Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
6.2. Задачи и упражнения
Pa
100, 2Ñ = =
ε
2
1 0, 95
C
n
−>
ε
100 100 100
−> > > =
1
6
p =
m
n
15
320, , , 0,03
66
n pq= = = =
ε
( )
2
15
1
66
0,03 1 0,518
6
320 0,03
m
P
n
⋅
− ≤ ≥− ≈
⋅
...
n
n
ε
− < >−
C
1
,
2
n
ε
где С
XX X
+ ++
12
, то предыдущее неравенство будет выполняться
во всяком случае, если
.
Отсюда
1 0,95; 0,05 ; 500
2
n
2
⋅
n
n
4 4 0,05
⋅⋅
.
Таким образом, для выполнения условий задачи, рассматривае-
мую величину необходимо изменить более 500 раз.
6.8. Оценить вероятность того, что в результате подбрасывания
игральной кости в течение 320 раз относительная частота появления
на верхней грани пяти очков отклонится от вероятности этого события (по абсолютной величине) не более чем на 0,03.
Решение задачи 6.8. Рассматриваемые испытания удовлетворяют схеме Бернулли: 1) испытания независимы, 2) каждое испытание имеет два исхода (на верхней грани появилось 5 очков, на верхней грани не появилось 5 очков), 3) вероятность появления 5 очков
в каждом испытании постоянна и равна
mn
1
оценки события
−≤
0,03
6
, где
. Следовательно, для
— относительная частота
появления 5 очков, можно применить оценку, полученную при доказа-
тельстве теоремы Бернулли (76), где
6.9. Для определения средней урожайности совхозного поля
в 5000 га предлагается взять на выборку по 1 м
площади и точно подсчитать урожайность с этих квадратных метров.
— 131 —
.
2
с каждого гектара
:
6. Закон больших чисел
Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от истинной средней урожайности на всем массиве
не более чем на 0,2 ц, если предположить, что среднее квадратическое отклонение урожайности на каждом гектаре не превышает 5 ц.
6.10. За значение некоторой величины принимают среднее
арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность
того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение
принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,1 см.
6.11. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых
случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической
случайных величин от средней арифметической их математических
ожиданий не более чем на 0,25 превысит 0,99.
6.12. Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с вероятностью, не меньшей чем
0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной
величине меньше чем на 0,01, если дисперсия отдельного результата
измерения не превосходит 1?
6.13. Для установления среднего размера детали в партии, размещенной в 100 ящиках с одинаковым количеством деталей в каждом, взяли по одной детали из каждого ящика. Вычислить верхний
предел отклонения среднего размера детали в отобранной совокупности от среднего ее размера во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, не меньшей чем 0,8, а дисперсия размера по каждому ящику не превышает 6.
6.14. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных
— 132 —
6.2. Задачи и упражнения
X
величин от средней арифметической их математических ожиданий,
чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,997?
6.15. Средняя величина вклада в некотором отделении банка
составляет 50 000 руб. Оценить вероятность того, что наудачу выбранный вклад не превысит 2 000 000 руб.
6.16. Средняя температура в квартире, подключенной к теплоцентрали, в период отопительного сезона составляет 20°С, а среднее
квадратическое отклонение равно 2°С. Оцените вероятность того,
что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной
величине не более чем на 5°С.
6.17. Игральный кубик подбрасывается 180 раз. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 5 очков появится от 24 до 36 раз.
6.18. Вероятность получения с конвейера изделия высшего
качества равна 0,8. Проверяется 800 изделий. Случайная величина
— число изделий высшего качества. Указать промежуток, в котором значения этой случайной величины можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,5.
6.19. Длина изготовляемых изделий представляет случайную
величину, среднее значение которой (математическое ожидание)
равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение
длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4; б) длина изделия выразится числом,
заключенным между 89,7 и 90,3 см.
6.20. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов
и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время t
окажется меньше двух.
— 133 —
6. Закон больших чисел
X
p
( )
−<
6.21. Дискретная случайная величина X задана законом рас-
пределения
0,3 0,6
0,2 0,8
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
что
0, 2X MX
.
