Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
31
Пример 4.5. В условиях примера 4.4 найти вероятность того, что из
проверяемых 200 бетонных изделий от 190 до 195 изделий отвечает требованиям
прочности.
Решение
Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
По таблице значений нормированной функции Лапласа определяем:
Тогда вероятность того, что что от 190 до 195 изделий отвечает
требованиям прочности:
4.1. Задачи (базовый уровень).
4.Б.1. Известно, что что вероятность рождения девочки в регионе равна
0,49. Какая вероятность того, что:
а) среди 5 родившихся детей окажется 3 девочки;
б) среди 30 детей в классе будет 15 девочек;
в) среди 100 детей будет не менее 50 девочек.
4.Б.2. Вероятность того, что изделие пригодно, равняется 0,85. Найти
вероятности:
а) из 5 изделий все пригодные;
б) из 40 изделий 35 пригодных;
32
в) из 100 изделий более 80 пригодных.
4.Б.3. Вероятность того, что студент будет отчислен, равна 5%.
а) Какая вероятность того, что из 7 студентов 2 будут отчислены?
б) Какая вероятность того, что из 100 студентов 22 будут отчислены?
в) Какая вероятность того, что из 100 студентов будет отчислено больше
20 студентов?
4.Б.4. Студент получает отметку «отлично» по математике с вероятностью
0,15. Найти вероятности:
а) среди 6 студентов 2 получат отметку «отлично»;
б) среди 40 студентов 10 получат отметку «отлично»;
в) среди 60 студентов отметку «отлично» получат более 15 студентов.
4.Б.5. Бросают игральную кость. Найти вероятность:
а) при 7 бросках ровно 2 раза выпадет 6 очков;
б) при 40 бросках 6 очков выпадет 15 раз;
в) при 70 бросках 6 очков выпадет не менее 10 раз.
4.Б.6. Студент Петров приходит на занятия вовремя с вероятностью .
Найти вероятности:
а) за 5 дней он 4 дня будет приходить вовремя;
б) за 100 дней он придет вовремя 82 раза;
в) за 200 дней он придет вовремя более 150 раз.
4.Б.7. Вероятность того, что покупатель сделает покупку в книжном
магазине, равна 0,3. Найти вероятности:
а) из 7 покупателей сделают покупку трое;
б) из 40 покупателей сделают покупку 14;
в) из 60 сделают покупку менее 20 покупателей.
4.Б.8. Среди студентов мужского пола 20% носят обувь 44 размера. Какая
вероятность того, что:
а) среди 7 студентов мужского пола двое носят обувь 44 размера;
б) среди 60 студентов мужского пола ровно 20 носят обувь 44 размера;
в) не менее 15 среди 80 студентов мужского пола носят обувь 44 размера?
33
4.Б.9. Найти вероятность того, что:
1) герб выпадет не менее 2 раз, если монету кинули 5 раз;
2) герб выпадет 18 раз, если монету кинули 40 раз;
3) герб выпадет менее 60 раз, если монету кинули 100 раз.
4.Б.10. Вероятность того, что изделие ЧП Иванов высшего качества, равна
0,95. Какая вероятность того, что:
а) из 7 изделий 2 окажутся не высшего качества;
б) из 60 изделий 5 окажутся не высшего качества;
в) из 60 изделий будет не более 10 изделий не высшего качества?
4.2. Задачи (углубленный уровень).
4.У.1. Вероятность изготовления шкафа-купе высшего качества на
ЧП Иванов равна 0,99. Сколько шкафов должно быть изготовлено, чтобы
наиболее вероятное число шкафов не высшего сорта равнялось 10? 1000.
4.У.2. Вероятность того, что работник предприятия находится на
больничном, равна 0,01. Какая вероятность того, что из 6 сотрудников отдела: а)
ровно два находятся на больничном; б) хотя бы один находится на больничном?
а) 0,001; б) 0,059.
4.У.3. Вероятность выявления хотя бы одного нарушения правил
трудового распорядка на предприятии при четырех проверках равна 0,59. Какова
вероятность нарушения правил, если при каждой проверке она одинакова? 0,20.
4.У.4. Вероятность сбоя связи при звонке по мобильной сети составляет
0,2. Сколько звонков нужно совершить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9,
можно было считать, что произойдет не менее трех сбоев связи? 25 и более.
4.У.5. Вероятность брака в партии из 10000 изделий составляет 0,001.
Найти: а) наиболее вероятное число бракованных изделий; б) вероятность того,
что брак составит менее 0,2%. а) 10; б) 0,5993.
4.У.6. Известно, что 4% светодиодных ламп служит не менее гарантийного
срока. Какая вероятность того, что в партии из 1500 светодиодных ламп
гарантийный срок:
34
а) прослужат ровно 1440 светодиодных ламп;
б) прослужит от 1300 до 1450 светодиодных ламп;
в) не прослужит менее 50 светодиодных ламп. а) 0,05; б) 0,91; в) 0,09.
4.У.7. Считая, что вероятность рождения девочки в регионе равна 0,49,
найти такое число , чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что
среди 1000 новорожденных более девочек. 464.
