Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
81
7.У.6.
22,40
17,60
20,00
21,60
16,80
20,80
18,40
16,00
21,60
22,40
18,40
20,00
16,00
20,80
20,00
22,40
24,00
16,80
20,00
18,40
20,00
16,80
24,00
19,20
20,00
16,00
24,00
16,80
20,00
21,60
20,00
20,00
16,00
18,40
22,40
23,20
22,40
19,20
17,60
18,40
7.У.7.
27,60
27,60
27,60
24,00
26,40
26,40
33,60
25,20
34,80
26,40
26,40
24,00
36,00
28,80
36,00
36,00
36,00
36,00
33,60
24,00
28,80
30,00
33,60
28,80
28,80
28,80
34,80
31,20
32,40
36,00
30,00
28,80
24,00
27,60
36,00
32,40
32,40
34,80
32,40
30,00
7.У.8.
15,00
15,00
10,00
15,00
10,50
14,00
14,50
13,50
11,50
13,00
14,50
14,00
13,50
10,50
11,00
13,00
15,00
13,00
10,50
12,00
10,50
11,50
12,50
12,50
11,00
14,50
10,50
11,50
13,00
10,50
10,00
13,50
14,00
12,50
12,00
11,00
12,50
12,00
10,50
11,50
7.У.9.
15,00
15,63
13,75
16,25
12,50
18,75
15,00
12,50
18,13
17,50
13,75
16,25
15,63
18,75
13,75
16,88
12,50
15,63
12,50
13,13
12,50
18,13
18,13
18,13
13,13
18,13
13,75
12,50
18,13
15,63
17,50
13,75
18,13
13,13
13,75
13,13
16,25
13,75
13,75
18,13
7.У.10.
12,00
10,40
10,00
12,00
12,00
10,40
10,00
8,00
8,40
10,40
12,00
9,20
10,80
8,40
12,00
11,60
8,40
10,00
11,20
9,20
11,60
10,80
10,80
8,80
10,40
8,00
8,40
8,80
10,40
10,00
10,40
11,60
9,20
9,60
11,20
8,40
9,60
9,60
9,20
10,00
8. Элементы регрессионного анализа.
Двумерная выборка – это выборка, состоящая из наблюдаемых значений
пары случайных признаков и .
82
Пусть двумерная выборка имеет объем
Графически данные выборки можно изобразить как корреляционное поле,
представляющее собой множество точек, абсциссы которых соответствуют
значениям признака , ординаты – значениям признака .
Корреляционная связь – это связь между случайными величинами, когда
изменение одной из них ведет к изменению другой.
Ковариация признаков и :
где
Коэффициент корреляции между признаками и :
где – ковариация признаков и ; и
– исправленные средние
квадратические отклонения и .
Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь между признаками
и прямая (чем больше , тем больше ). Если коэффициент корреляции
меньше нуля, то связь обратная (чем больше , тем меньше ).
Для того, чтобы оценить силу связи, используют шкалу Чеддока.
83
Связь между признаками и можно приближенно описать линейной
зависимостью. Уравнение этой зависимости называют линейной регрессией.
Уравнение линейной регрессии на имеет вид:
где – коэффициент корреляции между признаками и ,
, и
– исправленные средние квадратические отклонения
признаков и .
Пример 8.1. По заданным выборочным значениям пары признаков ,
где – плотность строительного покрытия (г/см2), – срок службы (лет):
а) построить корреляционное поле для двумерной выборки;
б) найти коэффициент корреляции между и и сделать вывод о силе и
направлении связи признаков и ;
в) составить уравнение линейной регрессии на и нанести линию
регрессии на корреляционное поле;
г) сделать прогноз относительно срока службы покрытия при плотности
покрытия, равной 1 г/см2.
84
0,14
0,27
0,41
0,45
0,76
0,84
0,80
0,51
0,67
0,30
4,14
5,55
4,24
1,25
0,12
1,77
4,29
3,64
3,71
0,27
Решение
а) Построим корреляционное поле для двумерной выборки, отметив точки
на координатной плоскости, для которых абсцисса соответствует наблюдаемому
значению признака , ордината – значению признака .
Рис. 8.1. Корреляционное поле
б) Найдем коэффициент корреляции. Для этого найдем числовые
характеристики выборки. Составим расчетную таблицу.
Последняя строка таблицы является результатом суммирования остальных
строк с данными. Число наблюдений
85
x y x2
y2
x y
0,14
4,14
0,0196
17,1396
0,5796
0,27
5,55
0,0729
30,8025
1,4985
0,41
4,24
0,1681
17,9776
1,7384
0,45
1,25
0,2025
1,5625
0,5625
0,76
0,12
0,5776
0,0144
0,0912
0,84
1,77
0,7056
3,1329
1,4868
0,8
4,29
0,64
18,4041
3,432
0,51
3,64
0,2601
13,2496
1,8564
0,67
3,71
0,4489
13,7641
2,4857
0,3
0,27
0,09
0,0729
0,081
5,15
28,98
3,1853
116,1202
13,8121
Средние выборочные значения:
Выборочные дисперсии:
86
Исправленные дисперсии:
Исправленные средние квадратичные отклонения:
Ковариация и :
Коэффициент корреляции:
В нашем случаем коэффициент корреляции меньше нуля, следовательно,
связь обратная – чем больше плотность покрытия , тем меньше срок его
службы . Так как по абсолютной величине коэффициент корреляции равен
0,242, то связь между и слабая.
