Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
51
Рис. 6.1. График плотности нормального распределения
Пример 6.1. Непрерывная случайная величина задана функцией
распределения . Найти:
а) параметры и ;
б) вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала
Построить график функции распределения.
Решение
Функция
должна быть непрерывна. Возможные точки разрыва:
В точке :
В точке :
Решая уравнение получим:
откуда
52
Функция распределения примет вид:
Вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала
:
Построим график функции распределения (рис. 6.2).
Рис. 6.2. График функции распределения непрерывной случайной
величины
Пример 6.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины
имеет вид:
Найти: параметр
Решение
По свойству плотности распределения непрерывной случайной величины
(условие нормировки):
53
Так как в нашем случае плотность распределения случайной величины –
кусочно-заданная функция, используя свойства определенного интеграла,
получим:
Плотность распределения примет вид:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
В нашем случае:
Дисперсия непрерывной случайной величины:
В нашем случае:
54
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
Вероятность попадания непрерывной случайной величины
в интервал
Тогда
Пример 6.3. Функция распределения случайной величины имеет вид:
Найти: плотность распределения,
Решение
Плотность распределения непрерывной случайной величины равна
производной от функции распределения:
Так как в нашем случае функция распределения случайной величины –
кусочно-заданная функция, получим:
55
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
Дисперсия непрерывной случайной величины:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в
интервал
можно найти с помощью функции распределения:
Тогда в нашем случае:
56
Пример 6.4. Непрерывная случайная величина задана плотностью
распределения:
а) найти коэффициент ;
б) построить график плотности распределения;
в) найти функцию распределения;
г) построить график функции распределения;
д) найти вероятность того, что случайная величина примет значение
больше
;
е) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Решение
а) Найдем коэффициент из условия нормировки плотности
распределения:
б) Построим график плотности распределения (рис. 6.3).
57
Рис. 6.3. График плотности распределения
в) Найдем функцию распределения.
Функция распределения и плотность распределения связаны равенством:
При
При
При
58
Значит, функция распределения имеет вид:
г) Построим график функции распределения (рис. 6.4).
Рис. 6.4. График функции распределения
д) Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение
больше
е) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Математическое ожидание:
Интегрируем по частям:
Пусть
, тогда
59
Дисперсия:
Интегрируем по частям, пусть
, тогда
Интегрируем по частям еще раз. Пусть , тогда
Пример 6.5. Работнику необходим некоторый срок для получения
следующего разряда, это величина имеет нормальное распределение со средним
значением 2 года и стандартным отклонением 1 год.
а) Записать плотность распределения случайной величины ;
60
б) найти вероятность того, что работник получит следующий разряд за
время от 1 до 3 лет;
в) найти вероятность того, что срок получения нового разряда отклонится
от среднего не более, чем на 1,5 года;
г) найти интервал, в котором с вероятностью 0,95 будет находиться
значение срока получения нового разряда.
Решение
а) Плотность распределения случайной величины :
б) Найдем вероятность того, что работник получит следующий разряд за
время от 1 до 3 лет:
в) Найдем вероятность того, что время получения разряда отклонится от
среднего не более, чем на 1,5 года:
г) Найдем интервал, в котором с вероятностью 0,95 будет находиться
значение срока получения нового разряда.
По условию, эта вероятность равна 0,95:
Найдем интервал, в котором с вероятностью 0,95 будет находиться
значение срока получения нового разряда:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]