Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соотношение (26) получило название «формула полной вероятно-



сти

». Формула позволяет вычислить вероятность некоторого события через условные вероятности этого события при условии, что реализуются гипотезы, и вероятности этих гипотез.

Следовательно, вероятности гипотез предполагаются известными.

В примере с извлечением шаров из урны с двумя белыми и тремя чер-

ными шарами вероятность вынуть сначала белый шар

противоположного события

вестны условные вероятности рое событие

={вторым вынут белый шар}, тогда, в соответствии с построенным

ранее деревом (рис. 14),

случае в урне остался только один белый шар (другой был вынут сначала), во втором случае все также два белых шара. Исходя из соотношения (26), имеем:

при условии, что реализовалась гипотеза

H 





AH 



. Кроме того, должны быть из-

того, что произойдет некото-

AH 



. В первом

H 

. Пусть

, а

P( ) P P P P||

AHAH HAH 

    

112 2

Значит, безусловная вероятность вынуть белый шар на втором ходе (если мы не знаем, какой был вынут до этого) составляет 0,4 и не отличается от вероятности вынуть белый шар в первый раз. Аналогичный результат можно получить с помощью классического определения вероятности, если анализировать все возможные исходы, представленные на рис. 15. Общее число исходов составляет 10. Благоприятных событию Следовательно, получаем 0,4.

Оказывается, что вероятность вынуть белый шар будет составлять 0,4 вне зависимости от числа уже вынутых шаров, если мы не знаем, какие шары были вынуты. Предлагаем читателям в качестве упражнения убедиться в этом самостоятельно. Отметим только, что аналогичный результат получается, если в качестве эксперимента рассматри-

вать экзамен, а событие ливым}. Пусть билеты не возвращаются, но студенту, вытаскивающе-

исходов, в которых на второй позиции белый шар, всего 4.

={k-й вытащенный билет является счаст-

21 31 2 54 52 5

му билет, неизвестно, какие билеты остались. Если из N билетов n



счастливых, то

и не зависит от k,



1, ,kN 

. Тем самым нет

никаких преимуществ вытащить счастливый билет ни у тех студентов, кто заходят первыми, ни у последних. А надежды тех, кто ждет, пока вытащат все несчастливые билеты, напрасны.

Проиллюстрируем применение формулы полной вероятности на примере входного контроля продукции. Пусть на склад завезли детали

с трех заводов. Число деталей с каждого завода

достаточ-

но велико. Из опыта известно, что доля брака при изготовлении деталей на

-м заводе составляет

. При входном контроле произвольно

выбрана одна деталь. Какова вероятность того, что эта деталь будет бракованной?

Нас интересует вероятность события

={деталь бракованная}. Поскольку не указано, с какого именно завода оказалась бракованная деталь, то необходимо найти безусловную вероятность события

в пред-

положении, что деталь может быть с любого завода. Здесь удобнее ввести гипотезу

={деталь произведена на i-м заводе},

1, 2, 3i 

Тогда, согласно статистическому определению вероятности (соот-

ношение (9)), вероятность того, что деталь с

-го завода будет опреде-

ляться отношением числа деталей с этого завода к общему числу дета-

лей:







123

. Доля брака на каждом заводе является эм-

пирическим аналогом вероятности обнаружить бракованную деталь в

деталях с

-го завода:

Hp



что деталь бракованная, при условии, что она с

, иначе говоря, вероятность того,

-го завода. Подстав-

ляя эти значения в формулу полной вероятности (26), имеем



HAH

 

 

ii i

|P( ) P P



NN N NN N

 

123 123

pNp

iii

По полученному соотношению можно найти вероятность того, что

случайная деталь бракованная, если задать значения

, соответствующие практической ситуации.

3.5. ФОРМУЛА БАЙЕСА





Для задачи входного контроля продукции поставим другой вопрос:

если наугад взятая деталь оказалась бракованной, какова вероят-

, что она с

ность

Напомним, что мы обозначали A={деталь бракованная}, гипотезу

={деталь произведена на i-м заводе}. Следовательно, речь идет о

вероятности она бракованная.