в) Составим уравнение линейной регрессии на .
Уравнение линейной регрессии на имеет вид:
Подставляя числовые характеристики выборки, найденные ранее,
получим:
– эмпирическое уравнение линейной регрессии на .
Нанесем линию регрессии на корреляционное поле.
87
Рис. 8.2. Линия регрессии на
г) Сделаем прогноз относительно срока службы покрытия при плотности
покрытия, равной 1 г/см
2
. Для этого подставим в эмпирическое уравнение
линейной регрессии значение плотности покрытия , равное 1:
Таким образом, можно сделать вывод, что при плотности покрытия 1 г/см2
срок его службы составит 1,985 года, то есть около 2 лет.
8.1. Задачи (базовый уровень).
В результате наблюдений были получены значения пары признаков и ,
где – стаж работы работника (лет), – тарифный разряд. По заданным
выборочным значениям:
1) построить корреляционное поле для двумерной выборки;
2) найти коэффициент корреляции между и и сделать вывод о силе и
направлении связи признаков и .
8.Б.1.
4,0
2,0
5,5
5,5
4,5
6,5
5,0
6,5
5,0
8,4
4 2 3 4 2 1 2 1 2
4
88
8.Б.2.
13,5
13,5
4,5
7,2
11,7
12,6
13,5
1,8
3,6
3,6 3 2 2 3 4 3 4 1 4
2
8.Б.3.
6,3
9,1
10,5
1,4
9,1
7,7
10,5
4,9
6,3
10,5
3 4 2 4 4 2 3 3 2
4
8.Б.4.
7,8
5,4
3,9
10,9
3,9
5,4
7,0
5,4
7,8
1,0
2 3 1 2 3 3 1 4 3
1
8.Б.5.
1,0
0,8
2,2
2,8
2,0
3,5
2,4
2,4
3,0
1,2
1 1 3 2 1 3 2 2 1
2
8.Б.6.
5,4
13,5
9,9
11,7
3,6
7,2
11,7
11,7
5,4
10,8
2 4 3 4 3 4 4 3 4
4
8.Б.7.
9,0
8,0
4,0
9,0
6,0
7,0
8,0
11,0
0,0
7,0
4 3 2 3 3 3 2 4 3
4
8.Б.8.
3,9
10,9
7,0
11,7
2,3
10,9
5,4
9,3
1,6
9,3 2 4 2 3 1 3 2 3 1
3
8.Б.9.
30,0
5,0
20,0
15,0
10,0
25,0
20,0
15,0
10,0
20,0
4 2 4 3 3 4 4 3 3
4
89
8.Б.10.
4,0
24,0
6,0
2,0
30,0
20,0
10,0
2,0
18,0
22,0
2 4 2 2 4 4 3 1 3
4
8.2. Задачи (углубленный уровень).
В результате обследования зданий жилого фонда были получены значения
пары признаков и , где – плотность бетона (лет), – срок службы бетонного
перекрытия без разрушений. По заданным выборочным значениям:
1) построить корреляционное поле для двумерной выборки;
2) найти коэффициент корреляции между и и сделать вывод о силе и
направлении связи признаков и ;
3) составить уравнение линейной регрессии на ;
4) сделать прогноз относительно срока службы покрытия при плотности
покрытия, равной
8.У.1.
1290
1140
1310
740
1050
1440
1080
1750
820
1700
91
78
88
44
73
101
69
116
54
111
8.У.2.
990
510
1750
1720
1070
1460
500
550
1670
1230
64
38
116
110
76
101
31
36
106
77
8.У.3.
1300
950
1650
1220
900
1210
1110
670
1520
610
84
68
107
86
65
78
70
41
99
43
8.У.4.
1620
640
1550
1670
1600
1670
890
1740
1120
1550
104
39
99
106
103
106
55
114
80
99
90
8.У.5.
560
1330
1530
1270
1710
910
1500
720
1410
1010
41
84
102
88
118
56
95
45
97
62
8.У.6.
950
640
520
1010
770
610
1550
900
780
1660
68
39
30
62
50
43
99
65
56
115
8.У.7.
1630
1640
1460
1020
1570
1550
710
760
1080
1140
111
110
101
72
101
99
47
49
69
78
8.У.8.
1340
900
1400
1770
1420
710
1100
1440
1120
1680
94
65
89
113
95
47
75
101
80
115
8.У.9.
1040
670
650
770
1580
670
1470
840
1250
840
69
41
45
50
106
41
97
51
82
51
8.У.10.
1400
1150
1390
1010
1240
500
1120
1100
1040
1470
89
78
98
62
87
31
80
75
69
97
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]