Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
11
Вероятность суммы (объединения) двух несовместных случайных событий
равна сумме их вероятностей:
Вероятности противоположных случайных событий связаны равенством:
Если события совместны, то вероятность наступления хотя бы одного
из них вычисляется по формуле:
Случайное событие А называется независимым от события В, если
наступление события не оказывает влияния на наступление события Для
независимых случайных событий вероятность их произведения (пересечения)
равна произведению вероятностей их наступления:
Эта формула может быть использована для проверки независимости
случайных событий: если , то события А и В независимы.
Если случайные события несовместны, то вероятность их совместного
наступления равна нулю:
Пример 2.1. Работник предприятия находится в данный день на
больничном с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что из 10 работников:
а) все не находятся на больничном;
б) хотя бы один находится на больничном?
Решение
Обозначим: – все работники не находятся на больничном; – хотя бы
один находится на больничном.
Для одного работника вероятность того, что он не находится на
больничном: 1-0,01=0,99. Тогда по формуле умножения вероятностей
12
События и являются противоположными событиями, поэтому
Пример 2.2. Четыре выпускника строительного вуза проходит
собеседование для принятия на работу. Вероятности того, что их примут на
работу, соответственно для каждого из них равны 0,2, 0,3, 0,4 и 0,5. Какая
вероятность того, что на работу будут приняты три выпускника из четырех?
Решение
Обозначим – на работу принят -ый выпускник. Тогда
событие «приняты на работу три выпускника из четырех» является суммой
несовместных событий – приняты все выпускники, кроме четвертого, – все
выпускники, кроме третьего, – все, кроме второго, – все, кроме первого.
Найдем вероятности этих событий:
Отсюда вероятность того, что будут приняты на работу три выпускника
из четырех:
Пример 2.3. На строительной площадке работает два подъемных крана,
причем первый может потребовать наладки с вероятностью , а второй
– с вероятностью . События – первый кран требует наладки, –
второй требует наладки. Найти вероятность того, что один из подъемных кранов
требует наладки.
Решение
Событие – один из кранов требует наладки. События совместны
и независимы. Тогда вероятность суммы событий:
13
Действительно,
Пример 2.4. Найти вероятность полной остановки строительства, если
вероятности остановки каждого из этапов строительства следующие:
, и отказы отдельных
этапов независимы.
Решение
Строительство полностью остановится, если откажут звенья и
этап 7. Найдем вероятность отказа звена , оно откажет, если откажет хотя бы
один из этапов 1, 2, 3. Найдем вероятность противоположного события – не
откажет ни один из этапов: Тогда вероятность отказа
звена :
Рис. 2.1. Схема производства
Найдем вероятность отказа звена Оно откажет, если откажет звено
или Звено откажет с вероятностью , а звено с вероятностью
Тогда вероятность отказа звена
Вероятность отказа блока
14
Все строительство остановится, если откажет блок или этап 7,
вероятность этого события:
Пример 2.5. Кидают игральную кость. Случайное событие А – выпало
четное количество очков, случайное событие В – выпало более 3 очков.
Зависимы ли эти события?
Решение
Найдем вероятности этих событий:
Событие состоит в том, что выпало четное число очков более 3, это
числа 4 или 6. Вероятность этого события:
Значит, события А и В не являются независимыми.
2.1. Задачи (базовый уровень).
2.Б.1. Известно, что вероятности независимых совместных случайных
событий соответственно равны: р(А)=0,5; р(В)=0,7; р(С)=0,8. Какая вероятность
того, что:
а) произойдет только одно из этих случайных событий;
б) произойдет не более двух случайных событий;
в) хотя бы одно событие?
2.Б.2. Известно, что вероятности независимых совместных случайных
событий соответственно равны: р(А)=0,25; р(В)=0,45; р(С)=0,55. Какая
вероятность того, что:
а) произойдет только одно из этих случайных событий;
б) произойдет не более одного события,
в) хотя бы одно событие?
15
2.Б.3. Известно, что вероятности независимых совместных случайных
событий соответственно равны: р(А)=
; р(В)=
; р(С)=
. Какая вероятность того,
что:
а) произойдет хотя бы два из этих событий,
б) произойдет не менее двух событий,
в) хотя бы одно событие?
2.Б.4. Студент Иванов пройдет тестирование на «отлично» с вероятностью
0,6; Петров с вероятностью 0,3; Козлов– 0,7. Какая вероятность того, что:
а) пройдут тестирование на «отлично» ровно 2 студента;
б) никто из них не пройдет тестирование на «отлично»;
в) пройдет тестирование на «отлично» хотя бы один из них?
2.Б.5. Студентов Иванова, Петрова и Козлова попросили принять участие
в субботнике. Иванов обещал прийти, но вероятность того, что он сделает это,
равна 0,9; для Петрова эта вероятность равна 0,85, а для Козлова 0,95. Какая
вероятность того, что:
а) ни один из них не примет участие в субботнике;
б) хотя бы один из них не придет?
2.Б.6. Для работника предприятия вероятность уйти на больничный 0,09.
Какова вероятность, что из 3-х работников отдела:
а) трое пойдут на больничный?
б) хотя бы один пойдет на больничный?
2.Б.7. Студент Иванов должен сдать 4 экзамена во время сессии. Он
подготовился таким образом, что вероятность успешно сдать первый экзамен
равна 0,7, второй экзамен 0,8, третий 0,9, и четвертый – 0,85. Какая вероятность
того, что:
а) Иванов сможет успешно сдать только 3 экзамена;
б) Иванов не сдаст успешно хотя бы один экзамен.
2.Б.8. Строительная фирма ведет строительство на трех объектах.
