Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

дет объяснено далее. С непрерывным вероятностным пространством





мы имеем дело, когда речь идет о некоторых непрерывных величинах (например, времени, расстоянии) и число исходов эксперимента бесконечно. Эти ситуации подробно были рассмотрены выше при введении геометрического определения вероятности.

Объекты вероятностного пространства должны удовлетворять сле-

дующим свойствам. Класс событий

является -алгеброй в том

смысле, что

S

влечет за собой \

S

для

1, 2,i  

влечет

Первое свойство говорит о том, что если событие

классу

, то и противоположное ему событие A тоже принадлежит

AS  ;

SAS

принадлежит

этому классу. Понятие противоположного события будет рассмотрено ниже. Второе свойство класса событий утверждает, что любые пересе-

чения и объединения любых событий класса

тоже являются событиями. Это свойство интуитивно понятно: любые комбинации исходов могут рассматриваться как результаты опыта.

Другими словами, когда мы говорим, что система событий является алгеброй множеств, то подразумеваем, что объединение, пересечение и разность событий снова являются событиями. Более того, предполагается, что эта алгебра счетно-замкнута, т. е. пределы монотонных последовательностей событий замкнутая алгебра множеств называется

Числовая функция (вероятностная мера, или вероятность) деленная на

, удовлетворяет следующим аксиомам:

1) нормирована, т. е.

2) неотрицательна, т. е.

-аддитивна, т. е.



также являются событиями. Счетно-

P1



;



-алгеброй [4, с. 4].



;

AS

, опре-



 



A

, если

AA

при

. (7)

ij

Тем самым можно дать аксиоматическое определение вероятности.

Последовательность событий

 n ≥ 1 возрастающая последовательность.



– неубывающая последовательность или

1nn



называется монотонной, если





1nn



– не-

Вероятность – это неотрицательная аддитивная функция, опре-

деленная на множестве событий мировки

обобщением введенных ранее классического и геометрического определений. Пусть некоторое событие

P( ) 1 .

Аксиоматическое определение вероятности является некоторым

и удовлетворяющая условию нор-

S

, тогда

P( )AA 



где для случая, когда

– мощность множества A, т. е. число элементарных исходов,

содержащихся в область, все точки которой равноправны,

множества скому определению, второй – геометрическому (в качестве меры выступает длина, площадь и др.). И из этого выражения еще раз становится понятно, что в геометрической интерпретации (непрерывный случай) не любое подмножество множества только такое множество

Наконец, поясним понятие противоположного события

Пусть в опыте с однократным подбрасыванием кубика событие состоит в выпадении 1, этому соответствует один элементарный исход. Общее число исходов равно шести. Следовательно, вероятность собы-

тия

подбрасывании кубика не выпадет 1. Ему благоприятно пять исходов:

числа от 2 до 6. Тогда вероятность данного события равна

но, что события местными, т. е. не могут произойти одновременно в одном опыте. Но кроме этого можно заметить, что они образуют полную группу: при одном подбрасывании кубика либо выпадет 1, либо не выпадет, других событий произойти не может. Значит, два события, образующие полную группу, называются противоположными.

равна

Первое свойство класса событий говорит о том, что если событие

принадлежит классу S, то и противоположное ему событие A тоже

. Очевидно, что первый случай соответствует классиче-

. Рассмотрим событие B, состоящее в том, что при

конечно и содержит равновероятные исходы,

, для случая, когда  – некоторая геометрическая

будем считать мерой



будет событием, а

, которое имеет вероятностную меру.

подробнее.

. Очевид-

={выпадет 1} и B ={не выпадет 1} являются несов-

принадлежит этому классу. Иными словами, как событие A, так и про-



тивоположное ему могут произойти в опыте (исключая случай, когда одно из них невозможно). Только, разумеется, не в одном и том же, поскольку они несовместны. Более того, обязательно должно произой-

ти либо одно, либо другое, т. е.



ного события определяется как



1AA. Следовательно, вероятность противополож-



AA



. Из этого понятно, что

Соотношение (8) можно пояснить еще таким примером. Рассмотрим гипотетическое множество из 100 человек (или 100 %, кому как удобнее). Пусть из них 20 человек – разумных (20 %), иными словами, вероятность, что наугад взятый человек разумный, составляет 0,2. Предполагая (для упрощения) мир бинарным, разделенным только на черное и белое (разумных и неразумных), поставим такой простой вопрос: какова вероятность, что случайный человек будет неразумным? Понятно, что в таком случае остальные 80 человек (80 %) будут неразумными. Таким образом, вероятность равна 1 – 0,2 = 0,8.

