Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
5.4. Основные законы распределения
( ) ( )
( )
( )
0
np const→=
λ
Xm=
1, 2,..., ,...m
( )
1m
P X m pq
−
= =
0 1, 1pq p<< =−
X12
3…m
pppq
2
pq
1mpq−
i
p
21 21
1
... ... 1 ... ...
1
1.
1
mm
i
i
pppq pq pq pqqq
p
p
qp
сумми бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
Xm=
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,
распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны λ:
M X DX= =λ.
При достаточно больших n
p → при условии что
n →∞ и малых значениях p
, закон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального закона. Так
как вероятность p события А в каждом испытании мала, то закон
распределения Пуассона называют ещё законом редких явлений.
По закону Пуассона распределено, число рождений четверней,
число сбоев автоматических линей, число покупателей подошедших
к кассе в единицу времени, т.е. величин распределённых по биноминальному закону с p → 0.
3. Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина
ское распределение с параметром p, если она принимает значения
(бесконечное, но счетное множество) с вероятностями
где
.
Ряд распределения геометрического распределения имеет вид:
Вероятности
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, поэтому распределение носит название геометрическое.
Определение геометрического распределения корректно, так как
Случайная величина
пределение, представляет собой число m испытаний, проведенных
, имеющая геометрическое рас-
— 101 —
имеет геометриче-
,
…
…
…
5. Случайные величины
( )
1
MXp=
1k =
( )
m km
0,1,2,...m =
( )
k
MXp=
Xm=
( )
0,1, 2,..., ,..., min ,m nM
M NM
,M Nn N≤≤
,,nM N
Xm=
по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей
геометрическое распределение с параметром p, равно
а ее дисперсия —
DXp= .
( )
q
2
Геометрическое распределение является частным случаем рас-
пределения Паскаля (отрицательного биномиального распределения) при
где
:
P X m C pq
= = ,
mk
+−
1
.
Числовые характеристики случайной величины X, имеющей
распределение Паскаля:
( )
kq
2
,
DXp= .
Распределение Паскаля характеризует распределение числа
m не появлений события до k–го положительного исхода.
4. Гипергеометрическое распределение
Дискретная случайная величина
имеет гипергеометри-
ческое распределение с параметрами n, M, N если она принимает зна-
чения
где
PX m
,
с вероятностями
m nm
−
CC
= = ,
( )
−
n
C
N
— натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение имеет случайная вели-
чина
— число объектов, обладающих заданным свойством,
среди n объектов, случайно извлечённых (без возврата) из совокупности N объектов, M из которых обладают этим свойством.
,
— 102 —
5.4. Основные законы распределения
M
11
MMn
N NN
= −−
[ ]
,ab
( )
fx
( )
1
,,
0, , .
axb
fx
ba
x ax b
≤≤
=
−
<>
( )
0, ,
,,
1, .
xa
xa
FX a x b
ba
xb
≤
−
= <≤
−
>
a
1
f(x)
a
1
f(x)
( )
2
ab
MX+=
( )
( )
2
12
ba
DX−=
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей
гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, равно
MX nN= , а ее дисперсия —
( )
DX n
( )
−
1
.
Гипергеометрическое распределение используется в практике статистического приёмочного контроля качества промышленной
продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований, и других областях.
5. Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределение на отрезке
, если ее плотность вероятности
постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:
Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону имеет вид:
Графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону приведены на рисунке ниже:
/(b-a)
/(b-a)
Математическое ожидание случайной величины X, распре-
деленной по равномерному закону
F(x)
F(x)
1
1
b
b
a
a
b
b
, и дисперсия —
.
— 103 —
5. Случайные величины
[ ]
0, 1
0>
λ
ex
( )
0, 0,
1 , 0.
x
x
Fx
ex
−
<
=
−<
λ
f(x)
F(x)
l
1
f(x)
F(x)
l
1
1
σ
1
Равномерный закон распределения используется при анализе
ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач
массового обслуживания, при статистическом моделировании, моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.
Так, например, случайная величина X, распределенная по равномерному закону на отрезке
, называемая «случайным числом
от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных
величин с любым законом распределения.
6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет показательный
(экспоненциальный) закон распределения с параметром
, если
ее плотность вероятности имеет вид:
x
−
λ
, 0,
fx
( )
λ
=
0, 0.
≥
x
<
Функция распределения случайной величины X, распределен-
ной по показательному закону, имеет вид:
Графики плотности вероятности и функции распределения
случайной величины X, распределенной по показательному закону
приведены на рисунке ниже:
Математическое ожидание случайной величины X, распреде-
ленной по показательному закону
DX =λ.
