Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
5.5. Задачи и упражнения
( )
2
0, 0,
, 0.
1
x
Fx
x
x
x
≤
=
>
+
0, 0,
sin, 0.
x и x
25
0.
2
F
( )
fx
( )
0, 5; 0
первого станка 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,75 и четвертого — 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
5.31. Функция распределения случайной величины X имеет
вид:
Найти ее плотность вероятности.
5.32. Известна плотность вероятности случайной величины X:
f x
Ax x
Найти значение параметра A, математическое ожидание и дис-
персию случайной величины X.
5.33. Дана функция распределения непрерывной случайной ве-
личины X:
0, 2,
xx ax a где a
Найти плотность вероятности случайной величины X.
5.34. Дана функция распределения случайной величины X:
Найти плотность вероятности
того, что случайная величина попадет в интервал
4, 2,
a
1, ,
Fx
( )
xa
5
xa
x
4 , 0,
=
1, 0.
— 121 —
2
x
≤
x
>
. Вычислить вероятность
− .
5. Случайные величины
0, 6,
x
≤
( )
0, 12,
1
, 12 14,
2
0, 14.
x
fx x A x
x
≤
= − <≤
>
( )
0, 1,
1
, 1 2,
2
0, 2.
x
fx x x
x
≤
= − <≤
>
1YX= −
( )
0, 0
2 , 0 1,
0, 1.
x
fx x x
x
≤
= <≤
>
3
YX=
5.35. Дана плотность вероятности случайной величины X:
1
= − <≤
fx x x
( )
Найти функцию распределения.
5.36. Дана плотность вероятности случайной величины X:
Найти значение параметра A.
5.37. Дана плотность вероятности случайной величины X:
3, 6 8,
2
0, 8.
x
>
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины
5.38. Дана плотность вероятности случайной величины X:
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины
.
.
— 122 —
5.5. Задачи и упражнения
2 22
π
ππ
sinYX=
0a =
2
X
5.39. Дана плотность вероятности случайной величины X:
0, ,
1
fx x x
( )
cos , ,
= − <≤
x
≤−
2
0, .
π
x
>
2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины
.
5.40. Случайная величина X распределена по нормальному за-
кону с параметром
величины
.
. Найти плотность вероятности случайной
— 123 —
6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих закономерностей
связано именно с массовостью явлений, то есть с большим числом
выполняемых однородных опытов или с большим числом складывающихся случайных воздействий, порождающих в своей совокупности
случайную величину, подчиненную вполне определенному закону.
Суть свойства устойчивости массовых случайных его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного
явления почти не сказываются на среднем результате массы таких
явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом
отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются. Именно эта устойчивость средних и представляет собой
физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений
средний их результат практически перестаёт быть случайным и может
быть предсказан с большой степенью определенности.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории
вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой
из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым
определенным постоянным.
Различные формы закона больших чисел вместе с различными
формами центральной предельной теоремы образуют совокупность
так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные
прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность
этих прогнозов.
— 124 —
6.1. Предельные теоремы теории вероятностей
( )
MX
( )
( )
1
MX
PX< >−
α
α
( )
( )
MX
PX≥≤
α
α
X
( )
DX
( )
MX
( )
( )
( )
2
1
DX
PX MX− < >−
ε
ε
( )
DX
X
( )
MX m
( )
2
DX =
σ
3
σ
3=
εσ
− ≥≤ =
1
9
Рассмотрим только некоторые, наиболее простые формы пре-
дельных теорем.
6.1. Предельные теоремы теории вероятностей
Лемма Чебышева. Если случайная величина X принимает
только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание
, то для любого положительного α справедливо неравенство:
. (67)
Отсюда
. (68)
Неравенство Чебышева. Если случайная величина
конечную дисперсию
то для любого положительного ε справедливо неравенство
Отсюда
и математическое ожидание
. (69)
имеет
,
Пример 6.1. Дана случайная величина
ожиданием
вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на
Решение. Полагая в неравенстве Чебышева (70)
т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадрати-
ческих отклонений, не может больше
Примечание. Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероят-
PX MX− ≥≤
( )
= и дисперсией
PX MX
( )
( )
( )
ε
— 125 —
ε
.
