Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.Ю. ТИМОФЕЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 1

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2017

УДК 519.2(075.8) Т 415

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. Т.В. Авдеенко,

д-р техн. наук, доц. Е.В. Чимитова

Работа подготовлена на кафедре экономической информатики

для студентов, обучающихся по направлениям 09.03.03

«Прикладная информатика» и 38.03.05 «Бизнес-информатика»

Работа выполнена при финансовой поддержке

Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки

молодых российских ученых (проект МК-5385.2016.6)

Тимофеева А.Ю.

Т 415 Теория вероятностей и математическая статистика: учеб-

ное пособие: в 2 ч. / А.Ю. Тимофеева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017.

ISBN 978-5-7782-3432-1 Ч. 1. – 87 с. ISBN 978-5-7782-3433-8

Учебное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором в течение нескольких лет в Новосибирском государственном техническом университете студентам специальностей «Прикладная информатика» и «Бизнес-информатика». Рассматривается обширный раздел теории вероятностей, включающий определения и свойства вероятности, а также зависимость событий, условную вероятность и формулу Байеса. Дополнительно приводятся иллюстративные примеры, призванные подробно и наглядно растолковать традиционно сложные для понимания определения. Кроме того, в пособие включены контрольные вопросы для самопроверки и скрипт на языке R для реализации некоторых расчетов и вывода графиков.

УДК 519.2(075.8)

ISBN 978-5-7782-3433-8 (Ч. 1)  Тимофеева А.Ю., 2017 ISBN 978-5-7782-3432-1  Новосибирский государственный

технический университет, 2017

ВВЕДЕНИЕ

«Теория вероятностей и математическая статистика» настолько стандартный курс, что писать еще одно пособие похоже на пустую трату времени… Кроме того, это именно та область, где российские и советские математики всегда считались передовыми, по ней существует много очень добротной литературы, которую просто приятно читать.

Но приходится сталкиваться с тем, что курс воспринимается очень тяжело. В основном, конечно, потому, что, несмотря на очень простые и наглядные приложения (например, подбрасывание монеты или кубика), это все же математика с обилием формул, которые чем дальше углубляешься, тем сложнее и сложнее. И к концу ловишь себя на мысли, что на слайдах появляются только одни формулы…

Безусловно, есть те (и автор из их числа), кто согласится: одна формула объясняет больше, чем тысячи слов. Но только если математический язык априори доступен для понимания. К сожалению, это отнюдь нельзя считать аксиомой (хотя многие преподаватели математических дисциплин исходят именно из такого предположения). По правде сказать, для большинства студентов появление формул в лекциях означает только одно: опять придется их заучивать наизусть…

Причем то, как студенты затем воспроизводят формулы в записи (иногда упуская какие-то значки, индексы, скобки и тому подобное) наводит на мысль, что для них формулы – это не фразы математического языка, а просто графические объекты. В принципе, если уж на то пошло, они ведь действительно копируются в отчеты из Интернета как картинки. Это кажется смешным, если бы не было так печально.

Поэтому в пособии в первую очередь раскрывается содержательный смысл понятий и свойств вероятности, а уже затем приводятся формулы, по сути, как лаконичная математическая запись того, что сказано словами. Действительно, понятийный аппарат очень важен. И большинство бы даже согласились с тем, что формулы местами вообще вводить не стоит. Например, во многих учебниках [5, 10, 20] не

вводится аксиоматическое определение вероятности. Возможно, конечно, принципиально в силу того, что система аксиом Андрея Николаевича Колмогорова не лишена недостатков и приводит к парадоксам [15, с. 168–171], но отчасти, скорее всего, чтобы не загромождать изложение, ведь по большему счету вероятности, как правило, отлично можно посчитать по классическому определению. Но в пособии не предполагалось сводить все только к тому, чтобы дать математический аппарат для вычислений, хотелось научить воспринимать математический язык. Иначе, в самом печальном случае, формулы так и останутся китайской грамотой, а при попытке преподавателя ввести какие-то понятия строго математически, студенты вполне резонно попросят: «А можно это же самое на человеческом языке?».

В общем, в пособии предпринята попытка дать как можно более подробные разъяснения относительно вводимых понятий и формул. Хотя, конечно, для некоторых читателей такой текст покажется избыточным. Тем не менее не стоит забывать о тех, у кого появится шанс основательно разобраться в материале и, что было бы вообще идеально, понять и применить его.

Пособие посвящено очень малой доле курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно, определению вероятности, ее свойствам, независимости событий и условной вероятности. По сути, здесь речь идет только о случайных событиях и вероятностях, нет ни случайных величин, ни их характеристик. С одной стороны, это самые простые темы, и математический аппарат здесь еще не такой сложный. В целом курс, в сравнении с этим, просто огромный, и, как правило, данным темам уделяется самый мизер (пара лекций – не больше).

