Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
2.1. Вероятность. Аксиомы вероятности и их следствие
nn≤
0
n ≥
() 0PA≥
0 () 1PA≤≤
, : ( ) () ()AB AB PA B PA PB∀ ∈Ω ⋅ =∅ ⇒ + = +
12
, ,...,
n
ÀÀ À
, : ()
ij i j k k
kk
∑∑
,,,,,
AAA A ⊂Ω
123 k
AAA A⊃ ⊃ ⊃⊃ ⊃
1ii
lim ( ) 0
PA→∞=
Таким образом, вероятность события это некоторая числовая
мера события, заданная как предел относительной частоты события
при количестве опытов, стремящемся к бесконечности и выражающая степень объективной возможности наступления события [1].
Очевидно, что этот предел ограничен сверху единицей (
и снизу нулем (
). Также очевидно, что для двух несовместных
A
A
(непересекающихся) событий A и B в силу невозможности их одновременного наступления в опыте относительная частота их суммы
будет равна сумме относительных частот каждого из событий.
Эти утверждения легли в основу четырех аксиом теории веро-
ятностей.
А1. Аксиома неотрицательности вероятности:
.
А2. Аксиома нормирования вероятности:
А3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы двух несо-
. (3)
вместных событий равна сумме их вероятностей:
Попробуйте доказать (4) на основе (2) и алгебры событий са-
. (4)
мостоятельно.
Аксиома аддитивности легла в основу теоремы о сложении
вероятностей несовместных событий (аксиома расширенной аддитивности): если события
попарно несовместные, то ве-
роятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
. (5)
∀ ⊂Ω ⋅ =∅⇒ =
A A A A P A PA
ij
≠
А4. Аксиома непрерывности (бесконечные множества событий):
для убывающей последовательности событий
123
k
такой что
∞
и
A
= ∅,
=
имеет место соотношение:
. (6)
Из A4 следует, что вероятность попадания в задаче №1.13 нау-
k
k
гад точкой в некоторую конкретно заданную точку плоскости будет
в предельном смысле равна нулю.
)
— 21 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
( ) 0, ( ) 1PP∅= Ω=
( ) () () ( )PA B PA PB PAB= + −⋅
\\
,
nnnnnn=+=+
\\A B A B B A AB A B AB
n nnnnnn= + + =+−
( ) ()()()( )( )( )
( ).
PA B C PA PB PC PAB PAC PBC
PABC
= + + −⋅−⋅−⋅+
+ ⋅⋅
( )
( ) ( )
( )
1
1 , ,,
1
1
... 1
n
n
n
n
i i ij ijk i
i ij ijk
i
i
ij ijk
P A PA PAA PAAA P A
+
=
=
=
< <<
= − + − +−
∑∑ ∑
∏
( )
1
1
n
n
i
+
=
∏
( ) () () ( )PAB PA PB PA B⋅= + −
( ) ()()()( )( )( )
PABC PA PB PC PA B PA C PB C
⋅⋅=−−−+++−
( ) () () 2 ( )PA B PA PB PAB⊕ = + −⋅ ⋅
Из аксиом и определения вероятности следует ряд важных вы-
водов (следствий).
1. Вероятности невозможного и достоверного события равны:
.
2. Вероятность суммы (пересечения) двух произвольных со-
бытий равна:
В самом деле, если A и B совместны, то при подсчетах nA
. (7)
и nB количество одновременного появления указанных событий
{A и B} учитывается дважды:
A A B AB B B A AB
⇒
⇒
.
Используя диаграмму Эйлера попробуйте доказать обобщение
(7) на случай объединения трех произвольных событий:
(8)
Из (8) следует, что слагаемые вероятности нечетного количества событий положительны, а четного отрицательны. Рассматривая
(7) и (8), путем индукции получим выражение теоремы сложения
любого числа произвольных событий:
Когда использование вероятностей суммы событий предпочтительно, соотношения (7) и (8) применяют для выражения вероятности одновременного наступления событий:
,
( ).
