Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Возможно, если монета будет неправильной, то у вас появится больше
p
p
A
A
A
A
A
A
шансов?
Проверим это. Возьмем произвольную вероятность
p
выпадения
решки в одном испытании. Дерево вероятностей для этого случая
изображено на рис. 13. Очевидно, что на первом ходу противник выиг-
(1 )p
рает с вероятностью
ника вероятность остановки игры уже равна
выпадения орла. На втором ходу против-
2
(1 )pp
, потому что два
предыдущих броска должны окончиться выпадением решки. И т. д. с
каждым последующим ходом для вычисления вероятности выигрыша
2
предыдущий результат умножается на
. Следовательно, по анало-
p
гии с обсуждением игры при правильной монете, вероятность выигрыша первого игрока равна сумме бесконечной геометрической про-
грессии с первым членом
исходя из (18), составит
1p
1
1 p 1 p
p
Рис. 13. Дерево вероятностей для опыта с бросками неправильной
p
1
монеты до выпадения орла
1bp
1
11 1
pp
1
p
2
и знаменателем
2
(1 )(1 ) 1
(1 )pp
1 p
p
2
pp
(1 )pp
3
p
2
1 p
n
2
. Эта сумма,
qp
при 1
.
1nA
p
(1 )npp
Отсюда ясно, что в самом выгодном для вас случае, когда вероятность выпадения решки будет приближаться к единице (т. е. почти
наверное будет выпадать решка), вероятность вашего выигрыша будет
приближаться к
1
, но так ее и не достигнет. Таким образом, игра заве-
2
домо несправедлива, и никакой надежды на несимметричность монеты
возлагать не стоит. Видимо, по этой причине рассмотренная игра и не
пользуется популярностью, хотя, если уж на то пошло, она оставляет
второму игроку все-таки намного больше шансов на выигрыш, чем
лотерея или казино.
51
3.2. ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
Здесь мы очень активно и продуктивно использовали соотношение
(17), но в порыве увлечения математикой не стоит забывать, что оно
применимо только для независимых событий. Приведем поучитель-
ную историю [14, с. 172–178] о том, к чему может привести неосторожное использование постулатов теории вероятностей.
Пари молодого математика. В столовой дома отдыха за обедом
разгорелась дискуссия о вероятности событий (пожалуй, самое подходящее для этого место). Одна из отдыхающих усомнилась, что вероятность можно вычислить в любом случае. Например, если загадать, что
первый прохожий, который появится за окном столовой, будет мужчиной, то какова вероятность угадать?
Ей в помощь сразу пришел молодой математик, объяснивший, что
вероятность будет равна
1
, если, конечно, предполагать, что число
2
мужчин равно числу женщин. Далее нашелся любопытствующий,
усложнивший условие: каковы шансы, что двое прохожих окажутся
мужчинами? Вероятность того, что событие с одной и той же вероят-
ностью
1
произойдет два раза подряд, равна
2
1
. Что мы уже подробно
4
разобрали на примере с выпадением решки два раза подряд. Это и подтвердил молодой математик, использовавший соотношение (17). Еще
он подметил, что вероятность все время будет уменьшаться с ростом
числа прохожих. Кроме упражнений в математике атмосфера дома отдыха, видимо, располагала к азарту. Поэтому сразу нашлись желающие
заключить пари с математиком, что первые 100 прохожих окажутся все
подряд мужчинами. Математик тут же прикинул на бумажке, что вероятность такого события равна единице, деленной на единицу с тридцатью нулями! И готов был поставить свой велосипед против копейки,
рассчитывая на то, что выигрыш верен, как дважды два – четыре.
