Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
2.3. Задачи и упражнения
5!n =
n
5!n =
2
(5!)
2
3 (5!)nΩ= ⋅
по 500 руб., 400 билетов с выигрышем по 100 руб, остальные билеты
невыигрышные.
Какова вероятность выиграть по случайно выбранному билету
не менее 1000 руб.?
2.6. Загаданное число состоит из 5 цифр. Какова вероятность,
что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные?
2.7. В купе железнодорожного вагона один против другого стоят два дивана, на каждом из которых по пять мест. Из десяти пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения поезда,
а трое наоборот. Пассажиры расселись по диванам случайным образом, но в соответствии со своими предпочтениями. Чему равна вероятность того, что два, наперед выбранных, пассажира из числа трех,
которым безразлично, где сидеть, окажутся рядом?
Решение задачи 2.7. Опыт состоит в размещении 10 пас-
сажиров на двух диванах с учетом их пожеланий. Таким образом,
пространство элементарных событий W должно включать все возможные варианты размещений, которые и являются элементарными
событиями.
Для нахождения мощности W рассчитаем количество возмож-
ных комбинаций с помощью комбинаторных правил. Обозначим пассажиров, которым безразлично как сидеть, – X, Y, Z. Очевидно, что
при решении задачи не важно, какие два их трех пассажиров будут выбраны, пусть это будут Y и Z. Если один из них, X, Y или Z, сядет лицом
по ходу движения состава, то вместе с ним на диван сядут четыре пассажира, которые желают ехать также. Комбинация размещения пяти
пассажиров на пяти посадочных местах дивана является перестановкой из пяти элементов (16), т.е.
. Поскольку оставшиеся пять
1
пассажиров также могут разместиться на другом диване произвольным образом, то для каждой из
комбинации буду возможны
1
2
комбинаций размещения пассажиров на втором диване. Общее число
комбинаций (правило произведения)
nn⋅= . Поскольку любой
12
из трех «безразличных» пассажиров может занять место на первом
диване общее количество комбинаций необходимо утроить (правило
выборки одного элемента и правило произведения):
.
— 41 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
n nn= ⋅
4 2! 3!
n =⋅⋅
n
Исследуемое событие можно сформулировать так A = {пассажир X сел лицом по ходу движения поезда вместе с четырьмя пассажирами и пассажиры Y и Z сидят рядом лицом против хода движения
поезда и три оставшихся пассажира на свободных местах}.
Количество комбинаций, соответствующих событию A рассчитаем по правилу произведения:
1A YZ
, где
YZ
— количество возможных вариантов размещения пассажиров Y и Z на
диване совместно с другими тремя пассажирами в соответствии
с событием A. В самом деле, разместить Y и Z рядом на пяти посадочных местах можно четырьмя способами, при этом каждый вариант посадки этих пассажиров предполагает 2! возможных варианта
перестановки, кроме этого три оставшихся пассажира могут сесть 3!
способами, что в соответствии с правилом произведения дает
.
YZ
Вычислим вероятность события A:
n
5! 4 2 3! 2
⋅⋅⋅
( ) 0,13(3) 0,133
PA
A
= = = = ≈
n
Ω
3 5! 5! 15
⋅⋅
.
2.8. Даны числа от 1 до 30 включительно. Какова вероятность
того, что наудачу выбранное целое число является делителем числа 30?
2.9. Какова вероятность того, что наудачу выбранный день
из числа дней одного столетия обладает следующим свойством: число, номер месяца и последние две цифры года записаны с помощью
одной из цифр 1, 2, ..., 9?
2.10. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу
листке нового календаря: а) кратно пяти; б) равно 29, если в году
365 дней?
2.11. Из полной игры лото наудачу извлекается один бочонок.
На бочонках написаны числа от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что на извлеченном бочонке написано простое число?
2.12. В коллекции 200 монет, из которых 25 монет XVIII века.
Какова вероятность того, что наудачу выбранные две монеты датированы XVIII веком? Какова вероятность того, что среди 25 случайно
отобранных монет 5 датированы не XVIII веком?