PA B C
−
Очевидно, что для дизъюнктивной суммы событий {только
А или только В}, справедливо:
— 22 —
. (10)
. (9)
2.2. Вероятностное пространство
() 1 ()PA PA
1
1
1
n
n
ii
i
i
PA P A
=
=
= −
∏
(
)
,,( : )FP A A FΩ ∀∈
3. Вероятность противоположного события равна
= − . (11)
С учетом (11) вместо (9) бывает в ряде случаев удобнее вос-
пользоваться формулой:
. (12)
Соотношение (12) легко доказать с помощью диаграмм Эйлера,
попробуйте самостоятельно это показать для двух и трех событий.
Очевидно, в силу аксиомы аддитивности (A3), вероятность
произвольного события будет являться суммой вероятностей элементарных событий его составляющих, называемых элементарными ве-
роятностями. В общем случае предполагается, что элементарные
события не только несовместны, но существенно различны, т.е.
не равновероятны.
Аксиоматика вероятности обходит вопрос о приписывании
конкретных значений элементарным вероятностям, а лишь определяет их свойства. Решение этой задачи в общем случае лежит на математической статистике.
2.2. Вероятностное пространство
Вероятностным пространством называется совокупность непустого пространства элементарных событий Ω, алгебры событий
(поля событий) F и вероятности как функции элементов F, т.е. тройка
Вероятностные пространства классифицируются по пространству элементарных событий: дискретные и непрерывные. В свою
очередь дискретные делятся на конечные и счетные.
.
2.2.1. Конечное вероятностное пространство.
Для сравнения конечных множеств служит кардинальное число, называемое мощностью множества. Мощность конечного мно-
жества равна количеству его элементов.
Классическое определение вероятности.
— 23 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
{}
kn
Ω=
ω
kk
p↔
ω
01
k
p≤≤
1..kn=
: ()
j
j
A
A A PA p
∀∈
∀ ⊂Ω⇒ =
∑
ω
p
p
1
n
Бесконечные множества также различаются по мощности. Наименьшую мощность имеют счетные множества, например мощность
множества натуральных чисел. Множество точек отрезка числовой
оси бесконечно и непрерывно, мощность такого (несчетного) множества называется мощностью континуума (лат. continuum – непрерывное, сплошное) и превышает мощность счетного множества.
Множества, обладающего наивысшей мощностью не существует,
т.к. мощность всех подмножеств любого непустого множества всегда больше мощности исходного множества.
Конечное вероятностное пространство часто называют конечной
схемой, подразумевая, что решение задач на таком пространстве укладывается в некоторый алгоритм, содержащий конечное число шагов.
В конечном вероятностном пространстве пространство элементарных событий конечно, с учетом аксиом имеем:
,
n
k
1
,
1
p==∑,
k
,
,
, (13)
где n – мощность пространства элементарных событий,
– эле-
k
ментарные вероятности, A – произвольное событие являющееся под-
множеством Ω.
Для решения конкретной задачи в конечной схеме необходимо:
1) в соответствии с условием опыта задать пространство эле-
ментарных событий;
2) определить элементарные вероятности
;
k
3) установить элементарный состав исследуемого события;
4) вычислить вероятность события A по формуле (13).
Важным вариантом конечной схемы является случай равновероятности всех элементарных событий
Такой вариант называют схемой случаев, он реализуется в правильно организованных лотереях, карточных играх, при бросании
правильной игральной кости и т.п. Схему случаев часто называют
pp
= = . (14)
k
— 24 —
2.2. Вероятностное пространство
()
j
A
j
A
n
PA p
n
∀∈
= =
∑
ω
n
n
=
ω
6n =
456
A =++
ωωω
3
n =
( )
3
0,5
6
PA= =
урновой схемой, имея в виду опыт по выниманию наудачу одного
из одинаковых шаров, отличающихся лишь цветом. Вероятность вытащить любой из шаров одинакова и равна 1/n. Большое количество
задач с урной разобрано в [2] и часто искусственное представление
произвольной по природе задачи в виде схемы с шарами помогает
структурировать представление об опыте и упрощает решение задачи.