С другой стороны, в этих темах закладываются самые основы, не усвоив которые, студент не будет воспринимать предмет комплексно, во взаимосвязи. От вынужденного недостатка внимания базовым понятиям возникает, например, потеря ориентации, когда речь идет о функции распределения. Это все та же вероятность, почему же вдруг возникают сомнения в том, что функция принимает значения от нуля до 1? Условные плотности становятся бессмысленны, если не усвоено понятие условной вероятности, смеси распределений не воспринимаются, если полная вероятность лишь вскользь упоминалась… Кроме того, нередко (что автора очень удивляет) встречаются ошибки в понимании таких простых понятий, как события и исходы. Путаются несовместные и независимые события, даже несовместные и противоположные!

Поэтому в пособии предпринята попытка изложить такой важный материал как можно более подробно и наглядно с многочисленными разъяснениями, примерами и историями из жизни. Автор старался не забывать, что кроме четкости формулировок и формул, главное, чтобы текст было интересно читать. Все же нельзя не согласиться с Куртом Воннегутом: «для большинства людей информация – просто разновидность развлечения, сама по себе она им ни к чему. Если факты их не смешат или не пугают, то пусть катятся куда подальше» [7, с. 72].

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Пожалуй, у каждого сложилось некоторое интуитивное представление о вероятности, связанное с возможностью или невозможностью осуществления некоторых событий. Надо заметить, что само понятие и построенная на нем теория не такие уж простые и очевидные (недаром одной из мер случайности признается сложность), о чем можно судить хотя бы по тому, что теория вероятностного подхода начала развиваться только с середины XVII в.

И началом здесь послужила конкретная практическая необходимость принимать решения в условиях риска. Правда, решения эти касались не таких важных жизненных основ человеческой деятельности, как, например, товарно-денежный обмен или строительство (послужившие толчком в развитии арифметики и геометрии), а, казалось бы, такой несерьезной области, как азартные игры. Но именно с помощью игр можно было понять, что и в случайности есть закономерность. И большая удача, что игры всегда были связаны с деньгами (для теории вероятности, безусловно, но не для тех, кто столкнулся с пагубной игровой зависимостью), поэтому закономерности волей не волей пришлось описывать с помощью чисел. Так и начала зарождаться теория вероятностей. И хотя у многих после этого курса складывается впечатление, что эта наука учит только как оперировать числами и подставлять их в формулы в нужном порядке, не стоит забывать, что на самом деле при правильной постановке задачи с помощью теории вероятностей можно ответить на вопросы о том, что скорее всего произойдет в будущем и какое решение выгоднее принимать.

Итак, что же такое вероятность? Это, действительно, некоторое число, характеризующее возможность события. Причем речь идет не о произвольных событиях, а только о таких, которые происходят в случайном эксперименте (опыте). Случайный эксперимент обладает свойствами однородности и устойчивости, в том смысле, что его гипотетически можно повторить многократно в одних и тех же условиях, и его результаты будут носить устойчивый характер. В таком понимании

это, скорее, некоторая мыслимая абстракция (идеал типа идеального газа в физике). Условия эксперимента можно понимать в довольно широком смысле, но, в конечном счете, одни и те же условия (или однородность экспериментов) сводятся к одинаковым вероятностям (возможностям реализации) случайных событий в ходе опытов (отсюда и возникает устойчивость). Это и объясняет применимость теории вероятностей к азартным играм, где кости можно подбрасывать много раз, и, в идеале, возможность выпадения той или иной суммы очков не будет меняться. И в свою очередь, бессмысленно говорить о вероятности события, которое может произойти единожды (уникально), например, чернобыльской аварии, или сдачи зачета по теории вероятности в текущем семестре конкретным студентом.

Под случайным экспериментом (опытом) понимается набор некоторых действий исследователя (или условий наблюдения), который может приводить к разным, заранее непредсказуемым последствиям.

Иными словами, до проведения опыта нельзя точно сказать, чем он закончится. Но (и это очень важно!) можно мысленно представить себе все его возможные окончания (результаты). Такие результаты и будут случайными событиями. Например, эксперимент может состоять в подбрасывании кубика. В результате могут произойти такие случайные события, как выпадение любого из чисел от 1 до 6. В то же время мы можем сформулировать событие иначе: выпадение четного числа или выпадение числа, большего 3. В общем случае таких событий можно придумать великое множество. Поэтому, чтобы внести системность в это многообразие, выделяют отдельные события – элементарные исходы.

Элементарные исходы – это своего рода ячейки (пазлы или детали конструктора), из которых складываются остальные события. Наглядно это представлено на рис. 1, где изображены элементарные исходы опыта с подбрасыванием кубика. Видно, что области, соответствующие каждому исходу, не пересекаются. Это свидетельствует о том, что невозможно одновременное (в одном опыте) выпадение, например, 1 и 2 (и остальных попарных комбинаций). Такие события называются попарно несовместными или непересекающимися, поскольку их пересечение

(пересечение нескольких событий означает такое событие,

Часто почему-то возникает путаница между пересечением и объедине-

нием, хотя их различие должно быть хорошо усвоено из теории множеств, где

1 2 3

при котором все эти события происходят одновременно в одном опыте) является пустым множеством.