— 42 —
2.3. Задачи и упражнения
2.13. На четырех карточках написаны числа 1, 2, 3 и 4. Какова
вероятность того, что сумма чисел на трех произвольно выбранных
карточках делится на 3?
2.14. Какова вероятность того, что кость, наудачу извлеченная
из полного набора домино, имеет сумму очков, равную пяти?
2.15. В группе 6 юношей и 18 девушек. По жребию разыгрывается
один билет в театр. Какова вероятность того, что билет получит девушка?
2.16. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика
одинакового размера. Определите вероятность того, что извлеченный наудачу кубик будет иметь: ровно две окрашенные грани, ровно
одну окрашенную грань, не иметь окрашенных граней.
2.17. Игральная кость бросается дважды. Каждому из 36 элементарных событий приписывается одна и та же вероятность. Найдите вероятность того, что сумма очков равна n для n = 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12.
2.18. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени
он проводит у первого станка, 10 % – у второго, 15 % – у третьего,
25 % – у четвертого и 30 % – у пятого. Найти вероятность того, что
в наудачу выбранный момент времени он находится:
а) у первого или третьего станка;
б) у второго или пятого;
в) у первого или второго, или третьего;
г) не у четвертого.
2.19. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в твердом переплете. Библиотекарь берт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя
бы один из взятых учебников окажется в твердом переплете.
2.20. Найти вероятность тог, что наудачу взятое двузначное натуральное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
— 43 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
( ) ( ) ( ) ( )
()PC PA B PA PB PAB= =+−
2 ( 1)
A
n⋅−
n
10 2 ( 1) 98 45
AA
nn+⋅ − = ⇒ =
10 5 ( 1) 95 18
BB
nn+⋅ − = ⇒ =
10 10 ( 1) 90 9
nn+⋅ −= ⇒ =
45 18 9 54 6
90 90 90 90 10
Решение задачи 2.20. Опыт состоит в выборе наугад двузначного натурального числа. Пространство элементарных событий состоит из всех возможных вариантов выбора таких чисел, их всего n =
90: 10, 11, ..., 98, 99.
Исследуемое событие С = {взятое наудачу двузначное натуральное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно} является суммой двух событий: событие
A = {взятое наудачу двузначное число кратно 2}, событие B = {взятое
наудачу двузначное число кратно 5}. Поскольку в рассматриваемом
множестве чисел присутствуют числа кратные одновременно 2 и 5,
то события A и B совместны и для их суммы следует применить формулу (7):
.
Количество элементарных событий, из которых состоят A и B,
можно рассчитать из следующих соображений.
Любое четное число можно задать, выбрав в качестве первого
наименьшее четное число и прибавив к нему
,
– по-
A
рядковый номер четного числа, начиная с первого. Тогда рассчитать
количество четных чисел среди всех двузначных натуральных чисел
можно, решив уравнение с наибольшим четным числом из рассматриваемого множества:
.
Аналогично для чисел кратных 5:
.
Числа, кратные одновременно 2 и 5 кратны 10, следовательно:
AB AB
.
Конечно, полученные величины можно определить непосредственным подсчетом, но это не всегда целесообразно. Если существует такая возможность, то следует отдавать предпочтение математическому описанию процесса (явления) с общих формальных
позиций перед непосредственным описанием одного конкретного
случая реализации процесса (явления).
Вычислим искомую вероятность:
( ) 0,6
PC PA PB PAB= + − =+−= == .
( ) ( ) ( )
— 44 —
2.3. Задачи и упражнения
2.21. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом
ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что
хотя бы из одного ящика вынут один белый шар, если из каждого
ящика вынуто по одному шару.
2.22. Предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что
случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.
2.23. В ящике находятся 100 катушек четырех цветов: белых катушек 50 %, красных – 20 %, зеленых – 20 %, синих — 10 %. Какова
вероятность того, что среди наугад выбранных четырех катушек все
разного цвета или по две — катушки одного из цветов.
