Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
1.2. Отношения между событиями
На множестве элементарных событий может быть построено
множество F событий как множество всех подмножеств W, если результатом любой теоретико-множественной операции над элементами из F будет являться множество, принадлежащее F. Таким образом, операции объединения, пересечения, дополнения, разности,
симметрической разности событий также являются событиями, принадлежащими множеству F, и образуют так называемое поле собы-
тий или алгебру событий.
Число элементов в F равно 2n, включая W и ∅, это связано с двоичным (бинарным) характером как самих событий (произошло — 1, не произошло — 0), так и теоретико-множественных
операций с ними. В самом деле, можно представить произвольное
событие, определенное на W в виде двоичного кода n-ой разрядности. Включая и выключая единицы в соответствующих позициях
элементарных событий, можно получить все возможные события
на заданном W. Соответствующий пример разобран ниже в разделе
упражнений.
В зависимости комплекса условий опыта и определения его исхода любое разбиение пространства элементарных событий на множество попарно несовместных событий может рассматриваться как
новое пространство элементарных событий.
Например, при однократном бросании игральной кости, рассматривая как исход опыта количество выпавших очков, пространство элементарных событий будет представлять собой множество
{ω1; ω2; ω3; ω4; ω5; ω6}, где ωk – событие, означающее выпадение
k очков. Это пространство можно разделить на два несовместных события {ω
чет
; ω
} – выпадение четного и нечетного количества оч-
нечет
ков. Полученное множество, состоящее из двух подмножеств в свою
очередь также можно рассматривать как пространство элементарных событий в опыте по изучению четности выпавших очков т.к.
его элементы описывают все возможные исходы опыта и являются
несовместными.
При решении задач необходимо понимать, что элементар-
ность события не означает его простоту, а указывает на его качества, описанные выше.
— 11 —
1. Случайные события и отношения между ними
1.3. Задачи и упражнения
1.1. Ребенок играет тремя карточками из детской азбуки с буквами «М», «Д» и «О», раскладывая их в ряд. Рассматривая в качестве
исхода опыта комбинацию из этих букв построить пространство элементарных событий.
Решение задачи 1.1
В качестве элементарного события выступает комбинация расстановки трех букв. Пространство элементарных событий для заданного опыта будет состоять из всех возможных комбинаций трех букв.
Такие комбинации легко получить, зафиксировав на первой позиции
букву «М» и меняя местами две другие: {МДО}, {МОД}.
Затем на первую позицию размещается «Д», с оставшимися
буквами операция повторяется и т.д.: W = {МДО, МОД, ДМО, ДОМ,
ОМД, ОДМ}.
1.2. Монета подбрасывается последовательно три раза. Рассматривая в качестве исхода опыта последовательность (X1, X2, Х3), где
каждый из Хi, обозначает выпадение «герба» (Г) или «решки» (Р):
а) построить пространство W элементарных событий;
б) описать событие А = {выпало не менее двух «гербов»};
в) является ли событие {выпал один «герб»} противополож-
ным событию A.
Решение задачи 1.2
Все множество элементарных событий модно построить
по принципу, описанному в задаче №1. Отличие будет состоять лишь
в том, что каждая из трех позиций в последовательности стала двузначной (Г или Р).
а) W = {(Г, Г, Г), (Г, Г, Р), (Г, Р, Г), (Г, Р, Р), (Р, Р, Р), (Р, Г, Р),
(Р, Р, Г), (Р, Г, Г)};
б) Событие А произойдет, если произойдет одно из элементарных событий, содержащих в последовательности результатов подбрасывания монеты два «герба» (Г). Таких последовательностей четыре: A = {(Г, Г, Г), (Г, Г, Р), (Г, Р, Г), (Р, Г, Г)}.
в) Нет. Противоположное еще включает событие {(Р, Р, Р)}.
— 12 —
1.3. Задачи и упражнения
1.3. Мишень представляет собой круг, поделенный на три различных по размеру сектора, каждому из которых присвоено 3, 6,
5 очков. Опыт заключается в метании двух дротиков в мишень, а исходом опыта последовательность результатов попадания дротиками.
Учитывая возможность промаха:
а) построить пространство W элементарных событий;
б) описать событие A = {набрано не более 5 очков};
в) описать событие B = {набрано четное количество очков};
г) как соотносятся между собой события A и B.
1.4. Укажите пространства элементарных событий для следующих опытов:
а) один выстрел по мишени, состоящей из 10 концентрических
кругов, помеченных номерами от 1 до 10;
б) матч между двумя футбольными командами;
в) матч между двумя волейбольными командами, состоящий
из пяти партий (сетов);
г) наудачу извлекается одна кость из полного набора игры домино.
1.5. Опишите элементарное событие для указанного опыта и укажите сколько элементарных событий содержит заданное событие:
а) вычисление суммы двух однозначных чисел, сумма двух од-
нозначных чисел равна двенадцати;
б) бросание двух игральных костей (кубиков), число выпавших
очков на верхних гранях в сумме не менее 3 и не более 7;
в) три студента сдают экзамен, не менее двух студентов сдали экзамен, причем один из них на «отлично» («неудовлетворительно» — не сдал, «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично» —
сдал).
