Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
2.2. Вероятностное пространство
( )
!
!!
k
n
n
C
knk
=
−
kn≤
012
... 2
nn
nnn n
CCC C+ + ++ =
1
n
nn
1
n
Cn
nk k
nn
CC
−
=
nn
!
k
n
n
C
=
4. Сочетания.
Сочетанием n элементов по k называют k-сочетания без повто-
рений из множества n элементов. Поскольку комбинации в сочетаниях отличаются только составом, то из каждой такой комбинации
можно составить k! перестановок. Таким образом, количество сочетаний n элементов по k , будет в k! раз меньше, чем количество размещений n элементов по k:
,
. (2 0 )
Следует учитывать, что
,
1
= ,
,
012
CCC C+ + ++ = .
nnn n
... 2
Число сочетаний n элементов по k с неограниченными повторениями выражается формулой:
=
. (21)
1
+−
Соотношение (19) можно получить следующим способом. Сочетания считаются различными, если отличаются по составу хотя
бы одним элементом, тогда каждому сочетанию можно поставить
в соответствие перестановку, в которой все элементы сочетания
закодированы единицами, а различные классы элементов разделены нулями, даже если элемент класса не присутствует в выборке.
Например, для множества элементов {a, b, c}, каждый из которых
рассматривается как обозначение класса, можно составить сочетания из 4-х элементов с повторениями и соответствующие им перестановки из нулей и единиц: aaaa ⇒ 111100, abba ⇒ 110110,
abbc ⇒ 101101, abcc ⇒ 101011 и т.д. Заметим, что abcc ⇒ 101011,
acbc ⇒ 101011, cbca ⇒ 101011, т.е. такой способ кодировки не чув-
ствителен к перестановкам в исходной выборке, это и необходимо.
Таким образом, такие перестановки однозначно кодируют
только количественный состав элементов выборки и всегда содержат
k единиц и n – 1 нулей. Число сочетаний n элементов по k с неограниченными повторениями исходного множества совпадает с числом
перестановок c ограниченными повторениями (15) для k + n – 1 эле-
— 31 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
11
kk
+− +−
: () 0f∀ ∈Ω ⇒ ≥
ωω ω
() 1fdΩ=
∫
ωω
:
0 () 1
AA
fd
∀ ⊂Ω
≤≤
∫
ωω
ментов, разделенных на два класса эквивалентности со спецификацией {k, n-1}:
( 1) ! ( 1)!
kn nk
C p kn C
= −= = =
n kn nk
,1
( )
+− +−
! ( 1)! ! (( 1) ) !
kn k nk k
⋅ − ⋅ +− −
.
Рассмотренный способ рассмотрен как пример применения замены одного множества другим, элементы которых находятся во взаимно-однозначном отношении, для определения мощности т.к. эти
множества равномощны.
2.2.3. Непрерывное вероятностное пространство.
Геометрическое определение вероятности.
Пространство элементарных событий Ω непрерывно и может
являтся ограниченной или неограниченной областью s-мерного пространства. Таким образом, элементарным событием является некоторая точка пространства, заданная s координатами. В силу непрерывности пространства рассуждения об элементарной вероятности
не имеют смысла, так как она в пределе равна нулю, см. аксиома A4.
Если алгебра событий остается без изменений, то для работы с вероятностями в непрерывных пространствах существует куда более
изящный и мощный математический аппарат теории функций.
Вероятность события определяется следующим образом.
На пространстве элементарных событий постулируется существование функции элементарных событий, называемой функцией плотно-
сти вероятности f(ω).
Причем, в силу аксиом теории вероятности, эта функция должна обладать следующими свойствами:
1) плотность вероятности неотрицательная функция:
;
2) плотность вероятности нормированная функция:
;
3) плотность вероятности есть абсолютно интегрируемая функ-
ция, в том смысле, что интеграл по любому подмножеству пространства элементарных событий – конечная величина:
.
— 32 —
2.2. Вероятностное пространство
() ()
A
PA f d=
∫
ωω
:1
B
BB B d∀ ⊂Ω⇒ =
∫
ω
1
()f =
Ω
ω
11
()
AA
A
PA d d= =⋅=
ΩΩ Ω
∫∫
ωω
Вероятность некоторого события A как подмножества Ω пред-
ставляет собой функцию:
. (22)
Любая функция, обладающая рассмотренными свойствами может быть принята в качестве функции плотности вероятности. Для
пространства элементарных событий, заданного числовой осью
функция плотности вероятности называется законом распределения,
широко применяемые на практике законы распределения рассмотрены ниже в разделе 5.