Очевидно, что достоверное и невозможное события являются противоположными.

Здесь стоит предостеречь от типичных ошибок в формулировке противоположных событий. Например, когда речь идет об опыте с двукратным подбрасыванием монеты, часто противоположным событию

щенными два исхода: выпадение орел–решка и решка–орел. Поэтому на самом деле событие

выпадение только одного орла.

рое событие произойдет хотя бы раз, удобнее вычислит вероятность того, что оно ни разу не произойдет, и воспользоваться соотношением (8).

={ни разу не выпадает орел} ошибочно называют событие

={каждый раз выпадает орел}. В таком случае оказываются пропу-

Часто, когда необходимо определить вероятность того, что некото-

P1PAA . (8)



={хотя бы раз выпадает орел} включает и



1.4. ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ

По смыслу аксиоматическое определение предполагает, что вся вероятностная масса, равная единице, распределяется определенным образом между исходами. Это соответствует классическому определению, что хорошо было проиллюстрировано на рис. 1, если считать площадь всего прямоугольника равной 1. И то же самое получаем и для геометрического определения (рис. 4), если привести площадь области

к единице.

Как отмечено в [8, с. 52], система аксиом А.Н. Колмогорова неполна. Это значит, что для одного и того же пространства элементарных



исходов

вероятности в множестве S мы можем выбирать разными способами. Например, посчитать, что монета имеет смещенный центр тяжести, и шансы выбросить орла в два раза выше. Тогда вероятность выпадения решки составит 1/3, а орла – 2/3. Тем самым, в отличие от классического и геометрического определений, в аксиоматическом отсутствует требование равновозможности элементарных событий

. Действительно, для вычисления вероятности по аксиоматическому



определению необязательно разбивать пространство всех исходов на области одинакового размера, поскольку в соответствии с (6) определяется не число исходов, а складываются их вероятности. Это придает большую гибкость определению.

Например, рассмотрим все тот же эксперимент с двукратным подбрасыванием кубика. Поскольку при игре в кости интересны не сами числа, выпавшие на кубике, а их сумма, то в качестве элементарных

событий можно задать выпадение суммы очков от 2 до 12,

3, , 12  

211

. Здесь, однако, надо быть внимательным и не забы-

2,

вать, что события теперь неравновероятны! Исходя из табл. 1, определим вероятности каждого такого события по классическому определению. В результате получим табл. 3, отражающую все возможные случайные события и их вероятности.

Такая таблица называется таблицей распределения вероятностей исходов. В таком виде распределение вероятностей можно представить только для дискретного вероятностного пространства, поскольку только в этом случае число исходов счетное.

Таблица распределения вероятностей используется для вычисления вероятности заданного случайного события по аксиоматическому

определению (6). Например, вероятность события A={выпадение четной суммы}, определяемого как

A      

1357911

, со-

ставит

P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( )

A  

1357911

135531 18 1





36 36 2

Таблица 3

Распределение вероятностей суммы очков

при двукратном бросании кубика



P( )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Следовательно, как выпадение четной, так и выпадение нечетной суммы равновероятно, хотя количество возможных нечетных сумм меньше. Из табл. 3, кроме того, видно, что с наибольшей вероятностью в эксперименте сумма очков составит 7. Поэтому при угадывании суммы назвать число 7 было бы наиболее выгодной стратегией для игрока, она бы с наибольшей вероятностью принесла выигрыш.

Теперь допустим в том же опыте мы в третий раз подбрасываем кубик, и нам интересны уже все комбинации из трех результатов подбрасывания. Если действовать по аналогии, то к табл. 1 придется добавить еще одно измерение с числом очков в третьем броске. Тем самым у нас будет шесть таких таблиц, как табл. 1. Или одна трехмерная таблица. В целом это не очень наглядно, но, кстати, применимо при программировании, можно создать трехмерный массив. Компьютеру ведь не важно, как это выглядит.

