Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
для студентов направлений подготовки
38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
Макеевка 2024
Е. Ю. Чудина
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
практикум
УДК 519.21(076)
ББК 22.171я7
Ч 84
советом федеральногоУченымизданиюкРекомендовано
государственного бюджетного высшегоучрежденияобразовательного
Ч 84 Чудина, Е. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика :
практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и
38.03.02 «Менеджмент» / Е. Ю. Чудина. – Макеевка : ФГБОУ ВО «ДОННАСА»,
2024. – 103 с.
Рецензенты:
А.Дзундза докторИ., педагогических наук, профессорпрофессор;
кафедры теории упругости и вычислительной математики им. академика
А. С. Космодамианского ф государственного бюджетногоедерального
обра высшегоучреждения образованиязовательного «Донецкий
государственный университет»;
Жмыхова Т. В., кандидат физико-математических наук, доцент; доцент
кафедры высшей математики федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования «Донбасская национальная
академия строительства и архитектуры».
Практикум включает в себя задачи и теоретический материал по
дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Предназначен
для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика», профиль:
Экономика предприятия и 38.03.02 «Менеджмент», профиль: Производственный
менеджмент в строительстве образовательных учреждений высшего
профессионального образования и преподавателей для использования в учебном
процессе.
УДК 519.21(076)
ББК 22.171я7
© Е. Ю. Чудина, 2024
© ФГБОУ ВО «ДОННАСА», 2024
образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
25 марта 2024 г., протокол № 8.
Оглавление
Введение ....................................................................................................................... 4
1. Классическое определение вероятности ....................................................... 5
1.1. Задачи (базовый уровень). .............................................................................. 8
1.2. Задачи (углубленный уровень). ..................................................................... 9
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей ......................................... 10
2.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 14
2.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 16
3. Условная вероятность. Формула полной вероятности и Байеса .............. 18
3.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 23
3.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 25
4. Повторные испытания: формула Бернулли, приближенные формулы
Лапласа и Пуассона ................................................................................................... 27
4.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 31
4.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 33
5. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые
характеристики дискретной случайной величины ................................................ 34
5.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 43
5.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 46
6. Закон распределения непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение ...................................................................................... 48
6.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 61
6.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 63
7. Выборка и ее числовые характеристики. .................................................... 67
7.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 78
7.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 79
8. Элементы регрессионного анализа. ............................................................ 81
8.1. Задачи (базовый уровень). ............................................................................ 87
8.2. Задачи (углубленный уровень). ................................................................... 89
Контрольные вопросы ............................................................................................... 91
Приложения ............................................................................................................... 92
1. Значения функции Гаусса ............................................................................ 92
2. Значения нормированной функции Лапласа .............................................. 93
Томас Байес ............................................................................................................ 94
Симеон Пуассон ..................................................................................................... 95
Абрахам де Муавр .................................................................................................. 96
Пьер Лаплас ............................................................................................................ 98
Якоб Бернулли ........................................................................................................ 99
Иоганн Гаусс ........................................................................................................ 101
Литература ............................................................................................................... 103
3
4
Введение
Практикум содержит задачи по теории вероятностей и математической
статистике – разделу математики, изучаемому на втором курсе студентами
направления 38.03.01 Экономика, профиль: Экономика предприятия (ЭП) и
38.03.02 Менеджмент, профиль: Производственный менеджмент в строительстве
(ПМ). Пособие содержит задачи по всем основным темам дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика». Предложены задачи двух уровней
сложности – базового и углубленного, что нашло свое отражение в структуре
издания. В каждом параграфе приведены основные теоретические сведения по
темам раздела. Рассмотрены следующие темы: элементы комбинаторики,
классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения
вероятностей, условная вероятность, схема Бернулли, понятие случайных
величин и их законы распределения, числовые характеристики случайных
величин. Приведены задачи математической статистики на вычисление
числовых характеристик выборки, построение доверительных интервалов
оценок распределения; элементы корреляционного анализа.
Издание содержит элементы интерактивного взаимодействия – в текст
практикума включены активные ссылки на теоретические положения,
приведенные в пособии, а также на приведенные в приложениях биографии
математиков, внесших вклад в развитие теории вероятностей.