( )
2
MX= =
( )
— 104 —
и ее дисперсия —
λ
5.4. Основные законы распределения
X
2
a
2
σ
( )
fN(x)
s
s
s
fN(x)
s
s
s
( )
MX a=
2
( )
2
DX =
σ
Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например,
интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром λ,
характеризующим интенсивность потока.
7. Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина
имеет нормальный закон
распределения (Закон Гаусса) с параметрами a и σ2, если её плотность вероятности имеет вид:
fx e
( )
N
1
=
σπ
−
xa
−
( )
2
σ
2
2
.
Кривую плотности нормального закона распределения называ-
ют нормальной или Гауссовой кривой.
На рисунке ниже приведены нормальная кривая с параметрами
и
, т.е.
2
;Naσ и функция распределения случайной величи-
ны, имеющей нормальный закон распределения.
FN(x)
s2p
s2p
1
1
1
1
2pe
2pe
2
2
s
)
N(a,
s
)
N(a,
a-
a
a+
a
a-
a+
FN(x)
1
1
0,5
0,5
a
a
Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки
подчиняются нормальному закону; например: рост человека, дальность полета снаряда и т.д. Но если случайная величина распределена, по какому либо другому закону, то это не означает, что она «ненормальная».
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру a этого закона, т.е.
,
а её дисперсия — параметру
, т.е.
σ
.
— 105 —
5. Случайные величины
a const=
( )
max
1
2
fa=
σπ
( )
a MX=
( )
2
σ
2
0, 1
( )
0; 1
( ) ( ) ( )
( )
2
2
0
1
2
x
t
x e dt
−
Φ=
∫
π
[ ]
;xx−
fN(x)
fN(x)
a
f
a
f
Пусть σ=const и меняется а (а1<a2<a3), т.е. центр симметрии
распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси
абс цисс не меняя форму.
Пусть теперь
s
=const a1<a2<a
s
=const a1<a2<a
3
3
и меняется параметр σ2 (или σ),
заметим, что начинает изменяться ордината максимума кривой
. С ростом σ
кривая становится более пологой, но исходя из того что
площадь и подынтегральной
функции, постоянна и равна
единице, то кривая растягивается вдоль оси абсцисс.
Таким образом, параметр
характе-
а
а
1
1
(x)
(x)
N
N
а
a
а
2
3
2
3
a=const
s
s
a=const
1
1
s
<
s
<
s
s
<
s
<
s
1
2
3
1
2
3
s
s
2
2
s
s
3
3
a
ризует положение центра
симметрии кривой; параметр
DX=
характеризует форму нор-
мальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами
a = =σ, т.е.
N называется стандартным или
нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной или нормированной.
Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины распределенной по нормальному закону,
по формуле
F x f t dt
рой промежуток
x
=
( ) ( )
∫
−∞
и вероятность её попадания на некото-
Pa x b Fb Fa≤≤ = − связана с тем, что инте-
грал от функции плотности вероятности в данном случае является
не берущимся в элементарных функциях, поэтому их выражают че-
рез функцию
составлены таблицы (Приложение 3). Геометрически функция Лапласа есть площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке
.
— функцию Лапласа для которой
— 106 —
5.4. Основные законы распределения
( )
xΦ
xa
−
( )
; x−∞
[ ]
12
xx
( )
21
12
xa xa
Px x x
−−
≤ ≤ =Φ −Φ
σσ
( )
MX a=
0∆>
[ ]
aa
( )
2PX a
∆∆∆
− ≤∆ =Φ −Φ − = Φ
σσσ
X
σ
[ ]
aa−+
σσ
( )
( )
3
3 2 2 3 2 0, 49865 0,9973PX a
−≤ =Φ =Φ =⋅ =
σ
σ
σ
12
Xm=
n →∞
Функция распределения случайной величины X, распреде-
ленной по нормальному закону выражается через функцию Лапласа
следующим образом:
Fx
= Φ
( )
N
Геометрически функция распределения представляет собой
площадь под нормальной кривой на интервале
Свойства случайной величины распределенной по нормально-
му закону:
1) Вероятность попадания случайной величины Х, распреде-
ленной по нормальному закону, в интервале
2) Вероятность того, что отклонение случайной величины
Х, распределенной по нормальному закону, от математического
ожидания
ность попадания случайной величины X в симметричный интервал
;
−∆ +∆ относительно среднего значения).
, не превысит величину
Правило трёх сигм
.
σ
.
;
равна
.
(т.е. вероят-
.