Тут в спор вмешался профессор. Он напомнил, что простое перемножение вероятностей допустимо только в случае, если исходы равновозможны, т. е. появление женщины или мужчины всегда равновероятно, вне зависимости от того, что произошло до этого (мы это рассмотрели с точки зрения независимости испытаний и однородности
условия их проведения). И вот действительность и разъяснила молодому математику его ошибку. Заиграла военная музыка… И через ми-
52
нуту стало ясно, в чем дело: мимо окон проходил батальон красноар-
A
A
мейской пехоты.
Здесь события можно считать попарно независимыми, тем не менее
они оказываются зависимыми в совокупности. Это происходит из-за
влияния другого фактора – военного марша. Заметим, что
из попарной
независимости событий еще не следует, что они независимы в совокупности. Тогда как несовместность совокупности событий можно
вывести из попарной несовместности.
И хотя здесь военный парад скорее нельзя рассматривать как случайное событие, и наверняка споривший точно знал о марше, но в целом этот пример демонстрирует, что нельзя пользоваться соотношением (17), когда события зависимы.
Теперь рассмотрим построение дерева вероятностей в случае, когда
мы имеем дело с зависимыми событиями. Типичным примером такого
эксперимента является извлечение шаров из урны без возвращения.
Отметим различия условий эксперимента:
1)
при извлечении с возвращением обеспечиваются одинаковые
условия эксперимента (распределение вероятностей исходов не меняется);
2)
при извлечении без возвращения условия эксперимента различны,
поскольку распределение вероятностей исходов будет определяться
результатами предыдущих действий.
Следовательно, в первом случае мы имеем дело с
независимыми
экспериментами, во втором – с зависимыми. Например, пусть в урне
два белых и три черных шара. Пусть случайным образом вытаскивается шар и не возвращается в урну. Тогда вероятность события
={вынуть в первый раз белый шар} составляет
воположного события
ветственно, равна
3
5
={вынуть в первый раз черный шар}, соот-
1
. Это изображено на рис. 14 на первых двух ветках
2
, вероятность проти-
5
A
1
дерева вероятностей.
В зависимости от того, какой шар вынут первым, в урне останутся:
один белый и три черных шара, если ранее вынут белый шар,
два белых и два черных шара, если первым вынут черный шар.
Следовательно, получатся и разные вероятности вынуть второй раз
A
белый шар (событие
) или черный шар (событие
2
). Вероятность
2
53
события
A
A
A
A
A4A
A4A
A
A
A3A
A
A3A
A4A4A4A4A4A4A4A
A
равна числу оставшихся белых шаров, деленному на 4.
2
В первом случае (если первым вынут белый шар) она составит
втором –
2
. Вероятность противоположного события можно опреде-
4
лить как
P1P()AA .
22
25 35
1
4
, во
14
2
1
3
1
110 110
13
3
1
4
1
34
2
23 13
12
110
3
12
110 110 110 110 110
1
24
2
12
1
23 23
3
12
24
12
3
12
110
2
13
1
110
Рис. 14. Дерево вероятностей для опыта с извлечением шаров без возвраще-
ния из урны, содержащей два белых и три черных шара
Пусть шары извлекаются до тех пор, пока в урне не останется один
шар. Его цвет при любых результатах предыдущих действий будет однозначно определяться цветом уже вынутых шаров, т. е. достоверно
будет белым, если вынуты один белый и три черных шара, и черным,
если изъяты два белых и два черных шара.
Если при каждом новом изъятии шара учитывать то, какие шары
были вынуты ранее, и рассчитывать вероятность с учетом изменения
соотношения белых и черных шаров в урне так, как это было описано
выше, то получим итоговое дерево вероятностей (рис. 14). Тем самым
определяя вероятности событий, исходящих из некоторой вершины,
мы предполагаем, что произошли все предшествующие события на
рассматриваемой нами ветке дерева. Этим отличается способ расчета
вероятностей в случае зависимых событий от условий, в которых события независимы.
Хотя теперь рассуждения при построении дерева вероятностей становятся сложнее и требуют учитывать всю предысторию, все также в
качестве результата для каждой конечной вершины можно вычислить
54
итоговые вероятности совместной реализации событий, расположенных в вершинах соответствующей ветки, как произведение всех вероятностей, встречающихся на этой ветке.