Заметим, что здесь мы, по сравнению с

чину и следствие местами. Обычно мы двигались по дереву вероятностей сверху вниз и определяли вероятности последующих действий на основе предыдущих. Здесь же вопрос сформулирован иначе. Мы уже наблюдаем следствие, нужно найти его причину. Тем самым мы движемся в обратном направлении:

При этом мы знаем безусловную вероятность события

имеет место до проведения опыта, т. е. до того, как мы вынули деталь, оказавшуюся бракованной. Наша задача – определить условную веро-

ятность мы проверили одну деталь и выяснили, что она бракованная. Исходя из

этой логики:



вероятность вероятность



того, как результаты опыта известны).

Другими словами, когда априорная вероятность гипотез при поступлении новой информации (результатов опытов – факта, что некоторое событие стериорной вероятности. Она может быть выражена по формуле условной вероятности (19) как



-го завода?



того, что деталь с i-го завода, при условии, что

поменяли при-

|P,



от следствия к причине.

того же самого события

произошло) пересматривается, то речь идет об апо-

называется априорной (заданной до опыта);





– апостериорной (определяемой после

, но уже после того, как

, которая





P( )

HA





По формуле для вероятности пересечения зависимых событий (21) числитель этого выражения можно записать как

HAH



|PP

. Знаменатель можно переписать с учетом формулы



полной вероятности (26). Тогда получаем следующее соотношение для





апостериорной вероятности:

PP|

HAH







PP|



 



1, ,iK 

, (27)

которое получило название «

Заметим, что в знаменателе в соотношении (27) суммируются вероятности пересечения по всем гипотезам от 1 до

ко одна вероятность просуммировать очевидно, поскольку

пу событий: обнаруженная бракованная деталь может быть либо с первого завода, либо со второго, либо с третьего.

Для задачи входного контроля формула Байеса (27) позволяет получить следующее выражение для вероятности того, что обнаруженная бракованная деталь с



Сравним полученную апостериорную вероятность с априорной

теперь вместо числа всех деталей тываются только бракованные, т. е. число деталей, умноженное на до-

лю брака, – ной вероятности: после того, как событие

всех исходов сокращается до исходов, благоприятных только бракованные детали.

ются доли брака на заводах. Так, если они одинаковы т. е. вероятность брака не зависит от завода, то апостериорные вероят-





На практике результат будет зависеть от того, насколько различа-



123



P|HA



. Поскольку обнаружена бракованная деталь, то

. Это полностью согласуется с определением услов-

формула Байеса».

, а в числителе толь-

HA



-го завода:

NN N



123

для i-й гипотезы. Тем самым если

по всем i от 1 до K, то получим 1. Это

, …,



pNNNNp

ii ii



123





, поступивших с i-го завода, учи-

образуют полную груп-

pNp

ii ii

произошло, множество

, содержащих

()

123

pp

ности не будут отличаться от априорных. Это и понятно, выявление

бракованной детали никак не перераспределяет шансы того, что деталь с определенного завода, поскольку события не связаны друг с другом. Если же с какого-то завода поступает больше бракованных деталей, то вероятности после опыта перераспределятся в пользу этого завода (хотя, скорее, не в пользу). Возможно, руководство наконец задумается, а стоит ли иметь дело с таким поставщиком.

Таким образом, распределение апостериорных вероятностей может очень сильно отличаться от априорного распределения. При этом, в отличие от рассмотренных ранее способов расчета вероятности, когда в большинстве случаев можно было оперировать числами в уме, использовать формулу Байеса (27) сложнее. Часто бывает интуитивно непонятно, почему апостериорная вероятность оказывается именно такая, хотя при расчете в уме получалось совсем другое. А неправильная оценка апостериорных вероятностей иногда приводит к печальным последствиям. Продемонстрируем это на примере врачебной практики [6, с. 70–71].

Ошибка врачей. Врач обследовал пациента на предмет рака и

нашел симптом болезни, который по опыту оценивает как 1 % вероятности наличия злокачественной опухоли.

Он отправляет пациента сдавать анализ, который с 80 %-й точностью выявляет злокачественную опухоль (положительный тест при условии, что человек болен), а в 10 % случаев дает неверный диагноз (положительный тест при условии, что человек здоров).

Врач узнает, что результат анализа положительный. Можно ли точно сказать, что пациент болен? Как оценить вероятность того, что опухоль действительно злокачественная? Основываясь на опыте или на результатах обследования?

Большинство дилетантов и специалистов (95 из 100 врачей) оценивают вероятность того, что опухоль злокачественная при положительном тесте, в среднем в 75 %. Однако она на порядок меньше!

