Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
41
Запишем закон распределения – размера выигрыша:
500
50
10
0 0,01
0,05
0,1
0,84
Математическое ожидание:
б) Значит, лотерейный билет не должен стоить меньше 8,5 руб.
в) Прибыль от продажи 100 билетов, если стоимость билета составляет
10 руб.:
г) Дисперсия и стандартное отклонение – суммы выигрыша.
Пример 5.3. Считая, что вероятность рождения мальчика в регионе равна
0,51, найти закон распределения дискретной случайной величины – количества
мальчиков, рожденных среди четырех детей.
а) Найти и ;
б) построить многоугольник распределения и отметить значение
математического ожидания;
в) составить функцию распределения и с ее помощью определить
вероятность того, что в семье с четырьмя детьми 3 и более мальчиков.
42
Решение
а) Возможные значения : или 4. По формуле Бернулли
вероятность рождения 4 девочек:
Вероятность рождения 3 девочек и 1 мальчика:
Вероятность рождения 2 девочек и 2 мальчиков:
Вероятность рождения 1 девочки и 3 мальчиков:
Вероятность рождения 4 мальчиков:
Запишем закон распределения:
0 1 2 3 4
0,058
0,240
0,375
0,260
0,068
Математическое ожидание:
Дисперсия:
б) построим многоугольник распределения и отметим значение
(рис. 5.3).
43
Рис. 5.3. Многоугольник распределения
в) составим функцию распределения и с ее помощью определим
вероятность того, что в семье с четырьмя детьми 3 и более мальчиков.
Подсчитаем накопленные вероятности:
0 1 2 3 4
0,058
0,240
0,375
0,260
0,068
0,058
0,298
0,673
0,933
1
Функция распределения:
Вероятность того, что в семье с четырьмя детьми 3 и более мальчиков:
5.1. Задачи (базовый уровень).
5.Б.1. Распределение дискретной случайной величины – погрешности
веса детали, фиксируемой аппаратурой, – имеет вид:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4
44
-0,5
0
0,5
0,30
0,25
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – размера
упаковки с 20 деталями.
5.Б.2. Распределение дискретной случайной величины – числа
работников предприятия, находящихся на больничном – имеет вид:
1 2 3 0,6
0,3
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – числа
работников, приступивших к работе.
5.Б.3. Распределение дискретной случайной величины – тарифного
разряда рабочего – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – размера
коэффициента надбавки к заработной плате.
5.Б.4. Распределение дискретной случайной величины – стажа
сотрудника, дающего право на повышение разряда, – имеет вид:
45
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – стажа
работников через три года.
5.Б.5. Распределение дискретной случайной величины – числа
нарушений правил безопасности на предприятии, выявленных при проверке, –
имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – числа
выявленных нарушений в течение года.
5.Б.6. Распределение дискретной случайной величины – погрешности
измерения, фиксируемой аппаратурой, – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины
– погрешности
измерения после настройки.
5.Б.7. Распределение дискретной случайной величины – числа детей
у работников предприятия – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – числа детей
всех сотрудников.
46
5.Б.8. Распределение дискретной случайной величины – тарифного
разряда рабочего – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – разряда
рабочего после обязательного повышения квалификации.
5.Б.9. Распределение дискретной случайной величины – стажа
сотрудника, дающего право на повышение заработной платы, – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – надбавки
к заработной плате.
5.Б.10. Распределение дискретной случайной величины – числа
нарушений правил пожарной безопасности на строительной площадке,
выявленных при проверке, – имеет вид:
Найти числовые характеристики случайной величины:
вероятность и случайной величины – размера
штрафа за нарушения.
5.2. Задачи (углубленный уровень).
5.У.1. На строительной площадке работает 4 прожектора, каждый из
которых в случае скачка напряжения может перегореть с вероятностью 0,02.
47
Составить закон распределения числа перегоревших прожекторов после скачка
напряжения, найти его математическое ожидание и вероятность того, что
перегорит более одного прожектора.
5.У.2. В партии керамической плитки вероятность брака составляет 0,001,
объем партии – 200 шт. Составить закон распределения числа бракованной
плитки, найти среднее ожидаемое число бракованной плитки. Найти вероятность
того, что в партии будет не более одной бракованной плитки. Указание:
использовать формулу Пуассона, значениями можно пренебречь.
5.У.3. В строительном производстве используется четыре независимо
работающих этапа. Процесс производства останавливается, если
останавливается один из его этапов. Вероятности остановки каждого из этапов
производства соответственно равны:
Найти закон распределения случайной величины – числа остановившихся
этапов и ее математическое ожидание. Найти вероятность остановки
производства. .
5.У.4. Распределение дискретной случайной величины содержит
неизвестные значения
и (
):
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: = 26,
= 24. Найти значения
и .
5.У.5. Распределение дискретной случайной величины содержит
неизвестные значения
и (
):
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: ,
. Найти значения
и .
48
5.У.6. Распределение дискретной случайной величины содержит
неизвестные значения
и
:
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины:
. Найти значения и .
5.У.7. Рабочий имеет право на 8 технических перерывов за смену, из них 6
– коротких, и 2 – более длинных. Какой длины должны быть эти перерывы,
чтобы их среднее значение равнялось 7,5 минут, а дисперсия – 18,75
?
5 и 15 мин.
5.У.8. Известно, что случайная величина – количество отказов прибора в
течение производственной смены – имеет математическое ожидание 0,25 и
дисперсию 0,2875. Вероятность того, что прибор ни разу не откажет за смену,
равна 0,8. Найти закон распределения , если известно, что прибор может
отказать не более двух раз за смену.
6. Закон распределения непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина,
принимающая бесконечно много значений из некоторого промежутка.
Закон распределения непрерывной случайной величины, так же как и
дискретной, можно задать функцией
– вероятностью того, что случайная
величина примет значения, меньшие переменной
Функция распределения непрерывной случайной величины является
непрерывной неубывающей функцией, причем
49
Вероятность того, что случайная величина попадет промежуток
:
Закон распределения непрерывной случайной величины можно также
задать плотностью распределения – это производная функции
распределения непрерывной случайной величины :
Свойства плотности распределения :
1. неотрицательна:
2. функция распределения и плотность распределения
связаны
равенством:
3. вероятность попадания непрерывной случайной величины в
промежуток равна:
4. условие нормировки:
Замечание. Вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет фиксированное значение из интервала, равна нулю:
Из этого следует, что
Математическое ожидание непрерывной случайной величины ,
заданной плотностью распределения , вычисляется по формуле:
50
Если этот несобственный интеграл расходится, то говорят, что случайная
величина не имеет математического ожидания.
Дисперсия непрерывной случайной величины , заданной плотностью
распределения , вычисляется по формуле:
Дисперсия непрерывной случайной величины может быть вычислена
также по следующей формуле:
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение случайной
величины :
Непрерывная случайная величина имеет нормальный (гауссовский) закон
распределения с параметрами , если ее плотность распределения имеет
вид:
где – математическое ожидание, – стандартное отклонение
случайной величины (рис. 6.1).
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины
в интервал
где
– нормированная функция Лапласа.
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина
отклонится от своего среднего значения не более, чем на
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]