Если случайная величина
пределения с параметрами a и
что значения этой случайной величины укладываются в интервал
3; 3
Рассмотренная ранее приближённая интегральная формула
Муавра –Лапласа следует из свойства 1 нормальной распределен-
ной случайной величины, при
т.к. биноминальный закон распределения величины
метрами n и p, для которого получена эта формула, при
стремится к нормальному закону.
:
;; ;x a x b a np npq= = = =
имеет нормальный закон рас-
2
, то практически достоверно,
σ
— 107 —
,
.
с пара-
5. Случайные величины
( )
( )
3
3
33
0
Mx Mx
A−= = =
µ
σσ
4
4
44
3
3 30E = −= −=
µ
σ
σσ
X
( )
( )
2
2
ln
ln
2
1
2
ta
x
F x e dt
−
−
−∞
=
∫
σ
σπ
2
xa
x
( )
2
2
M X ae=
σ
( )
( )
22
2
1D X ae e= −
σσ
2
χ
Коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины рас-
пределенной по нормальному закону.
,
,
поэтому крутость других распределений сравнивается с нормальным распределением.
8. Логарифмически-нормальное распределение
Непрерывная случайная величина
имеет логарифмиче-
ски-нормальное распределение (логнормальное распределение), если
ее логарифм подчинен нормальному закону.
Функция распределения случайной величины, распределенной
.
Плотность вероятности случайной величины, распределенной
fx e
( )
1
=
2
2
σ
.
2
ln ln
−
( )
−
σπ
Математическое ожидание случайной величины, распреде-
ленной по логнормальному закону
, ее дисперсия —
.
Логнормальное распределение используется для описания распределения доходов, банковских вкладов, цен активов, месячной
заработной платы, посевных площадей под разные культуры, долговечности изделий в режиме износа и старения и др.
2
9. χ
- распределение
Распределением
(хи-квадрат) с k степенями свободы на-
зывается распределение суммы квадратов k независимых случай-
— 108 —
5.4. Основные законы распределения
2
1
k
i
i
Z
=
=
∑
χ
( )
Zi k
( )
2
χ
( )
1
22
2
1
, 0,
2
2
0, 0,
kx
k
xe x
k
fx
x
−−
≥
=
⋅Γ
<
∞
( ) ( )
1!yyΓ=−
30k >
2 21Zk= −−
t
2
1
Z
tk=
χ
Z
2
χ
2
χ
( )
1
2
2
1
2
1
2
k
k
x
fx
k
k
k
+
+
Γ
= +
Γ
π
( )
yΓ
ных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.
,
где
где
Γ=
тельных значений
1, 2,...,
= имеет нормальное распределение
i
Плотность вероятности
1
−−
y e t dt
( )
ty
∫
0
— гамма-функция Эйлера (для целых положи-
-распределения имеет вид:
).
При
χ
2
распределение случайной величины
близко к стандартному нормальному закону.
10. Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента (
-распределением) называют рас-
пределение случайной величины
,
где
— случайная величина, распределенная по стандартному нор-
мальному закону,
— независимая от Z случайная величина, имеющая
деление с k степенями свободы.
Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:
0,1N .
-распре-
где
— гамма-функция Эйлера.
,
— 109 —
5. Случайные величины
k →∞
30k >
F
1
( )
2
1
k
χ
( )
2
χ
1
k
2
k
( ) ( )
12
1
12
12
22
12
1
2
2
12
12
2
22
kk
k
kk
kk
kk
f x x kx k
kk
+
−
−
+
Γ
= +
ΓΓ
( )
yΓ
12
,kk→∞
2
χ
1 23 4
0, 1, 2, 3xxx x= = = =
При
Практически уже при
t-распределение приближается к нормальному.
можно считать t-распределение при-
ближенно нормальным.
11. Распределение Фишера
Распределением Фишера (
-распределением) называется рас-
пределение случайной величины
2
k
χ
( )
1
1
1
χ
2
2
k
( )
2
,
где
деление с
k
F
=
k
2
и
kχ — случайные величины, имеющие
2
и
степенями свободы соответственно.
Плотность вероятности F-распределения имеет вид:
где
— гамма-функция Эйлера.
При
F- распределение приближается к нормально-
му закону.
-квадрат распределение, t- распределение, F- распределе-
ние применяются для проверки статистических гипотез.
-распре-
,
5.5. Задачи и упражнения
5.1. Составьте таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мишень при трех независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2.
Решение задачи 5.1. Случайная величина X есть число по-
паданий в мишень. Так как производятся три независимых выстрела, то случайная величина может принимать следующие значения:
альное распределение вероятностей, поскольку испытания, рассма-
. Случайная величина X имеет биноми-
— 110 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]