Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
5.5. Задачи и упражнения
( ) ( )
== −=
( ) ( )
31
11
3
1 0, 2 1 0, 2 0, 384PX C
−
== −=
== −=
( ) ( )
== −=
X
p
4
1
0,512 0,384 0,096 0,008 1
i
ip=
=+++=
∑
X
X
Y
p
p
Z XY= +
1
4z =
2
5z =
3
6z =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 1 4 2 3 0, 4 0, 2 0,6 0,8 0,56PZ P X PY PX PY== = =+ = ==⋅+⋅=
( ) ( ) ( )
триваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. По формуле
Бернулли (38) находим вероятности
30
00
0 0, 2 1 0, 2 0,512PX C
3
22
2 0, 2 1 0, 2 0,096PX C
( ) ( )
3 0,2 1 0,2 0,008PX C
3
33
3
−
32
−
33
−
Таким образом, получаем следующую таблицу распределения
вероятностей случайной величины X:
0 1 2 3
0,512 0,384 0,096 0,008
Проверка:
5.2. Независимые случайные величины
и Y заданы табли-
.
цами распределения вероятностей:
1 2
0,4 0,6
3 4
0,8 0,2
Составить таблицу распределения вероятностей случайной ве-
личины
.
Решение задачи 5.2. Возможные значения случайной величи-
ны Z равны
(1+3),
(1+4 и 2+3),
(2+4). Вероят-
ности, с которыми случайная величина принимает эти значения:
4 1 3 0,4 0,8 0,32P Z P X PY== = ==⋅=
6 2 4 0, 6 0,2 0,12PZ P X PY== = ==⋅=
Таким образом, получаем следующую таблицу распределения
вероятностей случайной величины Z:
— 111 —
5. Случайные величины
Z
p
4
=++=
X
X
p
(
)
2 0,1 5 0, 4 8 0,3 9 0, 2 6, 4MX= ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ =
( )
2
MX
( )
( )
2
( )
4,84 2,2X = =
σ
100n =
0,05p =
( )
==⋅=
( )
100 0, 05 0,95 4,75D X npq==⋅⋅=
4 5 6
0,32 0,56 0,12
Проверка:
∑
5.3. Случайная величина
0,32 0,56 0,12 1
p
i
i
1
=
.
задана таблицей распределения
вероятностей:
2 5 8 9
0,1 0,4 0,3 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение задачи 5.3. Найдем математическое ожидание
по формуле (53):
.
Для вычисления дисперсии найдем сначала математическое
ожидание
:
22 2 2 2
2 0,1 5 0,4 8 0,3 9 0, 2 45,8MX = ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ = .
Теперь определим дисперсию по формуле (56):
45,8 6, 4 4, 84DX=−=.
Тогда среднее квадратическое отклонение:
.
5.4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено
100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.
Решение задачи 5.4. Пусть X — число лотерейных билетов,
на которые выпали выигрыши. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами
и
, так
как испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме
Бернулли. Тогда:
100 0, 05 5M X np
,
.
— 112 —
5.5. Задачи и упражнения
1
X
X
X
123
ZX X X=++
( ) ( ) ( ) ( )
123
MZ MX MX MX=++
12 3
,,XX X
1
X
X
X
p
p
p
12 3
,,XX X
( )
0 0, 3 1 0, 7 0,7MX
( )
2
0 0, 2 1 0,8 0,8MX = ⋅ +⋅ =
( )
( )
0,7 0,8 0,9 2, 4MZ=++=
X
p
0=
µ
5.5. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго — 0,8 и третьего — 0,9. Найти математическое ожидание числа
попаданий в цель.
Решение задачи 5.5. Пусть случайная величина
ло попаданий в цель для первого стрелка,
в цель для второго стрелка,
— число попаданий в цель для треть-
3
его стрелка. Тогда случайная величина
— число попаданий
2
— чис-
— число
попаданий в цель трех стрелков. В соответствии со свойством 3 математического ожидания имеем:
.
Составим таблицы распределения вероятностей случайных ве-
личин
0 1
0,3 0,7
:
2
0 1
0,2 0,8
3
0 1
0,1 0,9
Здесь единица соответствует тому, что стрелок попал в цель,
ноль — не попал. Математические ожидания для случайных величин
находится по формуле (53):
= ⋅ +⋅ = ,
1
,
0 0,1 1 0,9 0,9MX = ⋅ +⋅ = .
3
Тогда искомое математическое ожидание равно
.
5.6. Дискретная случайная величина X задана законом распре-
деления:
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Решение задачи 5.6. Центральный момент первого порядка равен нулю:
1 2 4
0,1 0,3 0,6
.
