Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
21
Тогда вероятность, что предохранитель из первого цеха, если он оказался
непригодным, по определению условной вероятности:
Способ 2. Условные вероятности выхода из строя предохранителей
мы нашли ранее. Вероятность того, что выбранный на
проверку предохранитель из первого цеха:
Вероятность того, что выбранный предохранитель из второго цеха:
Найдем вероятность того, что выбранный наугад предохранитель вышел
из строя. События
образуют полную группу событий. Используем
формулу полной вероятности:
По формуле Байеса вероятность того, что предохранитель из первого цеха,
если он оказался непригодным:
Пример 3.3. На курсе обучается 20% студентов со строительного
факультета, 50% – с экономического, остальные студенты – с физического
факультета. При этом вероятность получения повышенной стипендии для
студента строительного факультета равна 2%, для студента экономического
факультета – 3%, физического – 4%. Найти вероятность, что наугад выбранный
студент получает повышенную стипендию.
22
Решение
Обозначим: гипотезы – студент со строительного факультета,
–
с экономического, – с физического; событие – студент получает
повышенную стипендию. По условию,
Тогда по формуле полной вероятности вероятность того, что студент
получает повышенную стипендию:
Пример 3.4. Завод в среднем производит 0,5% бракованных заготовок.
Заготовки проверяет контролер, который может обнаружить дефект с
вероятностью 0,99. Контролер может также по ошибке забраковать
качественную заготовку с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что:
а) заготовка будет признана качественным;
б) заготовка будет признана качественным по ошибке?
Решение
Обозначим: гипотезы – заготовка бракованная,
– заготовка
качественная; событие – заготовка признана качественной. По условию,
тогда
а) по формуле полной вероятности вероятность того, что заготовка будет
признана качественной:
б) по формуле Байеса вероятность того, что заготовка будет признана
качественной по ошибке (то есть она при этом бракованная):
23
Пример 3.5. В условиях примера 3.3 определить, с какого факультета
студент, получающий повышенную стипендию.
Решение
Гипотезы – студент со строительного факультета,
–
с экономического, – с физического; событие – студент получает
повышенную стипендию.
По формуле полной вероятности вероятность того, что студент получает
повышенную стипендию:
По формуле Байеса, при условии, что студент получает повышенную
стипендию, вероятность того, что он со строительного факультета:
С экономического факультета:
С физического факультета:
Значит, наиболее вероятно, что этот студент с экономического факультета.
3.1. Задачи (базовый уровень).
3.Б.1. Заготовки поступают из двух цехов: 70% из Горловского и 30% из
Макеевского. При этом заготовки из Горловского цеха имеют 1% брака, а
Макеевского – 2% брака. Какая вероятность того, что одна взятая наудачу
заготовка будет без дефектов?
3.Б.2. Светодиодная лампа может принадлежать к одной из трех партий
разных производителей с вероятностями 0,25; 0,35; 0,4. Вероятности сгорания
24
лампы в течение года в зависимости от производителя равны соответственно 0,2;
0,1; 0,4. Какая вероятность того, что светодиодная лампа проработает в течение
года?
3.Б.4. Два школьника пишут контрольный диктант. Вероятность, что
первый школьник допустит ошибку, равна 0,05; второй – 0,1. При проверке
работы проверяющий обнаружил ошибку. Какая вероятность того, что ошибся
первый школьник?
3.Б.5. Студент для подготовки к экзамену выучил первые 12 билетов из 20.
Если студент выберет наугад один из первых 12 билетов, то он получит отметку
«отлично» с вероятностью 0,6; если один из остальных билетов, то получит
отметку «отлично» с вероятностью 0,3. Найти:
а) вероятность того, что студент получил отметку “отлично”;
б) студент получит отметку «отлично». Какая вероятность того, что он
вытащил один из первых 12 билетов?
3.Б.6. Колбасная продукция региона изготавливается на трех заводах.
Макеевский завод производит 45% общего количества колбасной продукции,
Енакиевский – 40%, Горловский – 15%. Продукция Макеевского завода
содержит 84% продукции высшего сорта, Енакиевского – 80%, Горловского –
82%. В магазины поступают изделия всех этих заводов. Какая вероятность, что
а) купленная колбасная продукция окажется не высшего сорта;
б) купленная колбасная продукция оказалась высшего сорта. Какая
вероятность того, что она изготовлена Макеевским заводом?