2.24. Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет
10 очков, равна 0,4, 9 очков — 0,3 и, наконец, 8 или меньше очков —
0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет
не менее 9 очков.
2.25. На конференцию зарегистрировалось 420 участников.
Оказалось, что начальной буквой фамилии у 10 была «А», у 6 — «Е»,
у 9 — «И», у 12 — «О», у 5 — «У», у 3 — «Ю», у всех прочих фамилия начиналась с согласной. Определить вероятность, что фамилия
наугад выбранного участника конференции:
а) начинается с гласной;
б) начинается с гласной буквы, но не с «E».
2.26. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти
вероятность того, что среди них окажется:
а) хотя бы один туз;
б) дама пик и хотя бы один король;
г) три карты одной масти или одного достоинства.
2.27. На электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену окажется не менее 2 мужчин.
— 45 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
( )
Bx
/3L
22
1
25 16
xy
+=
+=
ra<
2.28. 30 одинаковых жетонов пронумерованы двузначными числами от 11 до 40. Жетоны помещены в непрозрачный пакет
и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 3 или 2?
2.29. Брошены две правильные игральные кости. Чему равна
вероятность того, что:
а) хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?
б) сумма очков будет кратна 3 или 5?
в) хотя бы на одной кости выпадет четное количество очков?
2.30. На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу нанесена
точка
длину, большую
. Найти вероятность того, что отрезки OB и BA имеют
.
2.31. Внутри эллипса
расположен круг
22
Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
2.32. На отрезке L длины 20см помещен меньший отрезок l
длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.
2.33. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r.
Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой
круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна его площади и не зависит
от его расположения.
2.34. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу
брошена монета радиуса
. Найти вероятность того, что монета
не пересечет ни одной из прямых.
— 46 —
9xy
.
2.3. Задачи и упражнения
2
a
r <
2 222
3xyz++=
2 22
222
1
543
xyz
++=
2.35. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со сторо-
ной a наудачу брошена монета радиуса
. Найти вероятность
того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
2.36. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность
того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
2.37. Шар
помещен внутри эллипсоида
. Найти вероятность того, что поставленная наудачу
внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.
2.38. Стержень длины l сломали на три части, выбирая наудачу
места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех
частей можно составить треугольник.
2.39. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена
между 60° северной и 60° южной широты. Считая падение спутника
в любую точку поверхности между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30°
северной широты.
2.40. Четыре шарика случайным образом разбрасываются
по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий
к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти
вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой — один, а в двух остальных лунках шариков не будет. Найти
вероятность того, что в каждую из лунок попадет по одному шарику.
— 47 —
3. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ
AB⋅
AB⋅
h
= = = ≡⇒
СОБЫТИЯ
3.1. Общие понятия о зависимости событий
Рассмотрим два совместных события A и B, которые могут появляться в опыте как самостоятельно, так и одновременно, например, в опыте по бросанию игральной кости, A = {выпало четное количество очков} и B = {выпало менее пяти очков}.
Часть исходов указанных событий будут общими: {выпало
2 очка} и {выпало 4 очка}.
До этого мы рассматривали вероятность того или иного события по отношению ко всему пространству элементарных событий,
но исследователя может заинтересовать вопрос, какова вероятность
того, что при выпадении менее пяти очков, выпавшее количество
очков будет четным. Таким образом, рассматривается событие С =
= {A происходит при условии, что произошло B}, иначе говоря,
согласно определению вероятности, интересует как часто среди
исходов опыта, в которых происходит событие B, также происходит событие A. Очевидно, что таких элементарных исходов в рассмотренном примере будет меньше, только 2, рассмотренных выше
и соответствующих событию
Рассмотрим частоты событий A, B и
бытия A по отношению к событию B (
nn n
A B AB
h h h nn
,, ,
A B AB A B AB
nn n
n
|
h
⇒===
AB
|
AB
nnh
B BB
— 48 —
, тогда как событие A содержит 3.
