Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
5.2. Математические операции над случайными величинами
( )
x
( )
fx
( ) ( )
Fx fx
′
[ ]
,ab
X
x2x
x
p
1p2
p
n
p
Y
1y2
y
m
y
q1q2q
q
1)
∞
2)
−∞
3) если в точке
( )
0fx≥ ;
1f x dx
=∫;
непрерывна, то
= .
4) Если требуется найти вероятность попадания случайной ве-
личины в интервал
, то эта вероятность определяется форму-
лой:
b
P a x b f t dt≤≤ =
( ) ( )
∫
a
. (52)
5.2. Математические операции
над случайными величинами
Рассмотрим дискретные, независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие из возможных значений приняла другая величина.
В качестве примера независимых случайных величин можно
рассмотреть две дискетные случайные величины X и Y, выражающие в деньгах выигрыш по каждому билету двух различных лотерей.
Очевидно, что выигрыш или не выигрыш по одной лотереи не повлияет на результат другой лотереи.
Пусть две дискретные случайные величины заданы рядами
распределения:
1
— 91 —
...
...
...
...
n
m
5. Случайные величины
i
kx
p
x
( )
1, 2,...,in=
m
X
m
i
x
p
x
( )
1, 2,...,in=
XY+, XY−
XY⋅
ij
xy+
ij
xy−
ij
xy⋅
r
( )
( )
( )
( )
r Pxx yy PxxPyy pq= = ⋅= = = ⋅ = =⋅
( 3) 0,15
Px
= =
Над случайными величинами определены следующие матема-
тические операции:
1. Произведением случайной величины X на константу k называется случайная величина kX, которая принимает значение
с теми же вероятностями
2. m-й степенью случайной величины X, т.е.
случайная величина, которая принимает значения
роятностями
, что и
i
i
, что и
i
i
.
, называется
с теми же ве-
.
3. Суммой, разностью или произведением независимых слу-
чайных величин X и Y называется случайная величина
или
ятностями
, принимающая значения
, где
ij
[]
ij i j i j i j
,
или
с веро-
.
Если при выполнении одного из действий получилось два одинаковых значения, но с разными вероятностями, то из них берется только одно, а его вероятность равна сумме вероятностей равных значе-
( 3) 0,15 0, 04 0,18
Px
ний (т.е., например,
( 3) 0, 04
Px
= =
⇒==+ =
5.3. Числовые характеристики случайных величин
).
Как было отмечено выше закон распределения представляет
собой функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.
Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим
образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные
числовые параметры; до некоторой степени характеризующие, характерные черты распределения случайной величины: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные
значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего,
и т.д. Пользуясь такими характеристиками, можно все существенные сведения относительно случайной величины выразить наиболее
компактно с помощью минимального числа числовых параметров.
— 92 —
5.3. Числовые характеристики случайных величин
n
ii
( )
MX
Такие характеристики, назначение которых — выразить в сжатой
форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
В теории вероятностей числовые характеристики и операции
с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик
существенно облегчается решение многих вероятностных задач.
Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что
когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин,
каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения
отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для
исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных
величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые
числовые характеристики этих величин.
В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.
Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной
величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.
Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую
роль играет математическое ожидание случайной величины, которое
иногда называют просто средним значением случайной величины.
Математическим ожиданием (средним значением) дискрет-
ной случайной величины X называют сумму произведений всех
ее возможных значений на соответствующие им вероятности
Помимо обозначения математического ожидания
меняется также обозначение m.
M X xp
=
( )
∑
1
i
=
— 93 —
. (53)
, при-
5. Случайные величины
( ) ( )
M X xf x dx
∞
−∞
=
∫
( )
fx
( )
MC C=
C const=
( ) ( )
MCX CMX⋅=⋅
( ) ( ) ( )
MX Y MX MY
( ) ( ) ( )
MXY MX MY
( ) ( ) ( ) ( )
MX C MX MC MX C±= ± = ±
( )
−=
( )
0
MX
Для непрерывной случайной величины математическое ожида-
ние вычисляется по формуле:
, (54)
где
мой постоянной:
ческого ожидания:
числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
уменьшить на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличатся или уменьшатся математическое ожидание этой случайной величины:
от ее математического ожидания (от среднего значения) равно нулю:
няются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.