4 5 6

Представляя исходы таким образом,

мы можем применить к ним операции

Рис. 1. Элементарные исходы

опыта с подбрасыванием

кубика

теории множеств. Например, если объединить все исходы (объединение событий означает такое событие, при котором

происходит хотя бы одно из них), то мы получим достоверное событие, т. е. такое, которое происходит при любом результате эксперимента. Действительно, в любом опыте при подбрасывании кубика выпадет какое-то из чисел от 1 до 6: либо 1, либо 2 и т. д. Попарно несовместные события, объединение которых является достоверным событием, образуют полную группу событий. Например, выпадение четного и нечетного числа на кубике; выпадение числа меньше 4, равного 4, больше 4.

Важной особенностью элементарных исходов является их равновозможность (одинаковая вероятность). Тем самым элементарные исходы образуют полную группу равновероятных событий. В нашем

очень наглядно объясняется на кругах Эйлера. Приведем здесь другой пример, служащий для запоминания. Представим две дороги, образующие перекресток. Собственно, пересечением и будет сам перекресток, т. е. тот участок, который относится к обеим дорогам. При объединении дорог мы рассматриваем либо ту, либо другую дорогу. Тогда ее суммарная площадь будет равна сумме площадей обеих дорог, но надо вычесть площадь перекрестка, поскольку при суммировании мы учтем ее дважды.

И еще часто путают (автор тоже может честно признаться в такой слабости) обозначения объединения теории вероятностей эти обозначения заменяются просто на знак суммы (или

 ) и произведения  (или  ). Очевидно, что объединение соответству-

ет сумме, а пересечение умножению. Это вполне приемлемо (и даже лучше должно восприниматься). Но здесь мы этого не используем, чтобы подчеркнуть, когда речь идет об операциях над множествами, а когда об арифметических действиях. Но эту аналогию можно, в частности, использовать, чтобы не

путать обозначения, поскольку знак произведения пересечения

 .

 и пересечения  . Часто в литературе по



очень похож на знак



случае, если кубик правильный (центр тяжести не смещен), то нет оснований считать, что выпадение 1 более возможно, чем, например, 6. Если считать, что площадь ячеек на рис. 1 пропорциональна вероятности исходов, то очевидно, ячейки должны иметь одинаковый размер.

Невозможное (никогда не произойдет) и достоверное (всегда происходит) события представляют собой два крайних случая, в которых вероятность будет минимальной и максимальной, соответственно. Вероятность как мера достоверности события имеет некоторые границы, а именно от 0 до 1, что позволяет легко сравнивать события между собой по их возможности реализации как в одном опыте, так и в разных опытах. Например, можно сравнить вероятность выигрыша в разных играх и выбрать тот вариант, в котором выигрыш достигается с наибольшей вероятностью.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю. В общем случае обратное неверно, т. е. из нулевой вероятность еще не следует невозможность события. Далее это будет объяснено при обсуждении геометрического определения вероятности.

На рис. 2 наглядно (для лучшего запоминания) представлены границы изменения вероятности. Значения вероятности никогда не выходят за эти пределы, впрочем, разве что в военное время секретные разработки позволяют увеличивать вероятность поражения цели до 5

Невозможное событие 

0 1

Рис. 2. Границы изменения вероятности

Кроме невозможного



и достоверного  событий есть множе-

Достоверное событие 

Вероятность

ство случайных событий, вероятность которых находится где-то в пределах между 0 и 1. Выясним далее, как же определить эту вероятность.

Это, конечно, шутка. Заметим, что автор нередко черпал вдохновение из

[12], чтобы оживить изложение.

1.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ



Предположим, что для некоторого опыта можно выделить элементарные исходы, и их число конечно и составляет

, , ...,

 

, по определению, должны происходить с ненулевой и

. Такие исходы

одинаковой вероятностью:





 



при любых значениях



1,2,...,in

, 1,2,...,ij n

(1)

и образовывать полную группу, т. е. быть попарно несовместными



при любых значениях

и при объединении давать достоверное событие





i

. (2)



ij

Вероятность объединения несовместных событий определяется как сумма вероятностей этих событий. Наглядно это можно представить, если вспомнить, что на рис. 1 вероятность исхода пропорциональна площади ячейки, следовательно, например, вероятность выпадения 1 или 2 на кубике пропорциональна сумме площадей ячеек 1 и 2.

Вычисляя вероятность для правой и левой частей равенства (2), получим



  

PPP1







Учитывая (1), выводим, что

значений вероятностей одинаковые и в сумме дают единицу, следо-

вательно, каждое из них равно

сти некоторого события





ii





. Поэтому для вычисления вероятно-



при любых

1,2,...,in

. Все

, представляющего собой произвольную комбинацию элементарных исходов, достаточно определить те элементарные исходы, из которых оно складывается, подсчитать их коли-

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]