Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
71
1) Составим вариационный ряд. Для этого упорядочим данные по
возрастанию и подсчитаем частоты, с которыми они встречаются в выборке.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 2 2 3 2 3 3 1 2
2) Вычислим относительные частоты. Общее число наблюдений:
. Относительные частоты:
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 2 2 3 2 3 3 1 2
0,1
0,1
0,1
0,15
0,1
0,15
0,15
0,05
0,1
3) Построим полигон относительных частот, отложив по оси абсцисс
значения признака , по оси ординат – относительные частоты
.
Рис. 7.1. Полигон относительных частот
4) Найдем числовые характеристики выборки. Составим расчетную
таблицу.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Сумма
0,1
0,1
0,1
0,15
0,1
0,15
0,15
0,05
0,1
1
0,01
0,02
0,03
0,06
0,05
0,09
0,105
0,04
0,09
0,495
0,001
0,004
0,009
0,024
0,025
0,054
0,0735
0,032
0,081
0,3035
72
Среднее выборочное значение :
Среднее значение абсолютной погрешности измерений в выборке
составляет 0,495 ампер.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Исправленная выборочная дисперсия
Исправленное среднее квадратическое отклонение :
В нашем случае выборка содержит три значения признака с наибольшей
частотой 3, то есть выборка имеет три моды:
Полимодальное распределение говорит о неоднородности выборки.
Подсчитаем накопленные относительные частоты.
73
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 2 2 3 2 3 3 1 2
2
4
6
9
11
14
17
18
20
В нашем случае рассмотрим значение признака, при котором накопленная
частота
впервые превысила
(накопленная частота составила ):
Таким образом, медиана выборки составляет 0,5 ампер.
Коэффициент вариации:
Так как коэффициент вариации больше 30%, выборку следует считать
неоднородной.
5) Найдем доверительный интервал для оценки
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
случайного признака
где
.
Тогда доверительный интервал для оценки :
С вероятностью 0,95 математическое ожидание признака принадлежит
этому интервалу.
74
Пример 7.2. Напряжение на датчике наблюдения (вольт, В) было измерено
при 20 наблюдениях.
5,4
5,4
5,2
5,2
4,2
5,6 5 5 5 4,6
5
4,4
4,8
5
5,6
5,6
6
4,6
4,4
4,4
По заданным выборочным значениям признака :
1) составить интервальный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
3) построить гистограмму относительных частот;
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , исправленную выборочную дисперсию
, исправленное среднее
квадратическое отклонение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
5) найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,8.
Решение.
1) Составим интервальный ряд. Определим число интервалов по формуле
Стерджесса:
Размах выборки:
Ширина интервала:
Для удобства округлим это значение до 0,4. Составим интервальный ряд,
выписав границы интервалов и подсчитав число наблюдений в каждом их них.
Интервал
4,2 - 4,6
4,6 - 5
5 - 5,4
5,4 - 5,8
5,8 - 6,2
6 6 4 3 1
2) Вычислим относительные частоты. Общее число наблюдений:
. Относительные частоты:
В качестве
примем середины
интервалов.
75
4,4
4,8
5,2
5,6
6
6 6 4 3 1
0,3
0,3
0,2
0,15
0,05
3) Построим гистограмму относительных частот, отложив по оси абсцисс
значения середины интервалов , по оси ординат – относительные частоты
.
Рис. 7.2. Гистограмма относительных частот
4) Найдем числовые характеристики выборки. Составим расчетную
таблицу.
Интервал
Середина интервала,
4,2 - 4,6
4,4
6
0,3
26,4
6
5,808
4,6 - 5
4,8
6
0,3
28,8
12
6,912
5 - 5,4
5,2
4
0,2
20,8
16
5,408
5,4 - 5,8
5,6
3
0,15
16,8
19
4,704
5,8 - 6,2
6
1
0,05
6
20
1,8
Сумма
20 1 98,8
24,632
76
Среднее выборочное значение :
Среднее напряжения на датчике наблюдения составляет 4,94 вольт.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Исправленная выборочная дисперсия
Исправленное среднее квадратическое отклонение :
В нашем случае интервальный ряд содержит 2 интервала с наибольшей
частотой 6, то есть выборка имеет 2 моды.
Первый модальный интервал: 4,2-4,6.
Второй модальный интервал: 4,6-5,0:
77
Как видим, моды совпадают, то есть мода выборки равна 4,6 вольт.
Подсчитаем накопленные относительные частоты.