4.У.8. При какой вероятности брака в проверяемой партии из 100
изделий можно утверждать, что число бракованных изделий отклонится от
наиболее вероятного числа бракованных изделий более чем на 2 изделия с
вероятностью 0,05? Менее 0,26%.
4.У.9. В рыбном хозяйстве отлавливают тысячу рыб, метят их и отпускают.
Определить количество рыбы в озере, при котором будет наибольшая
вероятность того, что среди новых пойманных 150 рыб будет 10 меченых?
От 13727 до 15000. Указание: использовать неравенство для определения
наиболее вероятного числа наступления события.
4.У.10. Завод в среднем производит 0,5% брака. Изделие проверяет
фотодатчик, который может обнаружить дефект с вероятностью 0,99.
Фотодатчик может также по ошибке забраковать качественное изделие с
вероятностью 0,01. Какая вероятность того, что:
а) изделие будет признано качественным по ошибке?
б) фотодатчик признает качественным изделие с дефектом более 5 раз из
10000? а) 0,0001; б) 0,0006. Указание: а) использовать формулу Байеса;
б) формулу Пуассона.
5. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые
характеристики дискретной случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате опыта может
принимать различные случайные значения. Дискретной случайной величиной
35
называется случайная величина, принимающая определенный набор случайных
значений (от лат. discretus – раздельный, прерывистый).
Законом распределения случайной величины называется правило
(функция, график, таблица), определяющее вероятности того, что случайная
величина примет те или иные значения. Как правило, закон распределения
дискретной случайной величины задается в виде таблицы.
…
…
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать
графически, построив ломаную, соединяющую точки
Такая ломаная называется многоугольником распределения.
Закон распределения случайной величины можно также задать функцией
, равной вероятности того, что случайная величина примет значения,
меньшие
Эта функция называется функцией распределения случайной величины
Для дискретной случайной величины, принимающей значения
с вероятностями
, функция распределения равна сумме соответствующих
вероятностей:
Функция распределения дискретной случайной величины – это разрывная
кусочно-постоянная неубывающая функция, непрерывная слева в точках
разрыва, причем
Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значения
из промежутка
:
36
Математическое ожидание случайной величины – это ее среднее
ожидаемое значение. Математическое ожидание дискретной случайной
величины , принимающей значения с вероятностями
вычисляется по формуле:
Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и
непрерывной) имеет следующие свойства:
1. математическое ожидание константы равно этой константе:
2. постоянный множитель можно вынести перед знаком математического
ожидания:
3. математическое ожидание суммы (разности) случайных величин
равно:
4. математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно:
5. математическое ожидание разности случайной величины и ее
математического ожидания равно нулю:
Дисперсией случайной величины (от лат. dispersio – рассеяние)
называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего
ожидаемого значения:
37
Согласно определению, дисперсия дискретной случайной величины ,
принимающей значения с вероятностями
вычисляется по формуле:
Дисперсия может быть вычислена и по следующей формуле:
Для дискретной случайной величины она примет вид:
Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)
имеет следующие свойства:
1. дисперсия принимает неотрицательные значения:
2. дисперсия постоянной величины равна нулю:
3. постоянный множитель можно вынести перед знаком дисперсии
(в квадрате):
4. дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин
равна:
5. дисперсия произведения независимых случайных величин равна:
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение случайной
величины – это корень из ее дисперсии:
38
Свойства стандартного отклонения следуют из свойств дисперсии
случайной величины.
Пример 5.1. Пусть случайная величина – количество выпадений четного
числа очков при троекратном бросании игральной кости.
а) Составить закон распределения и построить многоугольник
распределения;
б) составить функцию распределения.
Решение
а) Возможные исходы при бросании игральной кости: . Таким
образом, вероятность выпадения на одной игральной кости четного числа очков:
Возможные значения : 0, 1, 2 или 3. Найдем соответствующие
вероятности по формуле Бернулли ( ):
Сделаем проверку: сумма вероятностей всех элементарных событий
должна равняться 1:
Запишем закон распределения величины .
39
Построим многоугольник распределения (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Многоугольник распределения
б) составим функцию распределения.
Согласно определению, при
При
При
При
При
Таким образом, функция распределения:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
40
Построим график функции распределения (рис. 5.2).
Рис. 5.2. График функции распределения
Пример 5.2. В праздничной лотерее, проводимой студенческим
профкомом, разыгрывается 100 билетов, из них 1 билет дает выигрыш в размере
500 руб., 5 билетов – выигрыш в размере 50 руб., 10 билетов – в размере 10 руб.
а) Определить среднее ожидаемое значение выигрыша;
б) исходя из этого, определить стоимость билета, при которой
организаторы лотереи не понесут убытки;
в) определить прибыль от продажи 100 билетов, если стоимость билета
составляет 10 руб.;
г) найти дисперсию и стандартное отклонение дискретной случайной
величины – суммы выигрыша.
Решение
а) Обозначим – размер выигрыша.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]