Одним из частных случаев непрерывного вероятностного пространства является такое, что пространство элементарных событий
представляет собой ограниченную область s-мерного евклидова
пространства с равномерным распределением плотности вероятности по этой области и нормой для элементов пространства в виде
интеграла от единичной функции:
. (23)
Тогда функция плотности вероятности представляет собой константу:
. (24)
Вероятность в соответствии с (20) и (22) определяется соотношением:
Соотношение (25) носит название геометрического опреде-
ления вероятности, так как в евклидовом пространстве введенная
интегральная норма имеет вполне определенный геометрический
смысл: для одномерного пространства – длина отрезка, для двумерного – площадь фигуры, ограниченной некоторой кривой, для трехмерного – объем тела, ограниченного поверхностью и т.п.
Пример 2.3. Задача о встрече. Два человека A и B условились
встретиться в определенном месте между 12 ч и 13 ч. Пришедший
. (2 5)
— 33 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
н
A
t
-время прихода B
н
t
-время прихода B
первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Приход
каждого из них в течение указанного срока является случайным, может произойти в любой момент времени и независимо друг от друга.
Чему равна вероятность их встречи? Чему равна вероятность того,
что A пришел первым и встретился с B? Чему равна вероятность
того, что B пришел первым и не встретилcя с A?
Решение. Элементарным событием в данной задаче может
быть выбран факт фиксации пары моментов времени прихода двух
людей (tA, tB) между заданными 12 и 13 часами на условленное место, т.е. в течении одного часа. Поскольку время непрерывно, то пространство элементарных событий будет двумерным непрерывным
пространством. По условию задачи приход каждого человека в течение условленного срока случаен и независим, из чего мы можем
сделать вывод о равновероятности всех возможных исходов. Таким
образом, мы можем воспользоваться геометрическим определением
вероятности (25), построив «геометрический образ» пространства
элементарных событий. Для этого лучше всего подойдет координатная плоскость с декартовой системой координат, причем начало
координат совместим с начальным моментом условленного периода
времени – 12 часов. Вдоль оси OX будем откладывать в минутах время прихода A, а вдоль OY – время прихода B. Тогда все вероятностное пространство будет представлять собой квадрат 60×60.
y, ми
y, ми
60
60
45
45
30
30
15
15
B
B
0
0
15
15
t
-время прихода A
tA-время прихода A
30 45 60
30 45 60
— 34 —
x, мин
x, мин
2.2. Вероятностное пространство
45 45
( ) 1 ( ) 1 1 0,5625 0,4375
60 60
C
PC PC
⋅
==−=− =− =
Ω⋅
1
1
2
( ) ( ) 0,21875
2
C
D
PD PC
⋅
== =⋅=
ΩΩ
1
1 1 45 45
2
( ) ( ) 0, 28125
2 2 60 60
C
E
PE PC
⋅
⋅
== =⋅=⋅ =
ΩΩ ⋅
Диагональ квадрата, соединяющая начало координат и точку
(60, 60), представляет собой событие одновременного прихода A и B
на место встречи. Половина квадрата выше диагонали соответствует
событиям, в которых A пришел раньше B, а нижняя наоборот. Очевидно, что если A пришел первый, то его встреча с B может произойти только в течении заданных 15 минут, затем он уйдет и более
поздний приход B означает, что они не встретились. Таким образом,
встрече A и B, при условии, что A пришел раньше, будет соответство-
вать 15-ти минутная полоса пространства элементарных событий
выше диагонали, аналогично, при условии, что B пришел раньше —
снизу. Обе полосы вместе составляют событие, означающее встречу
A и B.
Таким образом, заданным событиям соответствуют:
С = {A и B встретились} – область с двойной штриховкой во-
круг главной диагонали, стоит заметить, что C = {A и B не встрети-
лись};
D = {A пришел первый и встретился с B} – верхняя часть области события C;
E = {B пришел первым и не встретилcя с A} – этому событию
соответствует нижняя треугольная область пространства элементарных событий с прерывистой косой штриховкой.