, а также частоту со-
):
|AB
|
nh
AB AB
.
(26)
3.1. Общие понятия о зависимости событий
AB⋅
( | ) ( ) lim
PAB P A h
≡=
lim
()
h
=⇒=
( | ) 1/3PB A =
( | ) 2/3PB A =
( | ) ()PAB PA=
( | ) ( ).PB A PB=
( | ) ()PAB PA≠
( | ) ( ).PB A PB≠
Тем самым мы вводим понятие относительной частоты со-
вместного появления события
по отношению к событию B.
Предел этой величины в смысле (2) называется условной вероятностью события A по отношению к событию B:
n
→∞
|
PAB
⋅
. (28)
n
h PAB
lim ( | )
n
→∞
С понятием условной вероятности связано явление зависимо-
→∞
AB
|
lim ( )
n
→∞
B AB
AB
h PB
B
. (27)
сти или независимости событий.
Событие A не зависит от события B, если вероятность собы-
тия A не зависит от того, произошло событие B или не произошло.
Событие A зависит от события B, если вероятность события
A меняется от того, произошло событие B или не произошло.
Рассмотрим другой, более подходящий, пример для пояснения
введенного понятия зависимости событий. Пусть из урны, в которой
содержатся 2 черных и 2 белых шара последовательно вынимаются
два шара (сначала один, а затем другой). В этом случае вероятность
события А = {первым вынут белый шар} равна P(A) = 1/2. Тогда
вероятность события B = {вторым вынут белый шар} будет зависеть от того, произойдет A или нет, т.к. это влияет на состав урны
на момент вынимания второго шара. Очевидно, если A произошло,
то
, а если не произошло, то
, т.е. вероятность B будет определяться условными вероятностями и зависеть
от исхода вынимания первого шара.
Для независимых событий A и B справедливо:
Для зависимых событий A и B справедливо:
,
(29)
,
Замечание 1. Как правило, зависимость событий основывается
на физическом влиянии одного события на условия опыта, в котором
исследуется другое событие. В случае пересечения множеств одного
и другого события, они не обязательно являются зависимыми, независимость событий можно установить, убедившись в выполнении (29).
Например, опыт состоит в выборе наугад одной карты из игральной колоды, рассмотрим два варианта опыта с колодой 36 карт (4 масти
— 49 —
3. Зависимые и независимые события
1
41
()
36 9
PA = =
1
2
42
()
54 27
PA = =
22
1
(|)
13
PA B =
( ) () ( | ) () ( | )PAB PB PA B PA PB A⋅= ⋅ = ⋅
по 9 карт) и покерной колодой 54 карты (4 масти по 13 карт и 2 джокера).
Рассмотрим зависимость следующих событий: Ai = {из колоты
вынут туз}, Bi = {из колоды вынута карта пиковой масти}, где i —
номер опыта.
События A и B пересекаются, так как среди всех карт пиковой
масти есть один туз, а среди всех тузов один пиковой масти.
Определим вероятности событий:
(4 туза из 36 карт),
(|)
PA B = (1 туз из 9 карт пиковой масти),
11
9
(4 туза из 54 карт),
(1 туз из 13 карт пиковой масти).
Как видно в первом опыте (29) выполняется, события A и B независимы, а во втором (29) не выполняется, A и B зависимы.
Замечание 2. Если во множестве из трех событий все события
попарно независимы, то это не означает, что они независимы в совокупности, например, одно от одновременного наступления пары
других. Это замечание справедливо и для большего количества событий.
3.2. Теорема умножения вероятностей
На основе введенного понятия условной вероятности (28)
и коммутативности операции пересечения (произведения) событий
можно заключить, что вероятность одновременного наступления
двух событий A и B равна:
Таким образом, вероятность произведения двух событий рав-
на произведению вероятности одного события на вероятность другого события, при условии, что первое произошло. Это утверждение
носит название теоремы умножения вероятностей.
. (30)
— 50 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]