Пособие рекомендовано студентам для изучения дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика» и самостоятельной подготовки, а
также преподавателям при проведении практических занятий. Задачи базового
уровня могут быть использованы как задания для индивидуальной или
самостоятельной аудиторной работы обучающихся.
5
1. Классическое определение вероятности
Случайное событие – это часть исходов некоторого опыта.
Вероятностью случайного события называется отношение количества
исходов опыта , которые благоприятны событию , к общему количеству
исходов опыта :
Противоположным событию А называется случайное событие
, которое
состоит в том, что в результате испытания не происходит случайное событие А.
Если события и
– противоположные, то сумма их вероятностей равна
единице:
Достоверное событие – это событие, всегда происходящее в результате
некоторого испытания. Вероятность достоверного события равна 1.
Невозможное событие – это событие, никогда не происходящее в
результате испытания. Вероятность невозможного события равна 0.
Перестановки – это комбинации всех элементов множества,
различающиеся между собой только порядком элементов.
Число перестановок элементов множества вычисляется по формуле:
где – факториал числа
Сочетания элементов из множества элементов – это
комбинации элементов, которые различаются составом элементов, но порядок
элементов при этом значения не имеет.
Число сочетаний элементов из элементов множества вычисляется по
формуле:
6
Размещения элементов из множества элементов – это
комбинации элементов, различающиеся между собой не только набором
элементов, но и их порядком.
Число размещений вычисляется по формуле:
Правило сложения. Если элемент х можно выбрать т способами, а элемент
у – п способами, то набор элементов (х или у) можно выбрать т+п способами.
Правило умножения. Если элемент х можно выбрать т способами, а
элемент у – п способами, то набор элементов (х и у) можно выбрать т п
способами.
Пример 1.1. Сколькими способами можно выбрать профорга и его
заместителя из группы 25 студентов?
Решение
Выбирается 2 элемента из множества 25 элементов, при этом порядок
элементов имеет значение (например, Петров – профорг, Иванов – заместитель
или Петров – заместитель, Иванов – профорг – это различные комбинации).
Значит, при количестве студентов 25 человек профорга и его заместителя
можно выбрать 600 способами.
Пример 1.2. Сколькими способами можно пригласить двух студентов из
группы 25 студентов для помощи в библиотеке?
Решение
Порядок выбора значения не имеет, это число сочетаний:
Значит, выбрать двух помощников можно 300 способами.
7
Пример 1.3. Сколькими способами можно распределить по жребию 20
номеров для участников соревнований? Какова вероятность, что конкретному
участнику выпадет 13 номер?
Решение
Поскольку порядок номеров имеет значение, это число перестановок:
По классическому определению вероятности вероятность того, что
участнику выпадет 13 номер:
Пример 1.4. Какова вероятность угадать 5 чисел из 6 в лотерею, если для
того, чтобы сорвать джек-пот, нужно угадать 6 чисел из 36? Какова вероятность
сорвать джек-пот?
Решение
Всего способов выбрать 6 чисел из 36 (порядок значения не имеет):
Способов угадать 5 чисел из 6 (одно число не совпадает с выигрышной
комбинацией и выбирается из остальных чисел):
Вероятность угадать 5 чисел из 6:
Вероятность сорвать джек-пот (одна выигрышная комбинация):
Пример 1.5. На предприятии работает 30 человек. Необходимо составить
график работы в праздничный день, учитывая, что предприятие работает в три
смены по 4 человека. Какая вероятность того, что конкретный работник будет
поставлен в график?
8
Решение
Необходимо выбрать три смены по 4 человека и расставить эти смены в
разном порядке:
Способов поставить конкретного работника в график выходного дня в
одну из трех смен (нужно выбрать три смены с учетом того, что один работник
уже в списке):
Тогда вероятность, что конкретный работник будет поставлен в график:
1.1. Задачи (базовый уровень).
1.Б.1. Бросают две игральные кости. Какая вероятность того, что сумма
очков четная?
