Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3.4. Задачи и упражнения
H
H
61
12 2
( )
2
31
12 4
PH = =
21
12 6
( )
4
1
12
PH =
33
34 7
21
28 5
66
61 7
( )
4
44
|
43 7
PAH = =
+
3
{ |}HA
16
14 20 7 21
и
3
о принадлежности урны к одной из групп соответствую-
4
щего состава шаров.
Учитывая, что всего урн 12, а количественный состав групп за-
дан, можно определить вероятности гипотез:
PH = = ,
( )
1
,
PH = = ,
( )
3
.
Определим вероятность события A = {из наугад выбранной
урны вынут белый шар} в зависимости от реализации гипотез, учитывая составы урн каждой из групп:
|
PAH = =+,
( )
1
|
PAH = =+,
( )
3
Тогда для события
( ) (| )
|
PH A
( )
3
PH PA H
= = =
4
PH PA H
( ) (| )
∑
i
=
1
⋅
33
⋅
ii
|
PAH = =+,
( )
2
.
по формуле Байеса получим:
⋅
67
13 11 16 1 4
⋅+⋅+⋅+ ⋅
27 45 67 127
1
= ≈
7
3 111
+ ++
0,314.
3.28. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата
вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй — 84 %.
Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества.
Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
щиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры не требуют ремонта в течение срока гарантии для продукции поставщиков
3.29. В торговую фирму поступили телевизоры от 3-х постав-
— 61 —
3. Зависимые и независимые события
1
( ) 0,95PH =
( ) 1 0,95 0,05PH =−=
соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаях. Найти вероятность того,
что поступивший в фирму телевизор не потребует ремонта в течение
срока гарантии, определить от какого поставщика вероятнее всего
поступил телевизор, возвращенный покупателем по гарантии из-за
поломки.
3.30. Примерно 5 % мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наудачу выбранный человек из равного количества мужчин
и женщин, оказался дальтониками, найти вероятность того, что это:
а) женщина, б) мужчина.
3.31. Известно, что в среднем 95 % выпускаемых заготовок
стандартны. Система контроля качества признает пригодной для последующей обработки 98 % стандартных заготовок и 6 % нестандартных. Определить вероятность того, что:
а) взятая наудачу заготовка пройдет контроль качества;
б) заготовка стандартна, если она прошла контроль качества;
в) заготовка стандартна, если она прошла контроль качества
2 раза.
Решение задачи 3.31. Опыт состоит в выборе наугад одной
заготовки из некоторого количества произведенных, отобранная заготовка изучается системой контроля качества на пригодность для
дальнейшей обработки. Исследуются события:
A = {взятая наудачу заготовка прошла контроль качества};
B = {положительно прошедшая контроль качества заготовка,
является стандартной};
C = {положительно прошедшая два раза контроль качества заготовка, является стандартной}.
а) Вероятность допуска заготовки к дальнейшей обработке системой контроля качества зависит от того, была ли изначально заготовка стандартной или нет. Таким образом, сформулируем две гипотезы относительно факта стандартности заготовки и их вероятности
на основании статистики выпуска стандартных заготовок:
H1 = {деталь стандартна},
H2 = {деталь не стандартна},
;
2
.
Можно определить условные вероятности положительного
прохождения контроля качества на основе статистики результатов
— 62 —
3.4. Задачи и упражнения
1
( | ) 0,98PA H =
( | ) 0, 06PAH =
{ |}B HA=
11
1
( ) (| )
0,95 0,98
( ) ( | ) 0,9968
( ) 0,934
PH PA H
PB PH A
PA
⋅
⋅
= = = ≈
1
( | ) 0,98 0,98 0,9604PD H =⋅=
2
( | ) 0,06 0, 06 0,0036PD H =⋅=
11 11
1
1 12 2
( )(| ) ( ) (| )
() ( | )
() ( ) (| ) ( ) (| )
0,95 0,9604 0, 91238
0,9998.