σ
3
( )
.
. (70)
2
ε
с математическим
. Оценить сверху
2
1
,
2
9
σ
, имеем:
6. Закон больших чисел
3m ±
σ
1
9
3m ±
σ
3m ±
σ
, ,...,
XX X
( )
( )
1, 2,...,in=
ε
( )
11
11
lim 1
nn
ii
n
ii
P X MX
nn
→∞
= =
− <=
∑∑
ε
( )
2
11
11
1
nn
ii
ii
C
P X MX
nn
n
= =
− < >−
∑∑
ε
ε
12
, ,...,
n
XX X
( )
i
MX a=
−< =
( )
n
n →∞
ε
ность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина X выйдет
за пределы участка
значительно меньше
. Например, для
нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0,003.
На практике чаще всего встречаются случайные величины, значение
которых редко выходят за пределы диапазона
. Если закон
распределения случайной величины неизвестен, а известны только
ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение,
то обычно считают отрезок
участком практически возможных значений случайной величины (так называемое «правило трех
сигм»).
Теорема Чебышева. Если
12
— последователь-
n
ность независимых случайных величин с математическими ожиданиями
MX и дисперсиями
i
DX (
i
) ограниченными
одной и той же постоянной C, то для любого положительного
. ( 71 )
При доказательстве теоремы Чебышева получена оценка
. (72)
Следствие 1. (Теорема Чебышева для одинаково распределен-
ных случайных величин) Если в условии теоремы Чебышева случай-
ные величины
ожидание
lim 1
n
→∞
имеют одно и то же математическое
, то
n
1
P Xa
∑
n
i
1
=
ε
i
, (73)
и оценка
n
1
P Xa
n
− < >−
∑
i
i
=
1
ε
Следствие 2. (Теорема Бернулли). Если в каждом из
1
DX
. (74)
2
n
ε
независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна,
то при
для любого сколь угодно малого положительного
— 126 —
6.2. Задачи и упражнения
lim 1
n
m
Pp
n
→∞
−< =
ε
m
n
2
1
m pq
Pp
n
n
− < >−
ε
ε
( )
4MX=
( )
20=
α
( )
4 14
20 1 1 0,8
20 5 5
PX< =− =−= =
( )
20000 000
MXn=
(
)
100000 0,8PX<=
( )
( )
100000 1
100000
MX
PX< >−
20000 000
, (75)
где
— относительная частота появления события A.
При доказательстве теоремы Бернулли получена оценка
. (76)
6.2. Задачи и упражнения
6.1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу веро-
ятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.
Решение задачи 6.1. Пусть случайная величина X — срок
службы мотора. Из условия задачи следует, что
ется оценить снизу вероятность
рассматривать как левую часть в лемме Чебышева (67)с
Тогда
20PX< . Эту вероятность можно
. Требу-
.
6.2. Сумма всех вкладов в некотором отделении банка составляет 20 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад
не превышает 100 тыс. руб., равна 0,8. Оценить число вкладчиков
данного отделения банка?
Решение задачи 6.2. Пусть X — величина случайно взятого
вклада, a n — число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи сле-
дует, что
пользуя лемму Чебышева (67), получим
или
0,8 1
>−
. Так как
100000n
⋅
— 127 —
, то ис-
.
6. Закон больших чисел
n
( )
18000n
( )
0,9p
( )
18000 0,9 16200M X np== ⋅=
( )
DX
( )
18000 0,9 0,1 1620D X npq
( )
1qp= −
( )
2
1620 1620
16200 200 1 1 1 0,045 0,955
40000
200
PX− < >− =− =− =
0,995
x
p
(
)
2X MX−<
Отсюда
200
0,2; 200 0,2 ; 1000.nn
> >⋅ <
Следовательно, число вкладчиков данного отделения составля-
ет менее 1000 человек.
6.3. Электростанция обслуживает сеть с 18 000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним
вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 200?
