Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум для студентов направлений подготовки 38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
.pdf
61
6.1. Задачи (базовый уровень).
6.Б.1. Функция распределения случайной величины имеет вид:
Найти: плотность распределения,
6.Б.2. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет
вид:
Найти: плотность распределения,
6.Б.3. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет
вид:
Найти: плотность распределения,
6.Б.4. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
Найти: плотность распределения,
6.Б.5. Функция распределения случайной величины имеет вид:
62
Найти: параметр ; плотность распределения,
6.Б.6. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
Найти постоянную С, и случайной величины X.
6.Б.7. Непрерывная случайная имеет плотность распределения:
Вычислить: параметр
6.Б.8. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), и случайной
величины X.
6.Б.9. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), и случайной
величины X.
6.Б.10. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), и случайной
величины X; вероятность попадания случайной величины X в интервал
.
63
6.Б.11. Случайная величина имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием 100, средним квадратическим отклонением 10.
Найти вероятности:
6.Б.12. Случайная величина имеет нормальное распределение с
плотностью
Найти и случайной величины X; вероятность попадания случайной
величины X в интервал
.
6.Б.13. Случайная величина имеет нормальное распределение с
, 4. Выписать плотность распределения случайной величины ;
найти вероятность того, что случайная величина примет значение более 11.
6.Б.14. Случайная величина имеет нормальное распределение с
параметрами Выписать плотность распределения случайной
величины ; найти вероятности того, что:
а) случайная величина примет значение менее 18;
б) случайная величина отклонится от своего среднего значения более, чем
на 2.
6.Б.15. Случайная величина X имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием a=16 и среднеквадратичным отклонением =4.
Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания,
вероятность попадания в который равна 0,95.
6.2. Задачи (углубленный уровень).
6.У.1. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
64
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), и случайной
величины X.
6.У.2. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X:
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), и случайной
величины X.
6.У.3. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X, имеющей равномерное распределение:
Найти функцию распределения F(x), и случайной величины X.
6.У.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины X
задана графически (рис. 6.5). Найти:
а) формулу плотности распределения;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале
от 1 до 1,5;
г) и случайной величины X.
65
Рис. 6.5. Плотность распределения
6.У.5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X
задана графически (рис. 6.6). Найти:
а) формулу плотности распределения;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале
от -0,4 до 0,4;
г) и случайной величины X.
Рис. 6.6. Плотность распределения
66
6.У.6. Задана плотность распределения непрерывной случайной
величины X, имеющей показательное распределение:
Найти функцию распределения F(x), вероятность того, что случайная
величина примет значение больше 1; и случайной величины X.
6.У.7. Срок службы прибора – случайная величина, имеющая
показательное распределение. Известно, что средний срок службы прибора
равен 500 часов. Найти:
а) вероятность того, что прибор отработает не менее 600 часов;
б) интервал, в который попадет случайная величина с вероятностью 95%.
Указание: использовать, что
6.У.8. Случайная величина имеет нормальное распределение с
параметрами 1000, 10. Найти:
а) вероятность того, что случайная величина будет отличаться от своего
математического ожидания более, чем на 20;
б) интервал, в который с вероятностью 95% попадет значение случайной
величины .
6.У.9. Случайная величина – рост сотрудников предприятия – имеет
нормальный закон распределения с параметрами
Найти:
а) вероятность того, что рост сотрудника отклонится от математического
ожидания более, чем на 10 см;
67
б) наиболее вероятное число таких сотрудников, если на предприятии
работает 1000 человек.
6.У.10. Случайная величина – размер детали – имеет нормальный закон
распределения. Средний ожидаемый размер детали Если размер детали
отклоняется от среднего больше, чем на , деталь бракуется. Найти
стандартное отклонение, если вероятность брака равна 1%. 0,78 мм.
7. Выборка и ее числовые характеристики.
Генеральная совокупность – это множество всех наблюдаемых элементов
некоторого множества.