0,95 0,9604 0,05 0,0036 0,91256
PH PD H PH PD H
PC PH D
PD PH PD H PH PD H
⋅⋅
= = = =
⋅ +⋅
⋅
= = ≈
⋅ +⋅
работы системы контроля качества по отношению к факту стандартности заготовки:
;
2
.
Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:
2
( ) ( ) ( | ) 0,95 0,98 0,05 0,06 0,934
PA PH PAH
= ⋅ =⋅+⋅=∑.
ii
i
=
1
б) Событие B отражает факт стандартности заготовки при ус-
ловии, что она прошла контроль качества,
. Вероятность
1
события B найдем по формуле Байеса:
.
в) Предполагается, что результат процедуры проверки качества
не зависит от того подвергалась ли заготовка ей ранее и каковы были
результаты проверки. Таким образом, события, выражающие положительный или отрицательный результат каждой проверки одной
и той же заготовки, независимы. С учетом двукратного прохождения
заготовкой контроля качества получим новые значения вероятностей
допуска заготовки системой контроля качества, событие D = {взятая
наудачу заготовка прошла два раза контроль качества}, по отношению к гипотезам о стандартности заготовки:
;
.
Тогда вероятность события C определим по формуле Байеса:
По результатам расчета видно, что двукратное применение контроля качества практически исключает прохождение на дальнейшую
обработку нестандартных заготовок.
3.32. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики в общем объеме составляет 20 %, второй —
46 % и третьей — 34 %. Известно также, что процент нестандартных
— 63 —
3. Зависимые и независимые события
изделий для первой фабрики равен 3 %, для второй — 2 % и, наконец, для третьей — 1 %. Наудачу взятое изделие оказалось нестандартным, найти вероятность того, что оно произведено на первой
фабрике.
3.33. Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной — 5 белых и 1 черный
шар. Из наугад взятой урны извлечен шар. Чему равна вероятность
того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если
он оказался белым?
3.34. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно,
что вероятность попадания у первого охотника равна 0,3, а у второго — 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание
в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник? Чему равна вероятность того, что промахнулся второй охотник?
3.35. По линии связи передается двоичный сигнал из нулей
и единиц. Вероятности передачи безошибочной передачи нуля равна
0,75, а вероятность безошибочной передачи единицы 0,90. В передаваемом сигнале 40 % нулей и 60 % единиц. Определите вероятность
того, что по линии связи (на входе) был передан нуль, если на выходе
линии получен нуль.
3.36. В одной студенческой группе обучаются 24 студента,
во второй — 36 студентов, в третьей — 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки 6 студентов первой
группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математическому
анализу отметку «отлично». Какова вероятность того, что он учится
в первой группе?
3.37. Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу по экзаменационным билетам, содержащим по три вопроса. Он знает,
что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих студентов, из них шесть отличников, и трое неуспевающих студентов,
и считает, что отличники ответят на все три вопроса с вероятностью
— 64 —
3.4. Задачи и упражнения
80 %, остальные успевающие студенты — с вероятностью 60 % и неуспевающие — с вероятностью 20 %. Вызванный студент ответил
на все три вопроса билета. Какова вероятность того, что он: а) отличник; б) успевающий студент; в) неуспевающий студент?
3.38. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовиться
по 30 вопросам. Из 25 студентов 10 подготовились ответить на все
вопросы, 8 — на 25 вопросов, 5 — на 20 вопросов и двое — на 15.
Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос.
Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовился по всем
вопросам; б) подготовился ответить только на половину вопросов;
в) подготовился ответить не менее чем на две трети вопросов.
3.39. Группа студентов состоит из 6 отличников, 12 хорошо
успевающих и 3 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем
экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные
оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти
вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
Студент получил хорошую оценку, найти вероятность того, что это
слабо или хорошо занимающийся студент.
3.40. На уроке физической культуры 10 учеников выполняют
штрафные броски в баскетбольное кольцо. Пятеро из них попадают в кольцо в среднем 6 раз из 10, трое — 5 из 10, а остальные —
3 из 10. Наугад вызаваются два ученика и выполняют по одному броску в кольцо. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание. Найти вероятность того вызваны ученики из группы с наилучшей статистикой попаданий, если было два попадания.