Определим вероятности заданных событий в соответствии
с (25) как отношение площадей соответствующих событиям областей к площади пространства элементарных событий:
Как видно из определения P(C) часто для упрощения расчетов
удобно пользоваться определением обратного события.
— 35 —
;
;
.
2. Вероятность. Вероятностное пространство
2
2
0
(60 )
( ) lim 1 0
60
h
h
PG
→
−
=−=
L
( )
aa L<
Если рассмотреть событие G = {A и B пришли к месту встречи
одновременно}, то вероятность этого события можно рассмотреть
как предел события C при устремлении «ширины» полосы времени
ожидания к нулю:
.
В силу непрерывности пространства элементарных событий
последнее равенство будет справедливо для любых подмножеств
событий, которые можно представить геометрическими объектами
меньшей, чем W размерности, в данном случае это отрезок прямой –
одномерный объект по сравнению с двумерным W. Равенство вероятности таких событий нулю, притом, что событие формально не является пустым множеством, можно рассматривать как парадокс,
связанный с определенной идеализацией пространства элементарных событий. При решении прикладных задач следует, учитывать
некоторые особенности реального протекания исследуемого процесса. В рассмотренном примере можно предположить, что встреча
не происходит мгновенно и каждому из встречающихся необходимо
около 5сек оглядеться, чтобы увидеть другого. Тогда h будет пусть
малой, но отличной от нуля величиной и вероятность P(G) отличной от нуля. Естественно учет этого условия потребует пересмотра
расчета вероятностей и других событий. Отказ от идеализации, как
правило, всегда приводит к усложнению решения задачи.
Пример 2.4. Задача Бюффона (1777 г.) На неограниченную
плоскую поверхность, разграфленную параллельными прямыми
на полосы ширины
Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
Решение. Бросание иглы наугад предполагает равновероятность всех возможных положений иглы на поверхности. Как известно положение твердого тела в пространстве можно описать координатой некоторой его точки и поворотом тела относительно нее.
Для иглы, которая геометрически представима отрезком прямой,
в качестве точки отсчета выберем ее центр. Тогда любое произвольное положение иглы можно описать координатой ее центра и углом
поворота иглы относительно центра, угол будем отсчитывать от направления прямых на поверхности.
, бросается наугад игла длиной
— 36 —
.
2.2. Вероятностное пространство
aL<
sin( )
2
C
a
x ≤⋅ φ
[ ]
0, 0,
2
L
Ω= ×
π
x
Поскольку по условию задачи поверхность не ограничена
и
центра иглы относительно одной прямой в пределах половины ширины полосы, а угол поворота в пределах от 0 до p. Далее геометрическая картина возможного размещения иглы относительно других
прямых будет повторяться, что имеет смысл кратности пространства
элементарных событий и исследуемого события и не повлияет на его
вероятность.
, то достаточно рассмотреть только поперечное смещение
Расчетная схема представлена ниже на рисунке.
x
x
B'
B'
B
a
a
C
A'
A'
C
D
D
x
x
C
C
A
A
0
0
B
L
L
�
�
сечет прямую (положение A’B’), если
странство элементарных событий можно представить прямоуголь-
ной областью
абсцисс будем откладывать угол поворота иглы j. а по оси ординат
координату центра иглы
странство элементарных событий синусоидой на два несовместных
события, см. рисунок ниже:
Из прямоугольного треугольника ACD видно, что игла AB пере-
.
В соответствии с высказанными выше соображениями про-
на декартовой плоскости, по оси
. Правая часть неравенства разделит про-
C
— 37 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
FE=
x
x
0
22
Ed a
2
2
()
E
a
PE
L
⋅
= =
Ω ⋅π
E = {игла пересекла линию};
F = {игла не пересекла линию},
C
C
1
1
L
L
2
2
a
a
2
2
0
0
0
0
a
a
sin()
sin()
2
2
.
Множество точек плоской фигуры под кривой составляют ис-
следуемое событие E.
Определим вероятности заданного события E в соответствии
с (25) как отношение площади плоской фигуры соответствующей событию E к площади пространства элементарных событий:
π
aa
sin( ) ( cos( ))
= φ φ= ⋅ − φ =
∫
π
,
|
0
L
Ω = ⋅π
2.3. Задачи и упражнения
2.1. Выпишете аналогичное (8) соотношение для суммы четырех и пяти событий. Попытайтесь по индукции обобщить на произвольное количество.