Воспользуемся формулой Байеса (27), чтобы показать это. Очевидно, что мы имеем дело с двумя взаимоисключающими событиями:

={человек болен},

={человек здоров}. Априорная вероятность

болезни составляет 1 %, тогда на здоровых людей приходится 99 %:

P0,01





P0,99





Теперь разберемся с ошибками диагностического теста. Казалось бы, вариантов только два: либо верный, либо неверный результат, но

проценты в условии не дают в сумме 100 %... Дело в том, что ошибоч-



ный результат обследования – это либо выявление болезни, которой на самом деле нет, либо когда существующая болезнь не обнаружена. И в том, и в другом случае необходимо определять условную вероятность. Пусть событие

состоит в том, что тест дал положительный результат (выявил болезнь). Имеющаяся информация о точности результатов теста обобщена в табл. 10. Вероятности в последней строке таблице получены из определения противоположенного события (8).

Таблица 10

Условные вероятности результатов теста

Событие

A ={тест положи-

тельный}

={тест

отрицательный}

={человек болен}

Болезнь верно

выявлена:

P0,8|AH 



Ложноотрицательный

результат:

P0,2

|AH





={человек здоров}

Ложноположительный

результат:

P| 0,1AH 



Отсутствие болезни

верно выявлено:

P0,9

|AH





Теперь по формуле Байеса (27) легко подсчитать интересующую нас условную вероятность того, что человек болен, если тест дает положительный результат:





P( ) P P( ) P



0,01 0,8 0,99 0,1

AH AH

  

1212



0,01 0,8

 





0,075

P( ) P

Значит, в действительности вероятность вовсе не 75 %, а всего 7,5 %. Почему же вероятность столь мала? На самом деле не так уж и мала, особенно если представить себя на месте пациента… Вспомним, что изначально врач оценивал вероятность как 1 %, но после диагностики она увеличилась в 7,5 раз! Положительный тест ожидаемо перераспределил исходные априорные вероятности в пользу болезни. Стоит заметить, что для выявления болезни, которая может случиться только в 1 % случаев, точность теста довольно низкая, ее явно недо-

статочно, чтобы при положительном результате с большей достовер-



ностью утверждать, что человек болен. Хотя, если бы злокачественная опухоль выявлялась с 99 %-й точностью и ложноположительный результат был бы только в 1 % случаев, все равно апостериорная вероят-

ность

P|HA



составила бы только 50 %, а никак не 75 %.

Тем не менее все равно результат выглядит как какая-то махинация с числами и не подкреплен содержанием. Как утверждает опытный преподаватель математики Стивен Строгац [16, с. 190], формула Байеса становится более понятной, если оперировать не вероятностями, а числом исходов. Поэтому попробуем рассуждать с помощью натуральных чисел, а не таких абстрактных категорий, как вероятность и шансы.

Для этого используем трактовку вероятности как доли случаев, в которых произойдет событие (статистическое определение). Представим, что есть гипотетическая совокупность людей численностью 10 000. Известно, что 1 % людей больные. Тогда всего таких людей 100, здоровых, соответственно, 9900 человек. Это проиллюстрировано на рис. 19.

100

 

990

 



 



10 000N 

Рис. 19. Геометрическая иллюстрация врачебной ошибки

У 10 % здоровых людей тест выявит болезнь. Следовательно, людей с ложноположительным тестом будет 9900 ∙ 0,1 = 990. Это соот-

ветствует частоте события

AH

. Из 100 больных человек у 80 %

будет верно выявлена болезнь, т. е. таких будет 80 человек. Тогда всего 990 + 80 = 1070 человек будут иметь положительный тест.

Нас интересует вероятность того, что человек больной, если тест дал положительный результат. Вероятность такого события определяется долей больных среди тех людей, у кого тест положителен. На рис. 19 это будет соответствовать отношению площади прямоугольника для

AH

к сумме площадей двух прямоугольников для

AH

Тогда получаем

P 0,075|

HA



1070

Из рис. 19 хорошо видно, почему вероятность мала. Очень много здоровых людей, для которых тест дает ложноположительный результат. Если бы вероятность положительного результата теста для здоровых людей была бы не 10 %, а 1 %, то площадь прямоугольника для

AH

щади прямоугольника

уменьшилась бы в 10 раз и приблизительно бы равнялась пло-

AH

. Иными словами, больных и здоровых

людей с положительным тестом было бы примерно одинаковое число. Тогда апостериорная вероятность приблизилась бы к 50 %. В принципе, с таким же шансами можно было бы просто подкинуть монету.

