, что вынутый из урны после возврата шар окажется
черным.
3.8. Ученик пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед
ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что ученик знает наудачу вытянутый билет?
3.9. Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов,
каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти
из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя
целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого
узла равна 0,9, второго — 0,95, третьего — 0,85. Найти вероятность
того, что в течение суток прибор будет работать безотказно. Найти вероятность того, что прибор откажет из-за отказа первого узла.
3.10. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 технологические операции. Предполагая появление брака на каждой
из технологических операций событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака
на первой операции равна 0,02, на второй — 0,01, на третьей — 0,02,
на четвертой — 0,03.
3.11. В таблице логарифмов, содержащей 10 000 значений, есть
10 опечаток. Берут наугад 100 различных чисел и отыскивают их логарифмы по таблице. Какова вероятность того, что среди найденных
значений логарифмов хотя бы одно ошибочное? Какова вероятность
того, что среди последних 10 результатов два с ошибкой, если известно, что первые 90 не содержат ошибок.
3.12. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему
придется звонить не более чем три раза, чтобы позвонить по нужному номеру. Предполагается, что на каждый звонок абоненту гарантированно отвечают. Как изменится вероятность, если известно,
— 57 —
3. Зависимые и независимые события
что последняя цифра нечетная? Как изменится вероятность, если
на каждый звонок абонента будет ответ с вероятностью 0,5?
3.13. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность
попадания из первого орудия равна 0,85, из второго — 0,91. Найти
вероятность поражения цели, если для этого достаточно одного попадания.
3.14. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что
в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для
первого станка 0,9, для второго — 0,8 и для третьего — 0,85. Найти
вероятность того, что:
а) в течение некоторого часа ни один из станков не потребует
внимания рабочего;
б) не более двух станков потребуют внимания рабочего.
3.15. Имеются три партии микросхем одного типа, насчитывающих соответственно 20, 30 и 50 штук. Вероятности безотказной
работы микросхем заданное время, равны соответственно для этих
партий 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная одна из имеющихся микросхем проработает заданное время?
3.16. В магазине имеются микросхемы определенного типа, зная,
что первый поставщик завозит 70 %, а второй — 30 % всех микросхем
и при этом 83 % микросхем от первого поставщика и 63 % от 2-го работают без сбоев, найти вероятность покупки хорошей микросхемы.
3.17. Электролампы изготавливаются на 3 заводах. Первый завод производит 45 % общего количества электроламп, поставляемых
на рынок, второй — 40 %, третий — 15 %. Продукция первого завода
содержит 5 % бракованных ламп, второго — 10 %, третьего — 15 %.
В магазин поступает продукция всех трех заводов и упаковывается
в фирменные однотипные упаковки. Какова вероятность того, что
покупатель, купивший в магазине три лампы:
а) обратится за заменой двух бракованных?
б) не обратится за заменой бракованных ламп?
г) обратится за заменой, по крайней мере, одной из ламп?
— 58 —
3.4. Задачи и упражнения
3.18. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после
чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что
извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все варианты первоначального состава шаров (по цвету) в урне.
3.19. На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что
первый автомат дает 0,3 % брака, второй — 0,2 % и третий — 0,4 %.
Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если
с первого автомата поступило 1000, со второго — 2000 и с третьего — 2500 деталей.
3.20. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна
0,02, для второго — 0,03, для третьего — 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка
в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем
второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь
будет бракованной.
3.21. По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором —
0,6, при третьем — 0,8. Для гарантированного поражения (вывода
из строя) самолета достаточно трех попаданий, при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях — с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате 3 выстрелов самолет будет сбит.
3.22. В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой — 2 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 2 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из первой урны переложили один шар
во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью.
Наконец, из третьей урны один шар переложили в первую. Чему равна вероятность того, что:
а) состав шаров во всех урнах не изменится?
б) состав шаров в урнах не измениться, если достоверно из-
вестно, что первым был переложен черный шар?
— 59 —
3. Зависимые и независимые события
1N +
N
Nk−
0,1,2, ,kN=
1
H
H
H
H
H
1
H
H
3.23. В 3 урнах находятся белые и черные шары: в первой —
2 белых и 4 черных, во второй — 3 белых и 5 черных, в третьей —
4 белых и 6 черных. Из первой урны взяли наудачу два шара
и переложили во вторую. После этого взяли 2 шара из второй
урны и переложили в третью. Наконец, из третьей урны в первую
переложили 2 шара. Определить, чему равна вероятность того,
что:
а) состав шаров во всех урнах не изменится?
б) состав шаров во всех урнах изменится?
3.24. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся
4 белых и 6 черных шаров, во второй — только белые и в третьей —
только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается
один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?
3.25. Пусть имеется
шаров. Урна с номером k содержит k белых и
шаров (
). Из наудачу выбранной урны n раз наугад
урн, каждая из которых содержит
черных
извлекают один шар, причем вынутый шар каждый раз возвращают
обратно. Чему равна вероятность того, что все шары белые?
3.26. На карточках по одной написаны буквы, образующие слово КОМБИНАТОРИКА, но две карточки из этого набора утеряны.
Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что
на ней окажется гласная буква?
3.27. Имеется 12 урн, из них в 6 урнах (состав
и 4 черных шара, в 3 урнах (состав
ров, в 2 урнах (состав
(состав
) 4 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны
4
) по 6 белых и 1 черному шару, в 1 урне
3
) по 2 белых и 8 черных ша-
2
) по 3 белых
взят шар. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны состава
, если он оказался белым?
3
Решение задачи 3.27. Опыт заключается в выборе наугад одного шара из набора шаров, находящихся в урне, состав набора шаров
определяет условия опыта. Урна в свою очередь также выбирается
наугад. Таким образом, о составе урны мы достоверно на момент
опыта не знаем и можем только сформулировать гипотезы
— 60 —
,
2
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]