Выборка – это часть генеральной совокупности. Математическая
статистика изучает случайные величины, и в дальнейшем мы будем
рассматривать выборки, состоящие из наблюдаемых значений некоторого
количественного признака
Статистический ряд – это последовательность всех элементов выборки.
Вариационный ряд – это последовательность значений (вариант) всех
элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. При повторении
некоторых значений принято подсчитывать частоты, с которой они встречаются
в выборке.
Относительная частота значений случайного признака
где – объем выборки (количество всех наблюдений),
– частота, с которой
встречается определенное значение случайного признака.
Вариационный ряд может быть дискретным (при небольшом числе
различных значений случайного признака в случае, если случайный признак
является дискретной случайной величиной) и интервальным (при большом числе
значений в случае, если случайный признак является непрерывной случайной
величиной).
68
Графически дискретный вариационный ряд можно изобразить с помощью
полигона частот, где оси абсцисс соответствуют значения признака , а оси
ординат – частоты или относительные частоты этих значений.
В интервальном статистическом ряде варианты группируются в
интервалы, число которых выбирается произвольно или по формуле Стерджесса:
где – число наблюдений выборки.
Ширина интервала вычисляется как:
где – число интервалов;
– размах выборки.
Интервальный вариационный ряд можно изобразить с помощью
гистограммы частот, где оси абсцисс также соответствуют значения признака ,
а оси ординат – частоты или относительные частоты этих значений.
Интервальный вариационный ряд также можно изобразить с помощью полигона
частот, где по оси абсцисс отмечают середины интервалов.
Кумулята частот (относительных частот) – это ломаная, где оси абсцисс
также соответствуют значения признака , а оси ординат – накопленные частоты
(относительные частоты) этих значений, то есть сумма частот (относительных
частот), меньших либо равных определенному значению случайного признака .
Несмещенной оценкой параметра распределения случайного признака
называется оценка, математическое ожидание которой при любом объеме
выборки равно изучаемому параметру.
Несмещенной оценкой математического ожидания случайного признака
является выборочное среднее значение:
где – число наблюдений выборки,
– наблюдаемые значения (в случае
интервального ряда – середины интервалов),
– соответствующие им частоты.
Выборочная дисперсия:
69
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Несмещенной оценкой дисперсии случайного признака является
исправленная выборочная дисперсия:
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
где – исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочное
среднее значение.
Если вариации больше 30%, выборку следует считать неоднородной.
Мода выборки – наиболее часто встречающееся значение признака. Если
таких значений несколько, выборка называется полимодальной.
Мода интервального вариационного ряда:
где – середина модального интервала (интервала с наибольшей частотой),
– ширина интервала, – частота модального интервала,
– частота
предмодального интервала,
– частота послемодального интервала.
Медиана выборки – значение случайного признака, находящееся
посередине упорядоченной выборки. В случае, если дискретный вариационный
ряд содержит четное число наблюдений, медианой является среднее
арифметическое центральных значений упорядоченной выборки.
Медиана интервального вариационного ряда:
70
где
– середина медианного интервала (интервала, в котором сумма
накопленных частот впервые превышает половину объема выборки), – ширина
интервала, – частота медианного интервала, – объем выборки,
–
накопленная частота предмодального интервала.
Доверительный интервал – интервал, в который попадает значение
оцениваемого параметра с заданной вероятностью (надежностью).
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
случайного признака
где – исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочное
среднее значение, – значение нормированной функции Лапласа, при котором
.
Пример 7.1. Абсолютная погрешность измерений (ампер, А) была
получена при 20 наблюдениях.
0,3
0,6
0,5
0,4
0,7
0,1
0,7
0,2
0,5
0,9
0,3
0,8
0,4
0,1
0,6
0,4
0,7
0,2
0,9
0,6
По заданным выборочным значениям признака :
1) составить дискретный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
3) построить полигон относительных частот;
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , исправленную выборочную дисперсию
, исправленное среднее
квадратическое отклонение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
5) найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95.
Решение.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]