3.Б.7. На строительный склад попадают изделия трех частных
предприятий. Известно, что ЧП Иванов дает 0,3% брака, ЧП Петров 0,2% брака,
ЧП Козлов 0,4%. ЧП Иванов изготовило 1000 изделий, ЧП Петров и ЧП Козлов
– по 2000 изделий.:
а) Какая вероятность, что на строительный склад поступило бракованное
изделие?
б) Известно, что на склад поступило качественное изделие. Какая
вероятность, что его изготовило ЧП Петров?
25
3.Б.8. Донецкий машиностроительный завод в 3 раза мощнее Макеевского
завода. На Донецком машиностроительном заводе 80% изделий высшего сорта,
на Макеевском – 95%.
а) Какая вероятность того, что выбранное изделие высшего сорта?
б) Получено изделие не высшего сорта. Какова вероятность того, что оно
изготовлено Донецким машиностроительным заводом?
3.Б.9. Мужчина покупает товар под влиянием рекламы с вероятностью 0,2,
женщина – с вероятностью 0,6. Известно, что супермаркет в 2 раза чаще
посещают женщины, чем мужчины. Если товар был куплен, насколько
вероятнее, что его купила женщина?
3.Б.10. Известно, что завод №1 произвел 20 легковых автомобилей
красного цвета и 5 черного, завод №2 – 10 легковых автомобилей черного и 30
серого цвета. Автомобили поступают в один автосалон. Считая выбор цвета
случайным, найти вероятность:
а) будет продан автомобиль черного цвета;
б) продан автомобиль черного цвета. Какова вероятность, что он был
изготовлен на заводе №1?
3.2. Задачи (углубленный уровень).
3.У.1. Вероятность того, что студент строительного факультета сдаст
экзамен по физике, равна 15%; вероятность того, что не сдаст экзамен по
математике – 10%; вероятность того, что не сдаст оба предмета – 1%. Зависимы
ли эти события – «студент сдаст экзамен по физике» и «студент сдаст экзамен по
математике»? Зависимы.
3.У.2. Студент Петров выучил 15 вопросов из 20 для подготовки к
семинару. Преподаватель задает вопросы всем студентам. Какая вероятность
того, что Петров сможет ответить на второй вопрос? 0,75.
3.У.3. На предприятии работает 20 сотрудников. Из них 5 имеет стаж менее
3 лет, 12 – стаж от 3 до 10 лет, остальные – более 10 лет. Вероятность получить
премию для сотрудников со стажем менее 3 лет составляет 25%, от 3 до 10 лет –
26
36%, более 10 лет – 40%. а) Какая вероятность того, что случайно выбранный
сотрудник получит премию? б) При условии, что сотрудник получил премию,
какой стаж у него вероятнее всего? а) 0,3385; б) 0,18.
3.У.4. В первой партии изделий брак составил 1%, во второй – неизвестно.
Объем первой партии в 3 раза больше, чем второй. В среднем по двум партиям
брак составил 1,2%. Какая вероятность брака во второй партии? 1,8%.
3.У.5. На строительной площадке работает два датчика охранной
сигнализации, которые никогда не срабатывают одновременно. Вероятность
срабатывания сигнализации при нарушении охранного контура на первом
датчике 0,03, на втором – 0,07. Охранный контур нарушается в среднем с
вероятностью 0,06 за смену. Какая вероятность того, что сработал второй
датчик? 0,75.
3.У.6. Выпускники строительного факультета проходят собеседование.
Вероятность того, что его примут на работу, для Иванова равна 0,8; для Петрова
– 0,7; для Козлова – 0,6. По результатам собеседования приняли на работу только
одного из них. Какая вероятность того, что на работу был принят Козлов? 0,19.
3.У.7. Из 40 изделий ЧП Козлов 35 – высшего сорта, остальные – первого.
Отдел качества проверяет два изделия. При проверке какого изделия ЧП Козлов,
первого или второго, вероятность того, что оно высшего сорта, выше? Одинакова
и равна 1/8.
3.У.8. Страховая компания относит 50% водителей к классу А (низкий риск
аварии), 30% к классу В (средний риск) и 20% к классу С (высокий риск).