Вероятность соблюдения правил безопасности в течение недели и отсутствия
16
внештатных ситуаций для первого строительного объекта равна 0,7, для второго
– 0,9, для третьего – 0,6. Какая вероятность того, что в течение недели:
а) правила будут соблюдаться на всех объектах;
б) правила будут соблюдаться только на двух объектах;
в) правила будут соблюдаться хотя бы на двух объектах?
2.Б.9. На строительной площадке используется два подъемных крана.
Вероятность того, что кран потребует технического обслуживания,
соответственно для первого и второго крана составляет 0,02 и 0,05. Какая
вероятность того, что:
а) оба крана не потребуют технического обслуживания;
б) хотя бы один не потребует технического обслуживания?
2.Б.10. Процент брака в партии кирпича равен 0,2%. Какая вероятность
того, что в закупленной партии из 1000 кирпичей:
а) нет брака;
б) хотя бы один кирпич с браком?
2.2. Задачи (углубленный уровень).
2.У.1. Инженер проводит два расчета. Вероятность того, что он допустит
ошибку при вычислениях, для первого расчета равна 0,003, а для второго – 0,002.
Что вероятнее:
а) инженер не допустит ошибки в двух расчетах;
б) ошибется хотя бы в одном из них? а) 0,995; б) 0,005. Вероятнее первое.
2.У.2. Работник может сдавать квалификационный тест не более трех раз,
после чего должен пройти переподготовку. Вероятность пройти тест с первой
попытки равна 0,5, со второй попытки (при условии неудачной первой) – 0,7, с
третьей попытки (при неудачных первых двух) – 0,7. Какая вероятность
успешной сдачи квалификационного теста? 0,955.
2.У.3. Для повышения надежности (вероятности бесперебойной работы)
производства прибор дублируется вторым идентичным прибором (рис. 2.1). При
отказе первого прибора предусмотрено переключение на запасной прибор с
17
помощью переключающего устройства. Надежность каждого прибора равняется
, а надежность устройства, подключающего второй прибор, равняется
Какая надежность системы? 0,988.
Рис. 2.2. Схема подключения приборов
2.У.4. Инженер по технике безопасности проводит тестирование среди
работников по усвоению правил техники безопасности. Каждое задание теста
содержит 4 вопроса. Сколько заданий должен содержать тест, чтобы исключить
полное угадывание всех правильных ответов с вероятностью 0,999? 5 и более.
2.У.5. Электрическая сеть состоит из n идентичных приборов, причем
вероятность отказа каждого из них равна (рис. 2.3).
а) Определить надежность системы (вероятность того, что система
продолжит работать), считая, что приборы работают независимо.
б) Насколько уменьшится надежность системы, если приборов будет
?
в) Сколько должно быть установлено приборов, чтобы надежность
системы была не менее 99%, если вероятность отказа каждого из приборов равна
0,1? а) ; б)
; в)
Рис. 2.3. Схема эле ктрической цепи
18
3. Условная вероятность. Формула полной вероятности и Байеса
Условной вероятностью случайного события A при условии, что
наступило событие В, называется отношение вероятности пересечения
(произведения) этих событий к вероятности события В:
Аналогично условной вероятностью случайного события В при условии,
что наступило событие А, будет:
Из определения условной вероятности следует, что вероятность
произведения событий равна:
Событие А называется независимым от события В, если его условная
вероятность равна безусловной, то есть
Для независимых событий вероятность произведения этих событий равна:
Группа случайных событий
образует полную группу событий
, если они попарно несовместны и в результате испытания происходит только
одно из них.
Пусть случайные события
попарно несовместны и образуют
полную группу событий, и событие происходит в результате опыта при
условии наступления одного из этих событий. Тогда по формуле полной
вероятности вероятность того, что событие произойдет в результате опыта:
События принято также называть гипотезами.
19
Условная вероятность наступления события
при условии, что
произошло событие , вычисляется по формуле Байеса:
где безусловная вероятность события вычисляется по формуле полной
вероятности.
Пример 3.1. На складе имеется 2 синих и 7 черных униформ. Заведующий
складом выдает последовательно две униформы. Какова вероятность того, что
вторая униформа окажется синей, если первая была черной?
Решение
Обозначим события: – первая униформа черная, – вторая униформа
синяя. Решим задачу двумя способами.
Способ 1. Если событие А произошло, то на складе осталось 2 синих и
6 черных униформ. Тогда
Способ 2. Найдем условную вероятность по определению:
Вероятность того, что первая форма черная:
Вероятность того, что первая форма черная и вторая синяя:
Тогда
Пример 3.2. В цехе №1 из-за скачка напряжение вышло из строя три
предохранителя из 10, в цехе №2 – 2 предохранителя из 12. Все предохранители
20
были сняты с эксплуатации и присланы на проверку. Наугад проверяют один
предохранитель.
а) Какова вероятность, что он вышел из строя, если он из первого цеха?
б) Какова вероятность, что предохранитель вышел из строя, если он из
второго цеха?
в) Какова вероятность, что предохранитель, выбранный наугад, оказался
вышедшим из строя?
г) Какова вероятность, что предохранитель из первого цеха, если он
оказался непригодным?
Решение
Обозначим – прибор вышел из строя, – прибор из первого цеха,
–
из второго цеха. Решим задачу двумя способами.
Способ 1. Используем определение условной вероятности. Условная
вероятность, что предохранитель вышел из строя, если он из второго цеха:
Условная вероятность, что предохранитель вышел из строя, если он из
второго цеха:
Найдем вероятность, что предохранитель из первого цеха, если он оказался
непригодным, по определению условной вероятности:
Вероятность того, что предохранитель из первого цеха и вышел из строя:
Вероятность того, что предохранитель вышел из строя:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]