Интервал
4,2 - 4,6
4,6 - 5
5 - 5,4
5,4 - 5,8
5,8 - 6,2
6 6 4 3 1
6
12
16
19
20
Медиана интервального вариационного ряда:
Медианный интервал: 4,6-5,0, в котором накопленная частота 12 впервые
превышает половину объема выборки
Коэффициент вариации:
Так как коэффициент вариации меньше 30%, выборку можно считать
неоднородной.
5) Найдем доверительный интервал для оценки
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
случайного признака
78
где
,
Тогда доверительный интервал для оценки :
С вероятностью 0,8 математическое ожидание признака принадлежит
этому интервалу.
7.1. Задачи (базовый уровень).
В результате наблюдений были получены абсолютные значения ошибки
измерения длины профиля (мм). По заданным выборочным значениям:
1) составить дискретный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
3) построить полигон относительных частот;
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , исправленную выборочную дисперсию
, исправленное среднее
квадратическое отклонение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
5) найти доверительный интервал для оценки с надежностью .
7.Б.1.
27
25
24
20
28
26
26
28
29
22
24
21
25
22
24
21
29
27
23
23
7.Б.2.
16
18
17
17
15
16
16
17
13
16
16
13
16
16
14
12
16
17
15
14
7.Б.3.
20
17
17
20
23
16
17
20
20
22
19
16
24
22
16
23
16
19
22
24
79
7.Б.4.
40
50
35
43
43
45
36
36
45
38
46
33
36
40
45
33
50
48
43
46
7.Б.5.
16
21
20
22
16
19
17
24
18
16
18
20
24
24
19
21
22
23
22
20
7.Б.6.
30
34
38
42
41
35
37
35
41
37
40
35
30
38
30
41
40
37
37
32
7.Б.7.
31
31
43
30
33
42
40
33
43
37
40
34
40
31
33
34
37
40
45
39
7.Б.8.
26
27
27
21
28
23
27
21
23
25
30
29
28
20
24
30
29
29
20
29
7.Б.9.
51
67
54
63
67
49
45
47
54
60
49
67
45
63
56
58
47
60
54
60
7.Б.10.
22
20
19
20
24
17
25
17
25
18
21
16
20
17
20
16
22
20
23
22
7.2. Задачи (углубленный уровень).
В результате наблюдений были получены значения абсолютного
отклонения значения напряжения в электрической сети (, В). По заданным
выборочным значениям признака :
1) составить интервальный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
80
3) построить гистограмму относительных частот;
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , исправленную выборочную дисперсию
, исправленное среднее
квадратическое отклонение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
5) найти доверительный интервал для оценки с надежностью .
7.У.1.
16,50
18,75
17,25
21,75
21,75
21,00
21,00
16,50
18,75
19,50
17,25
16,50
17,25
18,00
20,25
16,50
15,00
21,00
21,00
22,50
15,75
15
21
15,75
20,25
21
17,25
21
21
16,5
21,75
15,75
15,75
18
21,75
15
20,25
15,75
16,5
18
7.У.2.
13,14
17,14
12,57
12,57
13,71
14,29
16,00
12,00
16,57
11,43
14,86
12,00
16,00
14,86
14,86
12,57
15,43
13,71
11,43
17,14
15,43
17,14
11,43
14,86
17,14
13,14
14,86
14,86
16,57
16,57
14,29
12,57
15,43
11,43
16,00
16,00
11,43
15,43
13,14
16,57
7.У.3.
14,70
20,30
17,50
14,70
21,00
19,60
20,30
16,10
18,90
17,50
19,60
14,70
18,90
17,50
14,00
18,20
20,30
17,50
14,00
16,10
14,00
18,90
18,20
15,40
15,40
19,60
20,30
14,00
19,60
14,00
18,90
19,60
18,90
16,80
16,80
14,00
18,90
14,00
16,10
18,90
7.У.4.
30,00
27,60
34,80
24,00
32,40
28,80
31,20
36,00
27,60
27,60
33,60
32,40
26,40
34,80
30,00
28,80
28,80
33,60
30,00
33,60
34,80
36,00
27,60
31,20
34,80
32,40
32,40
34,80
27,60
34,80
36,00
24,00
30,00
32,40
36,00
25,20
34,80
30,00
25,20
31,20
7.У.5.
6,67
4,67
6,67
6,00
5,56
5,11
6,22
6,00
6,22
4,89
6,44
5,78
5,33
6,22
4,44
4,44
6,22
6,44
4,67
4,44
5,33
4,89
5,33
6,00
6,00
6,22
5,11
6,67
5,33
5,33
6,67
6,67
5,78
5,56
5,11
5,78
4,44
6,44
5,11
4,89
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]