При подстановке (13) в (12) получим:
, (15)
– мощность события A, т.е. количество элементарных собы-
где
A
тий его составляющих.
Полученное соотношение (16) носит название классического
определения вероятности как отношения количества элементарных
событий, благоприятствующих наступлению исследуемого события,
к количеству всех элементарных событий.
Алгоритм вычисления вероятности некоторого события A для
схемы случаев следующий:
1) задать пространство элементарных событий Ω и определить
его мощность n;
2) определить мощность интересующего события
;
A
3) вычислить вероятность события A по формуле (15).
кости. Какова вероятность того, что:
ние определенного числа очков на верхней грани игральной кости
бор всевозможных вариантов выпадения определенного количества
очков, его мощность
го из заданных событий:
т.е.
Пример 2.1. Опыт состоит в бросании правильной игральной
а) выпавшее число очков будет больше трех?
б) будет четным?
в) будет не меньше пяти?
Решение. Примем в качестве элементарного события выпаде-
{выпало k очков}. Пространство элементарных событий – на-
k
. Определим состав и вероятности каждо-
а) пусть событие А={выпавшее число очков больше трех},
, следовательно
— 25 —
A
. Тогда
;
2. Вероятность. Вероятностное пространство
246
B =++
ωωω
3
n =
( )
3
0,5
6
PB= =
56
A = +
ωω
2
n =
21
63
49!
⋅−
1
n =
( )
( )
8
6! 49 6 !
1 6!
7,15 10
49! 44 45 46 47 48 49
PA
n
−
−
= = = = ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
б) пусть событие В={выпавшее число очков четное}, т.е.
, следовательно
B
. Тогда
;
в) пусть событие С={выпавшее число очков не меньше пяти},
т.е.
, следовательно
C
. Тогда
PC = = .
( )
Пример 2.2. Лотерея «6 из 49»: на 49 одинаковых шарах нанесены номера от 1 до 49, шары перемешаны и наугад по одному
вынимаются 6 шаров. Каждый вынимаемый шар обратно не возвращается. Игрок загадывает комбинацию из шести чисел от 1 до 49,
каждый, совпадающий с выбранными шарами номер, считается выигрышным. Определить вероятность выигрыша всех 6 загаданных
игроком номеров в лотерее.
Решение. Так как выбранный шар на возвращается обратно и по
условию лотереи порядок, в котором выпадают номера, не важен,
то эту задачу можно сформулировать в терминах урновой схемы.
Урна содержит 6 белых (выигрышных) шаров и 43 черных.
Элементарным событием в данном случае является вынимание набора 6 любых шаров из 49 возможных, например, вынуты могут
быть шары с номерами с 1 по 6 или с 2 по 7 и т.д. все возможные
сочетания по 6 элементов из 49.
Очевидно, что в этом случае составить пространство элементарных событий и подсчитать его мощность простым перебором весьма
затруднительно. В подобных случаях используют известные соотношения комбинаторики, которые будут рассмотрены ниже. В данном
случае, мощность пространства элементарных событий можно рассматривать как число сочетаний по 6 элементов из 49, тогда:
6
nC= =
49
6! 49 6 !
( )
.
Интересующее нас событие А={выбор 6 белых шаров} и ему
будет соответствовать лишь один возможный набор шаров
.
A
Тогда вероятность события A:
— 26 —
2.2. Вероятностное пространство
Как следует из данного примера, вероятность выиграть в этой
лотерее, да и любой другой, главный приз исчезающе мала.