Например, вероятность того, что сначала будут вынуты два белых
шара, а потом два черных равна
1
. Она будет одинакова для любого
10
упорядочения вынутых шаров, что логично, поскольку это равновозможные исходы.
В конце остановимся на
различиях между независимостью и
несовместностью. Понятие независимости можно применить в рамках
как одного и того же опыта, так и разных опытов. В то время как совместными или несовместными события могут быть только в одном
опыте [10, с. 8]. Например, некорректно говорить о совместности со-
бытий
A
={вынуть в i-й раз белый шар} в опыте с изъятием шаров из
i
урны. Тогда как понятие зависимости, как мы увидели выше, к ним
применимо.
Кроме того,
несовместные события, имеющие положительные ве-
роятности, не могут быть независимыми. Например, вероятность,
что при подбрасывании кубика выпадет шестерка, равна
1
. Однако
6
если уже произошло несовместное событие, например, выпала единица, шестерка в этом опыте выпасть уже не может, следовательно, ее
вероятность равна 0. Тем самым вероятность зависит от того, произошло ли несовместное событие или нет. Отсюда неизбежно вытекает
зависимость таких несовместных событий.
3.3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Составляя деревья вероятностей, мы, сами того не осознавая, имели дело с новым не введенным ранее понятием – невиданными до этого вероятностями. Это вероятности, которые рассчитывались в предположении, что уже произошло некоторое событие. В одних случаях
эти вероятности не зависели от того, что происходило ранее, они вообще все время оставались одними и теми же (рис. 11). Тогда мы говорили о независимых событиях.
В других случаях, наоборот, вероятности менялись и определялись
теми событиями, которые произошли ранее. Например, в примере с
извлечением шаров из урны (рис. 14), если первым был вынут белый
55
шар, то вероятность второй раз вынуть белый шар составляла 1/4, а
если сначала был вынут черный, то 1/2.
Такие события нельзя описать с использованием какой-либо рассмотренной ранее операции над множествами (объединения, пересечения, исключения), поскольку при вычислении этих новых вероятностей изменяется пространство элементарных исходов.
Действительно, изначально, имея в урне два белых и три черных
шара, мы можем вынуть их без возвращения десятью способами, каждый из которых соответствует ветке дерева вероятностей (рис. 14) и
имеет одинаковую вероятность. Для удобства представим их все на
рис. 15, где перечислен цвет шаров в порядке их вынимания (Б – белый, Ч – черный). Это – пространство всех элементарных исходов
нашего опыта.
Если мы теперь рассматриваем ситуацию, что первым вынут белый
шар, и пытаемся вычислить вероятность дальнейших событий, мы тем
самым сокращаем пространство элементарных исходов, исключая из
него те исходы, в которых первым вынут черный шар. Актуальные в
этой ситуации исходы на рис. 15 выделены серым. И только из этих
исходов мы выбираем благоприятные интересующему нас событию, а
именно тому, чтобы вынуть второй раз белый шар. Такой исход только
один (выделен полужирным начертанием), а всего исходов осталось
четыре, следовательно, вероятность и получается равной 1/4.
Если тот же самый трюк проделать, считая, что первым вынут черный шар, то останется шесть исходов (выделены белым на рис. 15), из
которых благоприятны последующему извлечению белого шара три
исхода (выделены курсивом). Тогда получаем вероятность, равную
3/6 = 1/2.
ББЧЧЧ
БЧБЧЧ БЧЧБЧ БЧЧЧБ ЧББЧЧ
ЧБЧБЧ ЧБЧЧБ ЧЧББЧ ЧЧБЧБ ЧЧЧББ
Рис. 15. Пространство элементарных исходов опыта с извлечением
шаров без возвращения из урны, содержащей два белых и три черных шара
Полученные вероятности называются условными, поскольку все-
предполагают наличие некоторого условия (события, которое
гда
произошло). Например, таким событием было извлечение белого шара
первым.