Решение задачи 6.3. Пусть X — число включенных ламп. Это
случайная величина распределенная по биномиальному закону, тогда математическое ожидание этой случайной величины равно произведению числа всех независимых испытаний
ятность появления событий в отдельном испытании
. Дисперсия
дующим образом
Искомую вероятность найдем, используя неравенство Чебышева (69)
= = ⋅⋅=
= на веро-
= , т. е.
находится сле-
.
,
т.е. вероятность того, что число включенных зимним вечером ламп
отклониться от своего математического ожидания не более чем
на 200 будет больше
6.4. Распределение случайной величины задано таблицей:
1 2 3 4 5 6
0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1
Чему равна вероятность того, что
вероятность с помощью неравенства Чебышева.
Решение задачи 6.4. Найдем математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины:
.
— 128 —
. Оценить эту
6.2. Задачи и упражнения
( )
1 0, 05 2 0,1 3 0, 25 4 0, 3 5 0,2 6 0,1 3,8MX=⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ =
( ) ( )
2
2 22 2 2 2
1 0, 05 2 0,1 3 0, 25 4 0, 3 5 0, 2 6 0,1 3,8 1,66DX =⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ − =
2
( )
X
( )
50MX=
( )
( )
49,5 50,5X<<
( )
50 0,5PX−<
( )
50MX=
( )
( )
2
0,1
50 0,5 1 0,6
0,5
PX− < >− =
Пользуясь неравенством Чебышева (69), можно получить оценку данной вероятности снизу. Для этого подставим в неравенство
Чебышева найденные значения математического ожидания и дисперсии:
PX− < >−
или
6.5. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1.
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того,
что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см
и не больше 50,5 см.
Решение задачи 6.5. Пусть
тали. Из условия задачи следует, что
Требуется оценить снизу величину
равенства
то необходимо оценить
равенства Чебышева (69), поскольку для рассматриваемой случайной величины
3,8 2 1
( )
3,8 2 0,585PX− <> .
равносильны неравенству 50 0,5X −< ,
. Тогда
1, 66
2
— длина случайно взятой де-
, a
49,5 50,5PX<< . Так как не-
, а это есть левая часть не-
0,1DX = .
6.6. Для определения средней продолжительности горения
электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность
того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей
партии по абсолютной величине меньше чем на 5 ч, если известно,
что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения
ламп в каждом ящике меньше 7 ч.
— 129 —
.
6. Закон больших чисел
i
X
( )
2
7 49DX<=
...
200
XX X+ ++
( ) ( ) ( )
...
200
( ) ( ) ( )
−<
49, 5, 200Ñn= = =
ε
49
200 25
a
i
X
( ) ( )
= <=
( ) ( ) ( )
...
MX MX MX
nn
+ ++
n
12
...
2 0, 95
n
XX X
Pa
n
+ ++
−< >
Решение задачи 6.6. Пусть
— продолжительность го-
рения электролампы, взятой из i-го ящика. По условию задачи
.
Средняя продолжительность горения лампы в выборке равна
1 2 200
,
а средняя продолжительность горения лампы во время парии равна
MX MX MX+ ++
1 2 200
.
Таким образом, требуется оценить вероятность
XX X
+ ++
1 2 200
P
200 200
...
MX MX MX
+ ++
1 2 200
...
.
5
Это выражение представляет собой левую часть неравенства
в оценке (72), полученной при доказательстве теоремы Чебышева.
Положим С
,
1 1 0, 0098 0, 9902
P >− =− =
и получим искомую вероятность
⋅
.
6.7. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное
значение которой равно
, чтобы с вероятностью, не меньшей чем
0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение
этих измерений отличается от a по абсолютной величине меньше
чем на 2, если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений меньше 10?
Решение задачи 6.7. Пусть
Из условия задачи следует, что
— результат i-то измерения.
M X a DX
, 10 100
ii
2
. По-
этому
...
aa a
12
+++
n
= =
a
.
Требуется найти
, при котором
.
Так как
— 130 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]