2.2.2. Элементы комбинаторики
Как видно из рассмотренного выше примера необходимость
определять количественный состав как Ω, так и исследуемого события в конечной схеме непростая задача и в зависимости от целей
и условий опыта может иметь самые разные результаты. Например,
достаточно установить важность определенной последовательности
номеров в рассмотренном выше опыте с выниманием шести шаров
как сразу изменится состав пространства элементарных событий,
т.к. формула для подсчета количества сочетаний не различает между
собой комбинации с переставленными местами шарами. Таким образом {1, 2, 3, 4, 5, 6} и {2 ,1, 3, 4, 5, 6} и др. аналогичные по составу,
рассматриваются как одно событие.
Рассмотрим основные понятия и правила комбинаторики для
подсчета количества комбинаций для различных условий.
1. Правила выборки элементов.
Одной из задач комбинаторики является определение количества различных подмножеств, которые можно составить из некоторого множества элементов по определенным правилам.
Выборка k элементов из множества n элементов называется
k-перестановкой, если учитывается состав и порядок элементов
в выборке. Среди перестановок различают просто перестановки
и размещения.
Выборка k элементов из множества n элементов называется
k-сочетанием, если учитывается только состав выборки, а порядок
элементов не важен. Очевидно, что если k = n, то сочетание имеет
один вариант.
Например, для множества из трех натуральных чисел M = {1, 2,
3} получим выборки из двух элементов:
а) 2-перестановки: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2};
б) 2-сочетания: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Различают также выборки, не допускающие повторение элементов и допускающие. Причем выборки с повторением также могут быть сформулированы в двух вариантах.
— 27 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
rn≤
1
i
nn
À
n
À
n
À
n
В первом случае предполагается, что запас повторяемых элементов ограничен и определяется некоторой количественной спец-
ификацией {n1, n2, n3, ..., nr}, где ni – количество элементов i-го типа
(вида) в исходном множестве, а r – количество типов элементов, при-
чем
r
и
=∑.
i
=
Например, буквы из слова МАМА можно рассматривать как
множество из четырех букв? две из которых А и две М, т.е. множество из двух типов элементов по два элемента каждого типа.
Каждый тип рассматривается как класс эквивалентности,
в рамках которого элементы считаются неразличимыми, каждому
классу приписывается некоторый общий для всех его элементов
идентификатор (номер, обозначение и т.п.) и количественный состав
(спецификация). Совокупность обозначений различных классов эквивалентности называется семейством представителей, которое до-
полняется спецификацией.
Пусть семейство представителей задано множеством {a, b, c}
со спецификацией {2, 3, 1}, причем n = 2+3+1=6. Тогда выборки aabb,
abab, abca, cbbb, bcaa и т.п. являются различными 4-перестановками, а выборки aabcbb, abbcab, aabbbc и т.п. 6-перестановками, в них
задействованы все эелементы, но в разном порядке. Выборки aabb,
bcab, caab и т.п. представляют собой примеры 4-сочетаний, комбинации aabb и abab неразличимы. Сочетание из всех шести элементов
только одно и отражает полный состав заданного множества: aabbbc.
Во втором случае запас элементов не ограничен. Исходное
множество рассматривается как множество из различных элементов,
но после выборки некоторого элемента он восстанавливается в этом
множестве. Такие выборки называются – выборки с возвращением.
2. Правило суммы и произведения
Наиболее часто применяются для решения задач и доказательства более сложных соотношений следующие правила.
Правило суммы. Если элемент
симыми способами, элемент
собами и так далее до
–
k
– другими
2
независимыми способами, то один
k
— 28 —
можно выбрать
1
независимыми спо-
2
незави-
1
2.2. Вероятностное пространство
A
A
A
...
nn n n= + ++
1
( 1)
k
i ij ijm k
nnn n n
−
∑∑ ∑
ij
n
i jm
n
1,2,..., k
n
À
n
A
n
À
n
A
A
A
12
...
k
nn n⋅ ⋅⋅
( 1) ( 2) 2 1 !
n
p nn n n=⋅−⋅−⋅⋅⋅=
!! !
nn n⋅ ⋅⋅
из элементов «либо
можно выбрать
, либо
1
12
, ..., либо
2
способами.
k
» из всей совокупности
k
Важно следить, чтобы способы выбора элементов были независимы (взаимно исключающими), иначе необходимо учитывать повторения подсчетов способов выборки элементов:
= − + − +−
i ij ijm
где
– количество совпадений способов выбора двух элементов
,
Ai и Aj, соответственно
, , , 1,2,...,
, ,,
– трех элементов и т.д. до количества
,,
совпадений способов выбора всех элементов
,
.