1.6. На десяти карточках записаны числа от 1 до 10. Наудачу
из стопки карточек выбирается одна. В каких из следующих множеств указаны все возможные исходы опыта:
а) {четное; нечетное};
б) {простое; 4; 6; 8; 9; 10};
в) {четное; 1; 3; 5};
г) {не более 3; не менее 4}?
— 13 —
1. Случайные события и отношения между ними
AA
AA
AB
{ }
123
,,
ωωω
{ }, 1..8
AAk= =
62317138 4
;;;
A AAAAAAAAA
A
7 1 3 13
{, }AAA= =
ωω
1.7. Для опыта по двукратному бросанию игральной кости, укажите все возможные исходы опыта, если элементарными событиями
являются:
а) упорядоченные пары чисел m и n;
б) не упорядоченные пары чисел m и n;
в) суммы m+n.
Переменные m и n выражают число очков, выпавших в опыте
на первом и втором кубике соответственно.
1.8. Укажите, какие из следующих событий являются: случайными, достоверными, невозможными:
а) выигрыш по одному билету лотереи;
б) извлечение из урны цветного шара, если в урне 5 синих
и 3 красных шара;
в) выпадение на более шести очков при броске игральной кости;
г) извлечение «дубля» из полной игры домино;
д) получение студентом 25 баллов за ответ на билет, состоящий
из четырех задач, решение каждой из задач оценивается в пять баллов.
1.9. Ответьте на следующие вопросы:
а) Чему равны сумма и произведение событий А и В, если В является частным случаем события А?
б) Чему равны
и
?
в) В каком случае события A и A⋅B равны?
г) Являются ли события A и
совместными?
1.10. Составьте поле событий для следующего пространства
элементарных событий:
Ω=
.
Решение задачи 1.10.
Следует учитывать, что поле событий включает невозможное
и достоверное событие. Поле событий
{};{}; {}
1122334123512
AA AA AAAA
;;\(как пример).
k
Попробуйте составить другие бинарные операции, укажите
их результат, дайте пояснения. Например,
— 14 —
:
—
1.3. Задачи и упражнения
{ }, 1..8
F Fk= =
{ }
0,0, 0
{ }
2
0,0,1F =
{ }
3
0,1, 0F =
{ }
4
1,0,0F =
{ }
5
0,1,1F =
{ }
6
1, 0, 1F =
{ }
7
1,1, 0F =
{ }
1,1, 1
ABABABA BA BA B A B
A (B
AB⋅
AB
произойдет, если в опыте произойдет первое или третье элементарное событие. Обратите внимание, что из элементарных событий
в опыте реализуется только одно.
Рассмотрим пример построения поля событий как двоичного
кода:
F = = ∅ — невозможное событие;
1
,
k
,
, где
— элементарные собы-
тия;
,
,
— произвольные собы-
тия;
F = = Ω — достоверное событие.
8
1.11. Какие из следующих пар событий являются несовместны-
ми или совместными:
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включи-
тельно: делится на 10; делиться на 11;
б) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включи-
тельно: является: четным; кратным 3;
в) попадание; промах при одном выстреле;
г) выигрыш по одному из двух билетов лотереи; проигрыш
по крайней мере по одному из двух билетов лотереи;
д) отказ только одного из двух устройств; отказ двух устройств,
предполагая, что оба устройства функционируют независимо.
1.12. Пусть на плоскости начерчены два круга А и B. Опыт со-
стоит в бросании наудачу точки на плоскость. Событие А и В происходят, если точка попадает соответственно в круг A или в круг B.
Укажите, в чем состоит смысл следующих событий:
,,,, , ,
⋅⋅ .
Решение задачи 1.12.
) – событие A (B) не произошло, точка не попала в круг
A (B);
– не произошло событие A и В одновременно в опыте,
точка не попала в область пересечения двух кругов;
– произошло, по крайней мере, одно из событий A или B,
точка попала в область ограниченную кругами;
— 15 —
1. Случайные события и отношения между ними
AB
ABAB
AB
AC
AC
AC
ABC
6
1ii
BA
=
=
10
5ii
CA
=
=
12
DA A=
10 7
\EA A=
3
FA=
– событие обратное предыдущему, точка не попала в область ограниченную кругами, т.е. попала во внешнюю по отношению к кругам область плоскости;
– событие объединяет два предыдущих, таким
образом, оно определяет попадание точки, как во внутреннюю, так
и во внешнюю по отношению к кругам область плоскости, т.е. всю
плоскость, — это достоверное событие.
1.13. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого
(событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С)
сорта. Что представляют собой следующие события:
,
,
?
,
1.14. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концен-
трическими окружностями с радиусами ri (i = 1, 2, ..., 10), причем
r1<r2<...<r10.
Событие Ai = {попадание в круг радиуса ri}. Что означают сле-
дующие события:
,
ретико-множественные выражения для указанных ниже событий
и изобразить их в виде диаграмм:
,
,
,
,
.