— 65 —
4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ
p
1qp= −
01m≤≤
( )
m m nm
nn
!!
À
( )
11
n
n
Pm q≥=−
ИСПЫТАНИЯ
Предположим, что событие A происходит в результате некото-
рого испытания, притом вероятность события A постоянна и равна
Очевидно, что результатом испытания также является событие A
с вероятностью
Предположим, что проведена серия из n независимых испытаний. Такую серию можно рассматривать как одно испытание, результатом которого является произведение событий A и A, произошедших в серии.
В такой постановке важен не порядок событий (так как они
независимы), а количество (повторяемость) появления событий A
и A в серии испытаний.
Пусть m — частота появления события A в серии испытаний,
очевидно, что
в серии из n испытаний ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли:
!
где
m
C
n
n
=
mnm
( )
−
Вероятность наступления события
проведении n независимых испытаний равна:
.
4.1. Формула Бернулли
. Вероятность того, событие A появится
P m C pq
.
= , (38)
−
хотя бы один раз при
. (39)
— 66 —
4.2. Теорема Пуассона
m
2
m
1
nn
Pm m m Pk
A
0
np q m np p−≤ ≤ +
( )
0
n
Pm=
( )
1
n
Pm=
( )
Pm n
0,1,...,n
( )
0
n
Pm=
( )
1
n
Pm=
( )
Pm n
( ) ( )
1; 0 , 1; 0n−+
( )
Pm
300! 200!
Pm C pq pq= = ⋅⋅= ⋅⋅
⋅
( )
Pm
Вероятность того, что событие A при проведении n независи-
мых испытаний наступит не менее
раз и не более
1
раз вычис-
ляется по формуле:
m
2
∑
km
=
. (40)
≤≤ =
( ) ( )
12
Иногда требуется найти наивероятнейшею частоту появления
события
, то есть частоту с максимальной вероятностью. Такая
частота определяется с помощью неравенства:
Длина интервала неравенства равна 1, поэтому если границы
. (41)
интервала целые числа, то имеются две наивероятнейшие частоты,
в противном случае — только одна.
Рассмотренная выше схема испытания в виде серии n независимых простых одинаковых испытаний с двумя возможными исходами, вероятность которых для каждого простого испытания постоянна, называется схемой Бернулли или биномиальной схемой.
Чтобы нагляднее представить свойства ряда вероятностей
,
, …,
= строят полигон их распреде-
n
ления. Для этого берут прямоугольную систему координат и на оси
абсцисс отмечают точки
. Из этих точек восстанавливают
к оси абсцисс перпендикуляры, длины которых равны соответственно
,
, …,
= . Фигура, ограниченная зам-
n
кнутой ломаной, вершинами которой являются концы построенных
перпендикуляров и точки
, называется полигоном
биномиального распределения.
4.2. Теорема Пуассона
Допустим, что необходимо вычислить по формуле Бернулли
для большого числа испытаний, например
n
300
( )
500 500
Очевидно, что чисто технически такое вычисление затруднительно. Поэтому возникает необходимость иметь более простые
формулы для вычисления
300 300 200 300 200
при больших n.
n
— 67 —
500!
4. Повторные независимые испытания
A
( )
0
( )
np⋅
( )
np⋅→
λλ
( )
Pm
!
m
0p →
n →∞
np →
λ
np=
λ
20np= <
λ
!
nm
m
≈=
( )
Pm
()
2
m np
x
npq
−
=
20npq⋅⋅≥
Такие формулы называются асимптотическими, они существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласса.