Условная вероятность события
56
B
при условии, что событие
A
произошло, обычно обозначается
B
B
B
B
A
A
A
A
чения
первым. Стоит заметить, что в обозначении
указывается событие, вероятность которого мы ищем, а затем, через
вертикальную черту – условие, т. е. событие, которое произошло. Переставив их местами, мы получим другую вероятность!
такую вероятность с помощью классического определения.
начально
жим
приятны
нас новое пространство элементарных исходов, содержащее только
r
благоприятны событию
только один исход:
вычисления условной вероятности
k
ятности по числу элементарных исходов, только не по всему пространству (весь прямоугольник на рис. 15), а по его части (закрашенный серым прямоугольник).
дем оперировать не элементарными исходами (которые удобны только
в дискретном случае), а вероятностями. Площадь серого прямоуголь-
ника на рис. 15 пропорциональна вероятности
один оставшийся элементарный исход, выделенный полужирным
начертанием, соответствует ситуации, когда события
дят одновременно, т. е. пересечению событий
тика, соответствующего этому исходу, пропорциональна вероятности
пересечения
условной вероятности.
произошло, определяется как отношение вероятности пересечения
этих событий к вероятности условия A:
P
Из рассмотренного примера становится понятно, как рассчитать
, что произошло событие A, которому из всех n исходов благо-
исходов. Из этих r исходов нужно выбрать те исходы, которые
на r. По сути, мы проделали обычную операцию вычисления веро-
Заметим теперь, что аналогичный результат мы получим, если бу-
Условная вероятность события
менее популярен, поэтому далее будем пользоваться
A
всего n элементарных исходов эксперимента. Предполо-
r исходов. В нашем первом примере
B
, пусть их будет k. В примере остается
1k
. Тогда, по классическому определению, для
P
. Это позволяет дать следующее определение
B
P|
P|
B
. Другой вариант обозна-
A
P|
нужно просто поделить
A
AB . Площадь квадра-
при условии, что событие A
всегда сначала
A
10n
,
. В то же время
P
и B происхо-
Пусть из-
4r
. Теперь у
P
B
P|
BAA
P( )
, если
57
P( ) 0A
. (19)
Требование ненулевой вероятности условия кажется логичным, по-
A
скольку странно находить вероятность какого-то события при условии,
что произошло невозможное событие. Однако стоит вспомнить, что из
P( ) 0A
том, что какая-то непрерывная величина (например, время) принимает
заданное значение (попадает в точку), то такое событие будет иметь
нулевую вероятность. И для таких примеров формула (19) не применима. Тем не менее рассчитать условную вероятность часто не составляет никакой проблемы, если использовать непосредственно геометрическое определение.
первый друг пришел в 10:15 (на рис. 6 изображено пунктирной линией), то вместо областей в двумерном пространстве нужно анализировать отрезки на прямой. Поскольку ничего неизвестно о том, пришел
ли уже второй друг или нет, то множество всех исходов – это время на
отрезке от 0 до 15 минут возможного появления второго друга. Следовательно, вероятность того, что между появлениями друзей пройдет не
более 10 минут равна отношению длины отрезка, соответствующего
благоприятным исходам (на рис. 6 участок пунктирной линии выделен
жирным) к 15. Тогда получаем искомую вероятность как 10/15 = 2/3.
ние для условной вероятности, которое мы вывели до этого из классического определения.
P
приятно
еще не следует невозможность события A. Если речь идет о
Например, если в задаче о встрече двух друзей точно известно, что
В дискретном случае из соотношения (19) легко получить выраже-
Если из всех
r
.