Сравните с правилом определения вероятности суммы несовместных и совместных событий.
Правило произведения. Если элемент
способами, после такого выбора элемент
далее, и после такого отбора элемент
собами, то выбор всех элементов «
и
1
порядке можно осуществить
можно выбрать
1
–
способами и так
2
2
можно выбрать
k
и ... и
2
» в указанном
k
способами.
спо-
k
Это правило используется, если способы выборов элементов
независимы.
3. Перестановки
Обычно n-перестановку из n элементов называют просто перестановкой n элементов. В этом случае, применяя последовательно
правило произведения, для перестановки n элементов получим:
Рассмотрим перестановки n элементов с повторениями. Пусть
. (16)
задана спецификация {n1, n2, ..., nk} для семейства представителей
из k — классов эквивалентности. Так как перестановка элементов
одного класса внутри выборки ничего не меняет, то количество перестановок n элементов будет меньше чем n!.
Элементы i-го класса допускают внутри своей совокупности
перестановку ni! способами. В силу независимости таких перестановок для каждого класса можно совершить
12
перестано-
k
вок не изменяющих результата. Число различных перестановок с повторениями, которые можно получить из n элементов, разделенных
на k классов эквивалентности, выражается формулой:
1
— 29 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
12
nk i
k
p nn n k n n n
= ≤=
( )
10
10! 6 7 8 9 10
3,5, 2 7 4 9 10 2520
3!5!2! 232
p
⋅⋅⋅⋅
= = =⋅⋅⋅ =
⋅⋅ ⋅⋅
1 2 ( ) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1)
12 ( )
!
.
( )!
k
n
k
n
nk nk n
A nn n nk
nk
n
A kn
nk
⋅⋅⋅−⋅−+⋅⋅
=⋅−⋅−⋅⋅−+= ⇒
⋅⋅ ⋅ −
⇒= ≤
−
kk
An
!
, ,..., , ,
( )
12
n
! ! ... !
nn n
⋅ ⋅⋅
∑
i
k
. (17 )
1
=
Например, расстановка 10 книг трех изданий на полке, состоя-
щих соответственно из 3-х, 5-и и 2-х штук, возможна
способами.
Размещением n элементов по k называют k-перестановки без
повторений из множества n элементов. Первый элемент выборки
можно получить n способами, не возвращая первый, второй элемент (n – 1) способом и т.д. до k-го элемента, который можно выбрать (n – k + 1) способами. Применяя правило произведения, получим:
(18)
Размещением n элементов по k с повторениями рассматривается в варианте неограниченных повторений, тогда каждую i-ю позицию в выборке k-перестановки можно независимо представить
n - способами. Согласно правилу произведения число комбинаций
размещений n элементов по k с повторениями будет равно:
=. (19)
Формула (19) часто применяется для расчета количества комби-
n
наций размещения k – объектов, по n – ячейкам (шариков по лункам,
писем по почтовым ящикам, жители, выходящие из лифта по этажам
и т.п.). В частности, это соотношение применяется для определения
количества различных k-разрядных чисел в позиционной системе кодирования числа с основанием n. Так в двоичной системе с основанием n = 2 (значения 0 или 1) с помощью одного байта k = 8 (8-бит)
можно представить 28 = 256 чисел.
Например, количество трехзначных чисел, которые можно составить из набора цифр {2, 3, 4, 5, 6}, если цифры могут повторяться,
равно
33
5 125A = = (основание 5, разрядов 3).
5
— 30 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]