— 134 —
ЛИТЕРАТУРА
1. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов. — 2-е изд., доп. — М.: Высш. шк., 1994. — 112 с.: ил.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. —
576 с. с илл.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учебное пособие для студ. Втузов. — 5-е изд.,
испр. — М.: Издат. центр «Академия», 2003. — 448 с.
4. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для техникумов. — М.: Высш. шк.,
1991. — 157 с. с илл.
5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука, 1966. — 432 с. с илл.
6. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. — 2-е изд.,
испр. и доп. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 320 с.
— 135 —
ОТВЕТЫ
2
4 16=
{(0, 0);(0,3); (0,5); (0, 6); (3, 0); (3,3); (3, 5); (3,6);
Ω=
{(0, 0);(0, 3);(0, 5); (3, 0); (5, 0)}A =
{(0, 0);(0, 6);(3, 3); (3, 5); (5, 3);(5, 5);(6, 0);(6, 6)}B =
ω
R
ω
1ii
RR
−
−
( )
ω
ω
1
{(0, 5)}=
ω
{(1, 4)}=
ω
{(2, 3)}=
ω
{(3, 2)}=
ω
{(4, 1)}=
ω
{(5, 0)}=
ω
1
{(0, )}ii
+
=
ω
0..6i =
{(1, )}jj
=
ω
1..6j =
{(2, )}kk
=
ω
2..6k =
1 17
{(3, )}mm
−+
=
ω
3..6m =
{(4, )}nn
=
ω
4..6n =
26
{(5, 5)}=
ω
27
{(5, 6)}=
ω
28
{(6, 6)}=
ω
{( , )}kij=
ω
, 0..9ij=
1..100k =
1
{3; 9}=
ω
{9; 3}=
ω
{4; 8}=
ω
{8; 4}=
ω
{5;7}=
ω
{7; 5}=
ω
{6; 6}=
ω
{( , )}kij=
ω
, 1..6ij=
1..36k =
1
{1; 2}=
ω
2
{2 ; 1}=
ω
3
{1; 3}=
ω
4
{3; 1}=
ω
5
{1; 4}=
ω
6
{4 ; 1}=
ω
7
{1; 5}=
ω
8
{5; 1}=
ω
9
{1; 6}=
ω
{6; 1}=
ω
{2; 2}=
ω
{2; 3}=
ω
{3; 2}=
ω
1. Случайные события и отношения между ними
1.3. а) промах 0 очков,
элементарных событий {(i, j)},
(5,0); (5, 3); (5,5); (5, 6); (6, 0); (6,3); (6,5); (6, 6)};
б)
в)
;
;
г) совместны.
1.4. а)
б)
в)
5
= {попадание в круг
1
}
2..10i = ;
= {победила 1-я команда};
1
,
,
2
6
, где (i, j) – количество партий, выигран-
},
= {попадание в кольцо
1
i
= {победила 2-я команда};
2
,
3
,
4
ных первой и второй командой соответственно;
г)
;
;
,
;
7
+
,
;
,
;
2 21
−+
;
12
+
,
, где (i, j) – количество очков на кости домино, всего в наборе домино 28 костей от «пусто-пусто» до «шесть-шесть».
3
1.5. a)
,
4
,
,
5
,
,
6
;
,
7
,
2
⇒ 7 эле-
ментарных событий;
б)
,
,
,
,
,
10
,
,
11
;
,
,
12
,
,
,
13
,
,
;
,
,
,
,
— 136 —
Ответы
{2; 4}=
ω
{4; 2}=
ω
{2; 5}=
ω
{5; 2}=
ω
{3; 3}=
ω
{3; 4}=
ω
{4; 3}=
ω
{ }
,,
XYZ=
ω
,,XYZ∈
4 3 12⋅=
4 3 12⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
2,1 2, 2 2,3 2, 4 2, 4 2, 6
... ... ... ... ... ...
6,1 6, 2 6,3 6, 4 6, 5 6, 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{}k
2..12k =
,AB
,AA
,ABAB AB= ⊂⇒⊆
AB=
,AB
AC
ABC=
r
в)
,
15
,
20
k
14
19
,
⇒ 20 элементарных событий;
,
3 сдали ⇒ {отл., уд., уд.}, {отл., хор., хор.}, {отл., уд., хор.}, {отл.,
хор., уд.} ⇒
, 2 сдали ⇒ {отл., неуд., уд.}, {отл., уд., неуд.},
{отл., неуд., хор.}, {отл., хор., неуд.} ⇒
ных событий.