1
— 113 —
5. Случайные величины
( )
1
1 0,1 2 0,3 4 0, 6 3,1MX= =⋅ +⋅ +⋅ =
ν
( )
( )
( )
2
24
158,5 4 40,9 3,1 6 10,9 3,1 3 3,1 2, 778
X
( )
( ) ( )
( )
0
0
0
2 2 2 2 01 2 1
x
xx
Ce dx Ce dx C e C e e C C
∞∞
∞
−
− − −∞
−∞
= = − =− − =− −= =
∫∫
1
2
0
0
Для вычисления центральных моментов второго, третьего
и четвертого порядка удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные (62)–(64), поэтому
предварительно найдем начальные моменты до четвертого порядка
включительно:
;
22 2 2
2
3
4
1 0,1 2 0, 3 4 0,6 10, 9MX= =⋅ +⋅ +⋅ =ν;
33 3 3
1 0,1 2 0,3 4 0, 6 40, 9MX= =⋅ +⋅ +⋅ =ν;
44 4 3
1 0,1 2 0, 3 4 0, 6 158, 5MX= =⋅ +⋅ +⋅ =ν.
Теперь найдем центральные моменты:
10,9 3,1 1,29= −=µ;
40,9 3 3,1 10,9 2 3,1 0,888= −⋅ ⋅ +⋅ =−µ;
3
= −⋅ ⋅ +⋅ ⋅ −⋅ =
µ
4
2
3
.
5.7. Непрерывная случайная величина
распределения с плотностью вероятности:
f x Ce−=
x
Найти коэффициент C, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс
случайной величины X.
Решение задачи 5.7. Для
определения коэффициента C
воспользуемся свойством 2 плотности распределения. Учитывая,
что в данном случае функция
плотности является четной, получим:
откуда
C = .
— 114 —
подчинена закону
f(x)
f(x)
A
A
x
x
,
5.5. Задачи и упражнения
2 22
00
xx
∞ ∞∞
−−
∫ ∫∫
( )
( )
22
0
0
22
x x xx
xe dx xe xe e
∞
∞
− − −−
=− +− − =
∫
0A =
( )
44
4
0
43 2
0
11
2
22
4 12 24 24 24.
x
x
x x x xx
x e dx x e dx
xe xe xe xe e
∞∞
−
−
−∞
∞
− − − −−
= = =
=−− − − − =
∫∫
µ
( )
4
24
363 3
2
E = −=−=
X
0, 0,
x
≤
( )
fx
( )
Математическое ожидание данной случайной величины, учи-
тывая что функция
xxe−
является нечетной, равно нулю:
∞
1
−
x
M X xe dx
= =∫.
( )
2
−∞
0
Дисперсию и среднее квадратическое отклонение найдем
по формулам (58) и (59):
11
x
−
D X x e dx x e dx x e dx
= = =
( )
22
−∞
2
Для вычисления последнего интеграла применим формулу вы-
числения интеграла по частям и получим:
, 2X=σ.
Поскольку распределение симметрично, то его асимметрия
равна нулю:
.
Для вычисления эксцесса предварительно найдем центральный
момент четвертого порядка по формуле (61):
Тогда по формуле (66):
,
5.8. Дана функция распределения непрерывной случайной ве-
личины
:
1
3
, 0 2,
= <≤
Fx x x
( )
8
1, 2.
Найти плотность вероятности
функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение в интервале
— 115 —
.
>
x
, построить график этой
0,5; 1,5 .
5. Случайные величины
( ) ( )
fx Fx
′
0, 0,
x
≤
( )
( )
( )
1,5
1,5
3
2 33
0,5
0,5
31
0,5 1,5 1,5 0,5 0,4063
8 88
x
P X x dx<< = = = − ≈
∫
X
( )
0, 0,
2 , 0 1,
0, 1.
x
fx x x
x
≤
= <≤
>
2
YX=
( )
( )
1
11
4
22 3
00
0
1
22 2
42
x
M Y M X x xdx x dx= =⋅= = =
∫∫
( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
11
6
2
2
22 5
00
0
1 11
2 22
2 6 4 12
x
D Y D X x xdx M Y x dx
= = − = − = −=
∫∫
1
2
6
0
1 11
2 6 4 12
x
F(x)
x
F(x)
x
Решение задачи 5.8. Так как
= , то
3
2
= <≤
fx x x
( )
, 0 2,
8
0, 2.
x
>
График этой функции изображен на рисунке справа. Для
того чтобы найти вероятность
попадания случайной величины
0
0
1
1
2
в интервал
0,5; 1,5 , воспользу-
2
емся формулой (52):
5.9. Случайная величина
задана плотностью вероятности:
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
.
Решение задачи 5.9. Найдем математическое ожидание
по формуле (54):
.
Найдем дисперсию по формуле (58):
— 116 —
.
.