Не хотелось бы заканчивать на такой печальной теме, поэтому рассмотрим более позитивный пример и на этот раз проиллюстрируем расчет апостериорной вероятности с помощью дерева вероятностей.

Парадокс Монти Холла. Представьте себя участником телешоу.

Вам предлагается выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится автомобиль, за двумя другими – козы. Где находится приз, знает только ведущий. Вам нужно угадать эту заветную дверь. Какую дверь вы назовете? Поскольку никакой дополнительной информации нет, то приз может быть за любой дверью с равной вероятностью. Допустим, вы назвали первую дверь. Ведущий ее не открывает. Нет, все даже несколько сложнее. Из оставшихся двух дверей ведущий открывает ту, за которой оказывается коза. Пусть это будет третья дверь. И вот главный вопрос: поменяете ли вы теперь свое решение? Выберете вторую дверь? Или будете придерживаться первоначального выбора (рис. 20)?

Большинство участников игры считают, что и в том, и в другом случае шансы выиграть приз равны. Тем самым они интуитивно оценивают вероятность того, что автомобиль за первой дверью как 0,5. Однако это не так. В этом и состоит парадокс, названный в честь ведущего описанного телешоу, Монти Холла [21, с. 77–78]. На самом деле, как и в разобранных ранее парадоксах, здесь есть логическое

объяснение, просто вывод выглядит парадоксальным, поскольку про-



тиворечит интуитивному восприятию большинства людей.

Рис. 20. Проблема выбора в телешоу Монти Холла

Для того чтобы разобраться, почему интуитивная оценка неверна, вспомним уже рассмотренный пример с входным контролем качества деталей. Мы ранее обсуждали, что после обнаружения бракованной детали, априорные вероятности ее поступления с определенного завода перераспределяются в соответствии с условными вероятностями брака на этом заводе. Чем больше бракованных деталей поставляется с определенного завода, тем больше шансы того, что обнаруженная бракованная деталь именно с этого завода. И наоборот, если с какого-то завода поставляется совсем мало бракованных деталей, то шансы уменьшаются. Это кажется вполне логичным. Попробуем распространить данную логику на рассматриваемую проблему.

Здесь, очевидно, речь идет о трех гипотезах: находится за есть выбор:

-й дверью},

={открыть i-ю дверь},

1, 2 , 3i 

. В общем случае у ведущего также

1, 2 , 3i 

. Чтобы понять, как из-

менятся вероятности гипотез после того, как произойдет событие

={автомобиль

нужно понять, насколько отличаются друг от друга условные вероятности



. Для начала кажется естественным, что они не равны.

Действительно, ведущий не открывает дверь, которую называет игрок, и, разумеется, не станет открывать ту дверь, за которой автомобиль.

Это накладывает серьезные ограничения на свободу его выбора. Собственно, если автомобиль за третьей дверью, то событие

можно, и его вероятность в этих условиях равна нулю:

невоз-

|P0AH 



Если автомобиль за второй дверью, то ведущий достоверно откроет



третью, у него нет выбора, и

|P1AH 



. Единственная ситуация,

оставляющая ведущему некоторую свободу выбора, это когда игрок угадал и автомобиль действительно находится за первой дверью. Тогда ведущий может открыть либо вторую, либо третью дверь. Будем предполагать, что это равновозможные события:

P| P|

AH AH



21 31



Эти рассуждения проиллюстрированы с помощью дерева вероятностей на рис. 21. Из полученных значений условных вероятностей понятно, что исходные одинаковые вероятности гипотез должны пере-

распределиться в пользу

, поскольку



принимает

наибольшее значение. Апостериорная вероятность того, что автомобиль за второй дверью, увеличится по сравнению с априорной. А вероятность того, что приз за третьей дверью, станет нулевой. И как теперь? Вы измените свое мнение в пользу второй двери?

Рис. 21. Дерево вероятностей для телешоу Монти Холла

Посмотрим, как получить апостериорные вероятности с помощью

дерева (рис. 17). Нам точно известно, что событие

произошло. То-

гда во всем дереве можно оставить только те ветки, которые заканчиваются этим событием. На рис. 21 они выделены более толстыми линиями. Напомним, что результат перемножения вероятностей по заданной ветке дерева есть вероятность пересечения всех событий на этой ветке, тогда













P0HA



<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]