2.2. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1
до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что:
а) номер вынутого шара не превышает 10?
б) номер вынутого шара четный или меньше 4?
в) номер вынутого шара простое число больше 7?
— 38 —
.
2.3. Задачи и упражнения
12n =
BA=
5, 3, 4
ACD
nnn= = =
12
( )
34 7
( ) ( ) 0,583(3) 0,5833 1 ( )
12 12
C
D
n
n
P B PC PD PA
nn
+
= + =+= == ≈ =−
( )
2
10
10! 9 10
45
2! 10 2 ! 1 2
nC
⋅
= = = =
⋅− ⋅
2.3. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 красных и 5 черных.
а) Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
б) Какова вероятность вынуть белый или красный шар?
Решение задачи 2.3. Опыт состоит в выборе наугад одного
из 12-ти шаров, находящихся в урне. Пространство элементарных
событий можно определить таким образом: W = {из урны, содержащей 3 белых, 4 красных и 5 черных шара, вынут один шар черного
или красного или белого цвета}. Мощность W:
.
Очевидно, что W состоит из 3-х элементарных событий выбора
одного белого шара, 4-х элементарных событий выбора одного красного шара и 5-ти элементарных событий выбора одного черного шара.
Заданные события:
A = {из урны вынут черный шар};
B = {из урны вынут белый или красный шар}.
Событие B можно представить как сумму двух несовместных
событий: B = C + D = {из урны вынут белый шар} + {из урны вынут
красный шар}. Следует заметить, что
Мощности рассмотренных событий:
.
.
Определим вероятности событий A и B:
n
5
PAn= = = ≈ ;
( )
A
0,416(6) 0,4167
.
2.4. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? Оба шара черные? Шары
разного цвета?
Решение задачи 2.4. Опыт состоит в выборе наугад одновре-
менно двух из 10-ти шаров, находящихся в урне. Пространство элементарных событий можно определить таким образом: W = {из урны,
содержащей 6 белых и 4 черных, вынуты два шара оба черного цвета
или оба белого цвета или один белый, а другой черный}. Т.к. порядок
расположения шаров в вынутом наборе не важен, то мощность W
можно подсчитать как количество сочетаний 10 шаров по 2:
.
— 39 —
2. Вероятность. Вероятностное пространство
( )
( )
2
6
2
4
6! 6! 5 6
15,
2! 6 2 ! 2! 4! 2
4! 4! 3 4
6.
2! 4 2 ! 2! 2! 2
A
B
nC
nC
⋅
= = = = =
⋅− ⋅
⋅
= = = = =
⋅− ⋅
6 4 24,
C
n =⋅=
( ) 45 (15 6) 45 21 24.
C AB
n nn n=− + = − += −=
( )
15 1
0, 3(3) 0, 33
45 3
A
n
PAn= = = = ≈
( )
62
0,13(3) 0,133
45 15
B
n
PBn= = = = ≈
24 8
45 15
( )
1 2 15 7 8
1 ( ( ) ( )) 1 0,53(3) 0,533
3 15 15 15 15
PC PA PB
=− + =−+ =−== ≈
Таким образом, пространство элементарных событий состоит
из 45 элементарных равновероятных событий, причем часть событий составляет событие A = {из урны вынуты два белых шара}, другая часть B = {из урны вынуты два черных шара}, а другая C = {из
урны вынуты один белый и один черный шар}.
Мощности событий A и B определим также с помощью формулы для подсчета сочетаний с учетом того, что в урне 6 белых и 4 черных шара:
Мощность события C можно определить по комбинаторному
правилу произведения, так как один белый шар из шести (6 способов) и один черный шар из четырех (4 способа) выбираются независимо:
или с учетом, что события A, B и C попарно несовместны и их объединение есть W, можно вычислить следующим образом:
Определим вероятности событий A, B и C:
;
;
PC = = = ≈
( )
0,53(3) 0,533,
или с учетом высказанных выше соображений
2.5. В лотерее разыгрываются 2000 билетов. Среди всех билетов: один билет с выигрышем 10 000 руб., четыре билета с выигрышем по 5000 руб., десять билетов с выигрышем по 2000 руб., двадцать билетов с выигрышем по 1000 руб., 165 билетов с выигрышем
— 40 —
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]