1.15. Пусть A, B, C – три произвольных события. Найти тео-
а) произошло только событие А;
б) произошли А и В, но не произошло С;
в) произошло только одно из трех событий;
г) произошли все три события;
д) произошло по крайней мере одно из трех событий;
е) произошли по крайней мере два из трех событий;
ж) ни одно событие не произошло;
з) произошли только два события из трех;
и) произошло не более двух событий;
к) произошло одно из событий или все три.
— 16 —
1.3. Задачи и упражнения
AB, AB
()AB C AC BC=
AB AB=
AB AB=
2
()AB C AC BC=
1.16. Доказать, что события A,
ную группу событий с помощью теоретико-множественных операций и диаграмм.
1.17. Доказать равенства с помощью диаграмм Эйлера:
а)
б)
в)
Решение задачи 1.17. На примере 1.17.-а).
Для доказательства тождества с помощью диаграмм Эйлера необходимо изобразить левую и правую часть тождества на отдельной
диаграмме и затем сравнить результаты.
В общем случае диаграмма для n множеств, входящих в теоретико-множественное соотношение, строится на основе символа
Венна путем разбиения плоскости на
с замкнутым контуром (круг, эллипс и др.), причем каждая последующая фигура имеет одну и только одну общую область с каждой
ранее построенной. Затем осуществляется разнонаправленная
штриховка ячеек, соответствующих множествам и\или операциям
объединения. Ячейки с пересечение штриховок соответствуют пересечениям соответствующих множеств. Рассмотрим на примере
тождества
Построить область
на диаграмме для левой части можно наглядно и достоточно просто, заштрихуем наклонной штриховкой
область, соответствующую
объединению множеств A
и B, а затем наклонной штриховкой с обратным наклоном область множества C.
Область пересечения штриховок является результатом
операции пересечения.
;
.
;
n
ячеек с помощью n фигур
.
B
B
образуют пол-
A
A
C
C
— 17 —
1. Случайные события и отношения между ними
AC
BC
AB
AB
\AB
(\)A BA A B=
Построить диаграмму для правой части можно заштриховав разнонаправленными штриховками области множеств A, B и C. Тогда область пересечения двух штриховок будет соответствовать операции пересечения соответствующих множеств. Объединив области пересечения множеств A с
C (
лучим область диаграммы искомого множества, следует отметить, что область пересечения всех трех множеств также включена.
ить область диаграммы для
правой части можно построив
несколько диаграмм последовательно по теоретико-множественным операциям, перенося результат предыдущей операции на новую диаграмму штриховкой.
) и B с C (
Более наглядно постро-
), по-
B
B
A
A
C
C
B
B
1.18. Определите объединение
и разность
а) дизъюнктивная сумма и объединение;
б) дизъюнктивная сумма и пересечение;
в) дизъюнктивная сумма и разность.
1.19. Исходя из отношений принадлежности, докажите спра-
ведливость следующих соотношений:
а)
A
A
C
C
через следующие операции:
B
B
;
A
A
— 18 —
C
C
A
A
B
B
, пересечение
C
C
1.3. Задачи и упражнения
(\)A BA= ∅
\( ) \A B A AB=
( \ ) ( )\A BC ABC=
\( )(\)(\)A B C AB AC=
\( )(\)(\)A B C AB AC=
( )\ (\) (\)ABC AC BC=
()()AB AB
( )( )( )AB BC CA
( \ ( )) ( \ ( ))A B AB C AC
() ()AB BA AB
AB AB A BB A A
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
1.20. Упростите следующие выражения с помощью теорети-
ко-множественных операций и диаграмм:
a)
б)
в)
г)
Решение задачи 1.20. На примере 1.20.-а).
На основе свойства дистрибутивности операций объединения
и пересечения имеем:
()() ()
Покажем с помощью диаграмм, последовательно выполнив
операции с учетом первоочередности операций в скобках:
A
A
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
= = ∅= .
A
A
A
A
B
B
B
B
— 19 —
B
B
2. ВЕРОЯТНОСТЬ.
n
lim ( )
An
n
n
PA
n
→∞
=
()PA
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
2.1. Вероятность. Аксиомы вероятности и их следствие
Поскольку случайное событие в опыте может произойти
или не произойти, возникла необходимость оценки такой возможности в виде некоторой характеристики события. Предположим, что
мы провели n опытов и в каждом опыте отслеживали появление события A. Допустим, что A произошло в nA опытах из n, тогда можно
составить их отношение:
Введенная величина называется относительной частотой (ча-
стостью) события.
В теории вероятностей рассматриваются случайные события,
обладающие свойством массовости, в том смысле, что если произвести серии из n одинаковых опытов и в каждой серии посчитывать
относительную частоту появления некоторого события A, то получим числовую последовательность, приближающуюся к некоторому
пределу:
Величина
называется вероятностью события A, а ее
вычисление с помощью относительной частоты – статистическим
определением вероятности и весьма широко применяется в практических исследованиях.
События A и B называются равновероятными, если P(A) = P(B).
n
A
h
= . (1)
A
. (2)
— 20 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]