1.6. а), г).
1.7. а)
б)
в)
1,1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2,6
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
.
1.8. а) случайное; б) достоверное; в) достоверное; г) случайное;
д) невозможное.
1.9. а)
; б)
1.11. а) несовместные; б) совместные (например, 6, 12 и т.д.);
в) несовместные; г) совместные; д) несовместные.
1.13.
{деталь первого или второго сорта};
AC= {деталь не первого или не второго сорта} = {деталь
второго сорта};
{невозможное событие}, т.к. деталь не может оказаться
одновременно первого и третьего сорта;
{деталь первого и не третьего сорта} = {деталь пер-
=
вого сорта};
{деталь первого и второго сорта или третьего
сорта} = {деталь третьего сорта}.
1.14. В = {попадание в круг радиуса
; в)
16
,
17
,
18
{неуд, уд., хор., отл.}, k = 1..43;
⇒ 24 элементар-
;
;
... ... ...
5,5 5, 6
( ) ( )
6,6
( )
; г) не являются
};
6
— 137 —
,
Ответы
r
12
r rr<<
7 10
r rr<<
rr>
\\A B C ABC
( ) ( ) ( )
\\ \AC BC A B C
ABC⊕⊕
ABC
ABC
( ) ( ) ( )
AB AC BC
ABC
( ) ( ) ( ) ( )
AB AC BC ABC
( ) ( )
ABC ABC
( )
AB C ABC
()()()()()
()()
=Ω=Ω
() ()AB AB A AB B=⊕=⊕
\( )AB A B B= ⊕
( )( )AB A B AB=⊕⊕
()AB A BA A=⊕⊕
\( )AB A B A= ⊕
(\)A B A BA= ⊕
(\)A B A AB= ⊕, \ ( )\AB A B B= ⊕
1P =
0,7P =
0P =
35 / 2000P =
5
5
10
/PAn
Ω
=
5
5/Pn
Ω
=
8 / 30P =
25 3 365 25 366 36525nΩ= ⋅⋅ + ⋅ =
13 / 36525P =
(6 11 5) / 365P = ⋅+
11/ 365P =
24 / 90 4 /15P = =
С = {попадание в круг радиуса
D = {попадание в кольцо
Е = {попадание в кольцо
F = {попадание в кольцо
1.15. а)
=
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
()
⊕⊕
1.16.
A AB AB AA AB AB
AB AB
Ω
\
1.18. а)
б)
;
в)
,
2. Вероятность. Вероятностное пространство
};
5
};
};
}.
3
=
\
= =
Ω
.
,
,
;
,
.
2.2. а)
2.5.
2.6.
2.8.
; б)
10nΩ= ; а)
.
; в)
.
2.9. годы образуют 25 групп по 4: 3 обычных года и 1 високосный, тогда
щие события (даты): 1.1.11, 1.11.11, 11.1.11, 11.11.11, 2.2.22, 22.2.22,
3.3.33, 4.4.44, 5.5.55, 6.6.66, 7.7.77, 8.8.88, 9.9.99 ⇒ 13 событий;
.
2.10. а)
2.11.
; б)
.
— 138 —
; б)
.
.
дней; благоприятствую-
.
Ответы
22
25 200
/PC C=
20 5 25
25 175 200
/PC C C= ⋅
3
4
2/PC=
3 / 28.P =
18 / (18 6)P = +
3/8P =
3/8P =
1/8P =
( ) ( 1) / 36, 2..7Pn i i i==−=
( ) (13 ) / 36, 8..12Pn k k k==−=
0,35P =
0, 4P =
0, 45P =
0,75P =
3
33
5 10 15
1
/
ii
i
P CC C
−
=
= ⋅
∑
22 2
(10 5 5 10) /15
(21 70) /100P = +
4
nC
22 22 22 22
50 20 20 10 50 10 20
( ) (50 20 20 10 2 2 ( ) ) /PA CC CC CC C n
Ω
=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
0, 4 0,3 0,7P =+=
3 / 28P =
13 /140P =
3
33
4 32 36
1
/
ii
i
P CC C
−
=
= ⋅
∑
23
4 36
P CC
3 33
9 4 36
P C CC
23 3
12 12 15
P CC C
(15 10 5) / 30P = +−
2
(6 6 1) / 6P = +−
1/3P =
ÝÊ Ý
1/2P =
22
/Pr R=
( )/P ar a= −
22
Pa ra
1/6P =
/
ØÝ
PV V= =
12
0 ll l≤+ ≤
12
, /2ll l<
12
/2ll l+> ⇒
1/4P =
2.12.