вероятное значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго
говоря, применим только к дискретным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна.
— функция плотности вероятности.
Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание постоянной величины равно са-
, где
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математи-
3) Математическое ожидание алгебраической суммы конечного
+= + .
4) Математическое ожидание произведения конечного числа
⋅= ⋅ .
5) Если все значения случайной величины увеличить или
6) Математическое ожидание отклонения случайной величины
Кроме математического ожидания на практике иногда приме-
Модой
случайной величины X называется ее наиболее
.
.
.
0MX MX
.
— 94 —
5.3. Числовые характеристики случайных величин
( )
e
MX
( )
( )
( )
( )
ee
<=>=
( )
e
MX
( )
( ) ( )
( )
2
1
n
ii
i
DX x M X p
=
= −
∑
( )
( )
x
Me(x)
O
x
Me(x)
O
Если вероятность достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Медианой случайной величины X называется такое ее значе-
ние
, для которого
PX M X PX M X
0,5
,
т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше
или больше
.
Геометрическая медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
Для дискретной случайной величины X медиа-
f(x)
f(x)
ной называется срединное
значение, для нечетного
количества членов, а для
чётного среднее арифметическое двух срединных значений.
Кроме рассмотренных
выше характеристик положения — средних, типичных значений случайной величины, — употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает
то или иное свойство распределения.
Наиболее важной характеристикой случайной величины, наряду с математическим ожиданием, является дисперсия, характеризующая степень рассеивания случайной величины от среднего
значения.
Дисперсией дискретной случайной величины X называют ма-
тематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания
DX MX MX= − .
( ) ( )
2
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется следующим образом:
На практике чаще применяют другую формулу:
. (55)
DX MX MX= − . (56)
( )
2
— 95 —
( )
2
5. Случайные величины
( ) ( ) ( )
( )
2
2
D X x f x dx M X
∞
−∞
= −
∫
( )
( ) ( )
σ
( )
0DC =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
DX Y DX DY±= ±
( )
0DX ≥
X
σ
X
D
Для непрерывной случайной величины X дисперсия вычисля-
ется следующим образом:
D X x M x f x dx
или
Дисперсия
личины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеивания чаще используют так называемое среднее квадратическое
отклонение.
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) дискретной случайной величины называют корень квадрат-
ный из дисперсии
DX имеет размерность квадрата случайной ве-
∞
= −
( ) ( )
( )
∫
−∞
2
(57)
( )
. (58)
Свойства дисперсии:
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
2) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии
(в силу ее размерности), возводя его в квадрат:
3) Дисперсия алгебраической суммы конечного числа незави-
симых случайных величин равна сумме из дисперсий:
4) Дисперсия случайной величины неотрицательна
Для упрощения записей часто используют сокращенные обозначения среднего квадратического отклонения и дисперсии:
и
. В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной
величине относятся эти характеристики, индекс X опускается и используются обозначения σ и D.
Среди числовых характеристик случайной величины особое
значение имеют моменты, которые разделяются на начальные и центральные.
X DX=
DC X CD X⋅= .
— 96 —
. (59)
.
2
.
.
5.3. Числовые характеристики случайных величин
( )
ν
( )
1
MX=
ν
X
( )
( )
k
k
MX MX= −
µ
(
)
( )
1
0MX MX=−=
µ
( )
MX MX DX=−=
1
n
k
k ii
i
xp
=
=
∑
ν
ν
( )
( )
1
n
k
ki i
i
x MX p
=
= −
∑
µ
∞
2 21
µνν
3
3 3 12 1
32=−+
µ ν νν ν
24
4 4 13 1 2 1
46 3=−+ −
µ ν νν ν ν ν
Начальным моментом k-го порядка случайной величины X
называется математическое ожидание k-й степени этой случайной
величины:
В частности, начальный момент первого порядка равен матема-
k
k
MX=
. (60)
тическому ожиданию:
.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины
называется математическое ожидание k-й степени отклонения
случайной величины X от ее математического ожидания:
. (61)
В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:
,
а центральный момент второго порядка равен дисперсии:
µ
2
( )
2
( )
.