Теорема Пуассона. Если вероятность p наступления события
в каждом испытании стремится к нулю
ном увеличении числа испытаний n
стремится к постоянному числу
того, что событие A появится m раз в n независимых испы-
n
p → при неограничен-
n →∞ , причем произведение
, то вероятность
таниях удовлетворяет предельному равенству:
m
−
λ
e
Pm P
lim
n
→∞
= =
( ) ( )
nm
Строго говоря, условие теоремы Пуассона
так, что
, противоречит схеме Бернулли. Однако, если ве-
λ
λ
. (42)
при
роятность p — постоянна и мала, а число испытаний n — велико и число
— незначительно (будем полагать
то получим приближённую формулу Пуассона:
m
−
λ
e
Pm P
λ
( ) ( )
λ
. (43)
Значения функции Пуассона приводятся в приложении 1.
),
4.3. Локальная теорема Лапласа
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при
достаточно большом числе n, приближенно равна:
()
где
fx e
=
Приближенные значения локальной теоремы Муавра — Лапласа на практике используются как точные при
2
x
−
1
2
π
Pm
( )
n
fx
≈
npq
— функция Гаусса, а
— 68 —
того, что
n
, (44)
.
.
4.4. Интегральная теорема Лапласа
()fx
()fx
()fx
( ) ()f x fx−=
()fx
0x >
lim ( ) 0
x
fx→∞=
() 0fx≈
4x >
m
( ) ( ) ( )
21n
Pa m b x x≤ ≤ ≈Φ −Φ
( )
2
2
1
2
x
t
x e dt
−
−∞
Φ=
∫
π
x
( ) ( ) ( )
21
1
2
n
Pa m b x x≤ ≤ ≈ Φ −Φ
20npq⋅⋅≥
Для упрощения расчетов значение функции
дается таблично (приложение 2), пользуясь этой таблицей необходимо знать
свойства функции
1. Функция
2. Функция
, на практике полагают
:
является четной, то есть
монотонно убывающая при
уже при
.
, причем
.
4.4. Интегральная теорема Лапласа
Часто необходимо найти вероятность того, что число появления
события A находится в некотором интервале. Такую задачу можно
решить с помощью интегральной теоремы Муавра — Лапласа.
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число
наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b включительно, при достаточно большом
числе n приближенно равно
где
x
= .
2
b np
−
npq
— функция Лапласа,
В некоторых учебниках функция Лапласа приводится в виде
( )
2
π
2
x e dt
Φ=
2
∫
0
(число 2 перед интегралом появляется в силу
2
t
−
чётности подынтегральной функции и симметричности промежутка
интегрирования), в силу этого изменится и формула подсчёта веро-
ятности
, (45)
.
−
a np
=
x
1
npq
;
Приближенные значения интегральной теоремы Муавра — Ла-
пласа считаются точными при
Значение функции Лапласа также сведены в таблицу (см. При-
ложение 3), пользуясь ею необходимо помнить:
.
— 69 —
4. Повторные независимые испытания
( )
xΦ
( ) ( )
xx
( )
xΦ
( )
lim 0,5
( )
0,5
4x >
( )
2
2
2
2
x
t
x e dt
−
−∞
Φ=
∫
π
4x >
( )
1
Φ≈
m
n
m
n
p
0>
ε
2
n
mn
Pp
n
pq
− ≤ ≈Φ
ε
ε
m
n
21
m
P zz
n
2
p
z
pq
n
−
=
β
1. Функция
2. Функция
Φ=, на практике полагают
xx→∞
(при условии, что функция примет вид
x
).
является нечетной, то есть
Φ − = −Φ .
монотонно возрастающая, то есть
xΦ≈ уже при
, при
4.5. Отклонение относительной частоты
от постоянной вероятности
в независимых испытаниях
Часто необходимо решать задачи исследуя вероятность нахож-
дения относительной частоты
дачи решаются с помощью следствий теоремы Муавра — Лапласа,
рассмотренных ниже.
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:
а) доля (частота)
не более чем на
события À отличается от его вероятности
(по модулю), есть
в некоторых пределах. Такие за-
б) доля (частота)
до β включительно, есть
αβ
n
p
−
α
z
=
где
1
pq
,
; (46)
события A заключается в пределах от α
≤ ≤ ≈ Φ −Φ
n
— 70 —
( ) ( )
, ( 47)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]