Вероятность того, что водитель класса А в течение года попадет в аварию, равна
0,01; класса В – 0,05; класса С – 0,1. Какова вероятность, что:
а) случайно выбранный водитель – клиент компании – в течение 3 лет не
попадет в аварию;
б) три случайным образом отобранных клиента не попадут в аварию в
течение года? а) 0,888; б) 0,885.
27
4. Повторные испытания: формула Бернулли, приближенные формулы
Лапласа и Пуассона
Пусть подряд проводится независимых испытаний, и в каждом из
которых случайное событие может произойти с вероятностью и не
произойти с вероятностью
Такая последовательность опытов
называется схемой Бернулли. Вероятность того, что случайное событие
произойдет ровно раз в испытаниях, по формуле Бернулли равна:
Формула Бернулли используется, когда число испытаний невелико. Если
число испытаний велико
и вероятность наступления события мала
, то вероятность того, что событие произойдет ровно раз в
испытаниях, вычисляется по формуле Пуассона:
Наиболее вероятное число наступления события в серии опытов
определяется следующим неравенством:
где – вероятность наступления случайного события в каждом из опытов,
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в серии опытов по схеме
Бернулли число испытаний велико и вероятность наступления
случайного события в каждом испытании постоянная и где
, то вероятность того, что событие наступит раз при испытаниях,
удовлетворяет приближенному равенству:
где
– функция Гаусса.
28
Функция Гаусса задается таблично (см. приложение 1). Основные свойства
функции Гаусса:
1) функция четная, то есть
2) при можно считать, что
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в серии опытов по схеме
Бернулли число испытаний велико и вероятность наступления
случайного события в каждом испытании постоянная и где
, то вероятность того, что событие наступит не менее и не более
раз
при испытаниях, удовлетворяет приближенному равенству:
где
– нормированная функция
Лапласа.
Нормированная функция Лапласа также задается таблично
(см. приложение 2). Ее основные свойства:
1) функция нечетная, то есть
2) при можно считать, что
Пример 4.1. Вероятность того, что оборудование на строительном объекте
отработает гарантийный срок, равна 0,85.
а) Какая вероятность того, что оборудование на трех объектах из пяти
отработает гарантийный срок?
б) Какая вероятность того, что на половине объектов из четырех
оборудование отработает гарантийный срок? Описать возможные исходы
опытов.
в) Какая вероятность, что из четырех объектов не более чем на одном
оборудование выйдет из строя раньше гарантийного срока?
Решение
а) Обозначим: По формуле Бернулли:
29
б)
в) Не более чем на одном объекте оборудование выйдет из строя раньше
гарантийного срока – на всех объектах оборудование отработает гарантийный
срок или только на одном выйдет из строя:
Пример 4.2. Известно, что в регионе вероятность рождения девочки
равна 0,49.
а) Найти вероятность того, что среди троих детей в семье родятся
3 девочки; 2 девочки и 1 мальчик; 1 девочка и 2 мальчика; 3 мальчика. Сделать
вывод о наиболее вероятном исходе.
б) Какое наиболее вероятное число девочек среди 100 случайным образом
выбранных детей?
Решение
а) По формуле Бернулли вероятность рождения
3 девочек:
Вероятность рождения 2 девочек и 1 мальчика:
Вероятность рождения 1 девочки и 2 мальчиков:
Вероятность рождения 3 мальчиков:
Таким образом, наиболее вероятный исход – в семье с тремя детьми –
1 девочка и 2 мальчика.
б)
30
Наиболее вероятное число девочек среди 100 детей:
Пример 4.3. Вероятность повреждения изделия при его транспортировке
составляет 0,002. На строительную площадку поступает партия из 1500 единиц
керамической плитки. Какова вероятность, что в этой партии при
транспортировке будет повреждено не более четырех единиц плитки?
Решение
Не более четырех единиц плитки – от 0 до 4. Вероятность этого события:
Используя формулу Пуассона, получим:
Пример 4.4. Вероятность того, что бетонное изделие отвечает
требованиям прочности после 5 лет эксплуатации, равна 0,96. Найти вероятность
того, что из проверяемых 200 бетонных изделий ровно 190 отвечает требованиям
прочности.
Решение
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
По таблице значений функции Гаусса определяем:
Тогда вероятность того, что ровно 190 бетонных изделий отвечает требованиям
прочности:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]