Формулы для вычисления моментов для дискретных и непре-
рывных случайных величин приведены в следующей таблице:
Случайная величина
Момент
Дискретная Непрерывная
Начальный
Центральный
=
k
µ
k
= −
∞
k
x f x dx
( )
∫
−∞
( )
k
x M X f x dx
( )
∫
−∞
( )
Центральные моменты целесообразно вычислять, используя
формулы, выражающие центральные моменты через начальные:
= −
2
, (62)
, (63)
. (64)
Третий центральный момент служит для характеристики асим-
метрии (или «скошенности») распределения. Он имеет размерность
— 97 —
5. Случайные величины
µ
3
3
A =
µ
σ
( )
0
( )
0
( )
0
µ
4
4
µ
σ
4
4
µ
σ
куба случайной величины; чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент
делят на куб среднего квадратического
3
отклонения, Полученная величина носит название коэффициента
асимметрии или просто асимметрией:
. (65)
На рисунке справа пока-
A=0
заны два асимметричных распределения; одно из них имеет
A>0
A>0
A=0
A<0
A<0
положительную асимметрию
A > , другое — отрицатель-
ную
A < , и симметричное
распределение
Четвертый центральный
момент служит для характе-
A = .
M(X)
M(X)
ристики так называемой «крутости», т. е. островершинности или
плосковершинности распределения. Эти свойства распределения
описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом слу-
чайной величины X называется величина
4
3E = −
. (66)
4
σ
Число 3 вычитается из отношения
потому, что для наибо-
лее часто встречающегося нормального закона распределения, ко-
торый будет рассмотрен ниже,
. Таким образом, для нор-
мального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более
островершинные по сравне-
E>0
нию с нормальной, обладают
положительным эксцессом;
E>0
E=0
E=0
кривые более плосковершинные — отрицательным эксцессом.
На рисунке справа представлены нормальное рас-
— 98 —
E<0
E<0
5.4. Основные законы распределения
( )
( )
( )
0,1, 2,..., ,...,mn
( )
m m nm
n
PX m C pq
−
= =
01p<<
1qp= −
( )
PX m=
Xm=
X01
2
m…n
p
11
n
22 2n
n
C pq
−
m m nm
n
n
p
( )
1 1 22 2
1
... ... 1
n
n
n n n m m nm n
in n n
i
p q C pq C p q C p q p p q
−− −
=
= + + ++ ++ = + =
∑
( )
M X np=
( )
пределение
0E > и распределение с отрицательным эксцессом
0E = , распределение с положительным эксцессом
0E < .
5.4. Основные законы распределения
1. Биноминальный закон распределения
Дискретная случайная величина X имеет биноминальный закон
распределения с параметрами n и p, если она принимает значения
с вероятностями
,
где
,
Как видно из определения, вероятность
по формуле Бернулли. Следовательно, биноминальный закон распределения представляет закон распределения числа
пления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность его наступления p одна и та же.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
n
q
C pq
.
находится
насту-
…
n
−
…
C pq
−
…
Данный закон корректен, так как выполнено основное свойство
n
ряда распределения
i
1
1
p==∑:
i
Данная сумма представляет собой сумму всех членов разложения бинома Ньютона, откуда и получил своё название закон.
Математическое ожидание случайной величины X распределенной по биноминальному закону
D X npq=
— 99 —
, а ее дисперсия
5. Случайные величины
m
n
Mp
nn
0>
λ
0,1, 2,..., ,...m
( ) ( )
!
m
m
e
PX m P
m
−
= = =
λ
λ
λ
X01
2
m
p
e
−
λ
e
−
λ
λ
!2
2
λ
−
!
m
2
1
m
ee
ee
Математическое ожидание доли (частости)
события в n не-
зависимых испытаниях, в каждом из которых оно может насту-
m
пить с одной и той же вероятностью p,
m pq
D
=
.
=
n
, а ее дисперсия
Биноминальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании
функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и других областях.
2. Закон распределения Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром
. Если она принимает значения
(бесконечное, но счетное множество значений) с веро-
ятностями
.
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
…
m
−
λ
e
…
λ
e
λ
…
…
Данный закон так же корректен, так как
pe e
i
i
1
... ...
2! !
m
2
1 ... ...
— 100 —
2! !
разложение в ряд e при x
m
m
x
e
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]