5.5. Задачи и упражнения
( )
ft
et
( ) ( )
0
0
00
11
.
t tt t
M t tf t dt t e dt te e dt e
∞
∞∞ ∞
∞
− −− −
−∞
= = =−+ =− =
∫∫ ∫
ν νν ν
ν
νν
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 22
2
0
00
2 2 22
00
0
11
2
2 2 1 2 11
.
t vt
tt t
D t t f t dt M t t e dt t e te dt
te e dt e
v
∞∞ ∞
∞
− −−
−∞
∞∞
∞
−− −
= − = − =− + −=
=− + −=− −=
∫∫ ∫
∫
νν
νν ν
ν
ν
ν
νν
νν ν
5.10. В силу разнообразных причин телевизоры, поступающие
в мастерскую для ремонта имеют, как правило, всевозможные неисправности. Поэтому время (время обслуживания), необходимое для
устранения неисправностей, есть случайная величина T. Найти математическое ожидание и дисперсию времени обслуживания телевизоров, если функция распределения вероятностей такова:
0, 0,
Ft
= >
( ) ( )
1, 0
et
−>
t
≤
ν
t
−
ν
0
(показательный закон распределения времени обслуживания).
Решение задачи 5.10. Найдем плотность вероятности
′
= =
ft Ft
( ) ( )
0, 0,
−
ν
ν
t
≤
t
, 0.
>
:
Тогда математическое ожидание, т.е. среднее время обслуживания:
Найдем дисперсию:
5.11. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа очков, выпавших на верхней грани игрального кубика
при одном подбрасывании.
5.12. По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полет 3 самолета. Каждый самолет с вероятностью 0,7
может произвести посадку по расписанию. Для случайного числа
самолетов, отклонившихся от расписания, составьте таблицу распределения вероятностей.
5.13. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекают 3 работы. Составьте таблицу распределения числа работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке.
— 117 —
5. Случайные величины
( )
4PX<
( )
3PX<
X
p
2
,3YXZ X
Z XY=
X
Y
p
16131102
5
p
132
3
5.14. Набрасываются кольца на колышек либо до первого
попадания, либо до полного израсходования всех колец, число
которых равно пяти. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа брошенных колец, если вероятность
набрасывания кольца на колышек при каждом испытании постоянна и равна 0,9. Используя полученную таблицу, найдите
.
5.15. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведет огонь по мишени до первого
попадания или до полного израсходования всех патронов. Составьте
таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов.
5.16. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Наудачу берут 3 билета. Составьте таблицу распределения
вероятностей числа билетов первого ряда, оказавшихся в выборке.
Используя полученную таблицу, найдите
.
5.17. Дискретная случайная величина X имеет таблицу рас-
пределения вероятностей:
-3 3 4
0,3 0,5 0,2
Составьте таблицу распределения вероятностей случайных ве-
личин
= = .
5.18. Составьте таблицу распределения вероятностей для случайной величины
, если X и Y — независимые случайные
величины, заданные таблицами распределения:
1 2
3 4
— 118 —
0 1
5.5. Задачи и упражнения
Z XY= +
X
Y
p
p
Z XY= +
2
Z XY=
X
Y
p
1
2
613
p
5110310
5
X
p
t
p
1151151152154
1515110115130
( )
Mt
5.19. Составьте таблицу распределения вероятностей для слу-
чайной величины
, если X и Y — независимые случай-
ные величины, заданные таблицами распределения:
5 6
0,6 0,4
0 1
0,2 0,8
5.20. Составьте таблицу распределения вероятностей для слу-
чайной величины
1
и
, если X и Y — независи-
мые случайные величины, заданные таблицами распределения:
0 5 10
1
0 2 4 6
1
5.21. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей:
2 3 6 7 8 10
0,1 0,2 0,2 0,15 0,1
5.22. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения
вероятностей:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Найти математическое ожидание
пературы.
среднесуточной тем-
— 119 —
5. Случайные величины
X
Y
p
p
( )
MX Y+
( )
DX Y+
5.23. Независимые случайные величины X и Y заданы следу-
ющими таблицами распределения:
-2 -1 0 1 3
0,1 0,2 0,25 0,35 0,1
Найти
и
.
-3 0 1 2
0,1 0,2 0,4 0,3
5.24. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу
выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.
5.25. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна
0,2. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 5 попаданий в цель?
5.26. Производится стрельба по цели до первого попадания.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25. Найдите
математическое ожидание и дисперсию случайного числа произведенных выстрелов.
5.27. Испытывается устройство, состоящее из пяти независимо
работающих приборов. Вероятности отказа приборов соответственно равны 0,05; 0,06; 0,08; 0,09; 0,1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа отказавших приборов.
5.28. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа
бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей,
а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.
5.29. Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15,
наудачу извлекаются 3 жетона. Составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны
пяти. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.
5.30. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что
в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для
— 120 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]