1.Б.2. Из 10 единиц продукции, среди которых четыре второго сорта,
выбирают три. Какая вероятность того, что среди них одна единица продукции
второго сорта?
1.Б.3. Из 15 смартфонов 10 черного цвета. Какая вероятность того, что из
выбранных наугад 4-х два черного цвета?
1.Б.4. Из 40 вопросов теста студент знает ответ на 30 вопросов. Какая
вероятность того, что студент ответит на два тестовых вопроса из трех?
9
1.Б.5. В ящике комода 3 серых и 5 черных носков, выбирают два носка.
Какая вероятность того, что они разного цвета?
1.Б.6. Кидают две игральные кости. Какая вероятность того, что число
выпавших очков будет больше 8?
1.Б.7. На предприятии предлагается сотрудникам 40 путевок на летний
отдых, среди которых 15 в Крым. Какая вероятность того, что из 10 выбранных
путевок 4 – в Крым?
1.Б.8. Из игральной колоды (52 карты) участнику игры раздают 5 карт.
Какая вероятность того, что игрок получит ровно одного туза?
1.Б.9. На витрине 10 колбас, из которых 4 – Енакиевского завода. Какая
вероятность того, что среди трех выбранных колбас одна – Енакиевского завода?
1.Б.10. Дистанционная контрольная включает в себя 25 вариантов билетов
по два задания. Обучающийся разобрал решение 45 заданий. Какая вероятность
того, что полученный им вариант будет содержать подготовленные задания?
1.Б.11. Известно, что из 9 яиц 5 высшей категории. Какая вероятность того,
что из 3 яиц, снесенной курицей, одно высшей категории?
1.Б.12. Дистанционная контрольная включает в себя 20 билетов по два
вопроса. Обучающийся подготовил ответ на 35 вопросов. Какая вероятность
того, что полученный билет состоит из неподготовленных вопросов?
1.Б.13. Среди 8 рыб 5 с икрой. Какая вероятность того, что среди трех
пойманных рыб только одна с икрой?
1.Б.14. Имеется 6 серых и 5 черных носков. Вынимают два носка. Какая
вероятность того, что они одинакового цвета?
1.Б.15. На предприятии 30 сотрудников, среди которых 10 должны пойти в
отпуск зимой. Какая вероятность того, что из 10 выбранных наугад сотрудников
4 идут в отпуск зимой?
1.2. Задачи (углубленный уровень).
1.У.1. На склад поступило 5 бракованных изделий и 23 – стандартного
качества. На проверку выбирают 3 изделия. Какая вероятность того, что партия
10
будет забракована, если известно, что партия признается бракованной, если при
проверке трех изделий хотя бы одно – нестандартно? 0,298.
1.У.2. Десять видов мороженого расставляются на одной витрине в ряд.
Какая вероятность того, что 3 вида мороженого Донецкой фабрики окажутся
рядом? 1/15.
1.У.3. Какая вероятность того, что среди группы 25 студентов ДонНАСА
хотя бы у двух день рождения окажется в один день? Для простоты расчетов
високосные годы не рассматривать. 0,569.
1.У.4. На складе имеется 7 единиц продукции завода А, 3 единицы
продукции завода В и 5 единиц продукции завода С. Всю продукцию загружают
в три грузовых автомобиля. Найти вероятность того, что: а) в каждом грузовом
автомобиле по 1 единице продукции завода В; б) в случайно выбранном
грузовом автомобиле нет продукции завода В. а) 25/546; б) 2/1911.
1.У.5. В партии из 15 образцов изделий выбирают 2 на проверку.
Вероятность того, что они окажутся не соответствующими ГОСТу, оказалась
меньше 5%. Определить возможное количество образцов в партии, не
соответствующих ГОСТу. Менее 4.
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой (объединением) событий А и В называется случайное событие
, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий А и В.
Произведением (пересечением) событий А и В называется случайное
событие , состоящее в том, что происходят события А и В одновременно.
Два случайных события А и В называются совместными, если оба они
могут произойти одновременно в результате опыта. Если же появление одного
случайного события исключает появление другого, то такие события называются
несовместными. Если события несовместны, то их произведение является
невозможным событием:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]