A
n
Поскольку из всех
k
исходов, то
исходов событию A благоприятны r исходов, то
n
исходов пересечению событий
n
k
P
AB
n
. Тогда
AB
благо-
P
AB
P|
Но соотношение (19) хорошо еще и тем, что его можно применить
не только в том случае, когда мы имеем дело с конечным числом элементарных исходов. Наверное, даже более наглядно представить
условную вероятность с помощью геометрического определения.
Возьмем для разнообразия пример на военную тематику, которая, к
сожалению, никогда не перестает быть актуальной. Пусть по квадра-
BA
P( )
58
kn k
rn r
.
ту G со стороной 4 км (рис. 16) осуществляется точечный удар с це-
B
g
g
g
g
g
g
B
g
A
A
A
A
лью попадания в объект стратегического назначения, например склады
боеприпасов. Противнику точно неизвестно их месторасположение,
поэтому удар наносится случайным образом, так что равновероятно
попадания в любую точку (или, точнее, любую область одного и того
же размера).
На самом деле склады находятся в левом верхнем квадрате
стороной 2 км. Следовательно, вероятность события
g
снаряда в область
роятности, отношению площади области
B
G
2
21
2
4
S
P( )
4
g
BS
} равна, по геометрическому определению ве-
B
g
к площади G:
B
. Это хорошо видно и из рис. 16.
4
4
A
1
A
2
B
={попадание
g
со
B
A
3
3
AB
2
1
G
0 4 2
1
g
A
O
3
3
2
1
G
0 4 2 1 3
а б
Рис. 16. Геометрическая иллюстрация условной вероятности
Теперь предположим, что есть дополнительные данные разведки о
том, что склады находятся в квадрате
ветствующей центру квадрата
теперь имеет место событие
g
ту
}. Какова вероятность попасть в склады?
G
={стрельба осуществляется по квадра-
Поскольку стрельба теперь ведется только по области
g
с центром в точке O, соот-
, и стороной в 2 км (рис. 16, а). Пусть
g
, то про
остальное пространство можно забыть. Теперь пространством элемен-
59
тарных исходов становится область
A
A
A
A
A
A
B
A
B
B
A
B
B
благоприятна область пересечения
ласть
чит, вероятность остается такой же, как если бы стрельба велась по
всему квадрату
ки никак не увеличивают шансов на попадание в объект стратегического назначения противника. Интересно, что точно такая же ситуация
будет и в случаях, когда квадрат
его центр продолжается оставаться в точке
проку от разведки нет.
сведения ложными, и, наоборот, осуществляет стрельбу по всей территории, исключающей область
ем
обозначаемое
оставим как развлечение для читателя, но покажем, что это общее правило для любых независимых событий. Заодно покажем, как полезно
использовать свойства вероятности, вытекающие из теории множеств.
выполняется равенство (16), причем
ятность события
формуле (19) выражается как
g
«отъедает» от области
B
G
,
P
Предположим, что противник не верит данным разведки, считая ее
).Ag
Таким образом происходит противоположное A событие,
. Какова вероятность попасть в склады, т. е.
Оказывается, она точно такая же –
Пусть
и B любые независимые события, т. е. такие, для которых
при условии, что событие A не произойдет, по
,
|
BA
g
, а событию B в таких условиях
gg
g
такую же часть, как и от G. Зна-
2
11
2
, иными словами, данные развед-
2
4
g
имеет любую другую площадь, но
g
, т. е.
0P()1A. Тогда условная веро-
. Заметим, однако, что об-
B
O
. Тем самым, никакого
\AGg
(G за исключени-
1
. Вычисление для этого случая
4
P
?
A
|
P
A
P
С учетом формулы (8) в знаменателе будет
(15) в числителе получим
сти и правиле (16), имеем
PP()
BA
P( ) P
|
PP
BBA
1P() 1P()
BA
|
AA
P
AB
P( ) P( ) P( )
60
.
A
1P
. Вспоминая о независимо-
BBA
, а из формулы
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]