2.13.
;
.
.
2.14.
2.15.
2.16.
,
.
,
.
2.17.
.
2.18. а)
2.19.
2.21.
P = + +⋅ .
2.22.
2.23.
Ω
; б)
; в)
; г)
.
.
.
= , A = {1Б, 1К, 1З, 1С} + {2Б, 2К} +
100
{2Б, 2З} + {2Б, 2С} + {2К, 2З} + {2К, 2С} + {2З, 2С}, ⇒
.
2.24.
2.25. а)
2.26. а)
; б)
.
.
; б)
(1 4 31 1 ) /
= ⋅ ⋅ +⋅
в) в одной масти 9 карт разного достоинства, мастей 4, т.о.
(4 9 ) /
= ⋅ +⋅ .
2.27.
2.28.
2.29. а)
(3 ) /
=⋅+ .
.
;
б) 2(10 7) / 6P = + ;
в) 2(36 36 3)/6P = ⋅+⋅− .
2.30.
2.31. 2( ) / (5 4 3 ) / (5 4) 11 / 20
PSS S= − = ⋅− ⋅ = .
2.32.
2.33.
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
2.38.
.
.
.
.
( 2 )/
= −⋅ .
.
9/20.
,
,
.
,
— 139 —
Ответы
Sd
φφ πρ φ φ
φ
φ
( / 6, / 3) / (2 (0, / 3) 0,366PS S= ⋅≈
ππ π
3
4
C
34
14
3 4 /4PC=⋅⋅
0,9 0,85 0,765P =⋅=
54 5
9 8 18
P =⋅=
( )( )( )
1 1 0,6 1 0,7 1 0,75 0, 97P =−− − − =
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
0,6 1 0,7 1 0,75 1 0, 6 0,7 1 0,75 1 0, 6 1 0, 7 0, 75 0,205
= − − +− − +− − =
( ) ( ) ( )
0,6 0,7 1 0,75 0, 6 1 0, 7 0,75 1 0,6 0,7 0,75 0, 45
= ⋅ ⋅− + ⋅− ⋅ +− ⋅ ⋅ =
10000
=−≈
10000
543 5
8 7 6 28
P =⋅⋅ =
2
6
22
26 26
20 6 20 5 1 1 3
24 24 26 13 26
C
P
CC
⋅
= ⋅+ ⋅= +=
22
6 20
22 22
26 26
6 20 1 5 6 20 1 6 3 1 10 6 3
11
2 25 2 25 13 5 13 25 13
26 26
CC
P
CC CC
⋅⋅
= ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
5 24 1 25 5
6 29 6 29 6
P =⋅ +⋅ =
0,9 0,95 0,85 0,7268P =⋅⋅=
( )
( )( )( )( )
=−−−−=
φ
2
2.39.
( , ) 2 sin( )
12
=⋅⋅ ⋅
сти шара, заключенной между полярными углами
2
∫
φ
1
— площадь поверхно-
.
2.40. 4 способа выбора лунки с 3-мя шариками, 3 способа выбо-
ра лунки с 2 шариком,
;
2
способов выбора 3-х шариков из 4-х, т.о.
4
4!/ 4P = .
3. Зависимые и независимые события
3.1.
1
и
, т.о.
2
3.2.
3.3. а)
б)
P
в)
P
×
3.4. а)
1 0,0669
P
3.5.
5
;
C
2
10000 24 10
−−
2
C
; б)
;
24 10
⋅
= ≈
2
C
×
0,00048P
3.6.
2
3.7.
CC
C
P
= ⋅+ ⋅ ≈
3.8.
3.9.
3.10.
6 20 1
20
22
26 26
⋅
1 0,769
2
1 0,9 0,95 0,85 0,0808P =−⋅⋅ =
1 0, 02 1 0,01 1 0, 02 1 0, 03 0,9223P
;
;
— 140 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]