Для упрощения, однако, если, например, нас интересует только сумма очков за три хода, мы можем добавить еще одно измерение к табл. 3, тогда будет обычная двумерная таблица. Это, кстати, при программной реализации позволит задействовать меньше оперативной памяти. Пример такого представления приведен в табл. 4. Здесь в столбцах указана сумма очков после двух бросков, в строках – число, которое может выпасть на третьем броске (как и при каждом другом броске, оно может быть с равной вероятностью от 1 до 6).

Таблица 4

Сумма очков при трехкратном подбрасывании кубика

Число очков

Сумма после двух бросков кубика

Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Число

исходов

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

в третьем броске

6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Но не стоит забывать, что суммы после двух бросков неравновероятны. Поэтому важна и информация о том, в скольких исходах появлялась каждая сумма. Она приведена в табл. 4 в строке «число исходов». Для подсчета числа исходов, соответствующих каждой сумме, нужно не просто посчитать, сколько раз встречается эта сумма в таблице, а сложить соответствующее число исходов. Например, для суммы очков 5 получим 1 + 2 + 3 = 6, а для суммы, например 11, число исходов равно 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27. Всего элементарных исходов после трех бросков будет

36 6 216

сле трех бросков суммы очков 5 равна

. Следовательно, вероятность выпадения по-

, а суммы 11 составля-



216 36

27 1

ет

. Таким образом можно вычислить вероятности для каждой



216 8

возможной суммы очков от 3 до 18 и получить таблицу, аналогичную табл. 3. Программный код на языке R, реализующий описанные действия, приведен в приложении.

Вместо таблицы для наглядности можно использовать график, особенно в том случае, когда исходы можно упорядочить на оси. По оси абсцисс отмечаются все исходы (они могут обозначаться и словесно, например «выпадение орла»), а по оси ординат – вероятность. На пересечении значений исходов и соответствующих им вероятностей ставятся точки или от оси абсцисс продолжаются вертикальные линии. Такое изображение называется графиком дискретного распределения

вероятностей. Соединять точки ломаной линией не стоит, поскольку создается ложное впечатление, что возможны (имеют ненулевую вероятность) и исходы с промежуточными значениями (например, 3,5). Для нашего примера график представлен на рис. 7. Хорошо видно, что после трех бросков наилучшие шансы на выигрыш будут, если назвать сумму 10 или 11.

Вероятность

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12

Рис. 7. График распределения вероятностей суммы очков

после трех бросков кубика

Сумма очков

В общем виде таблица распределения представлена в табл. 5. Здесь прослеживается еще один важный аспект аксиоматического определения: число элементарных событий необязательно должно быть конечным. Поэтому в случае бесконечного числа исходов таблица не заканчивается.

Примером такого эксперимента, где возникает бесконечное, но счетное число исходов, может быть подбрасывание монеты до выпадения орла или подкидывание кубика до выпадения заданного числа очков суммы. В примере с монетой запишем возможные исходы как последовательность выпадения решки и орла:



={орел},



={решка–орел},



={решка–решка–орел},

…



={n раз выпала решка и последний раз – орел},

…

Распределение вероятностей элементарных событий

в дискретном случае

Таблица 5





P( )



P( )

…



P( )n

…

В принципе абстрактный эксперимент длится бесконечно, поскольку гипотетически решка может выпасть бесконечное число раз подряд. Тем не менее с практической точки зрения понятно, что это невозможно, т. е. вероятность этого ничтожно мала. В действительности вероятность каждого последующего события будет убывать по геометрической прогрессии, это станет понятно позже, когда будет рассмотрена

вероятность пересечения независимых событий. Но поскольку

,, ,



– это все мыслимые элементарные события, то мы уже

,

знаем из (5), что сумма их вероятностей будет равна единице. И позже это будет математически показано, и хотя все объясняется просто сходящимся рядом вероятностей, все равно это кажется волшебством!

1.5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Напомним, что мы уже рассмотрели три определения вероятности:  классическое, предполагающее, что множество всех исходов раз-

бито на равновероятные исходы, число которых счетно и конечно;

 геометрическое, когда бесконечному множеству элементарных

исходов соответствует некоторая область;

 аксиоматическое, выделяющее множество всех исходов (необя-

зательно конечное), которые могут иметь разную вероятность.

Казалось бы этого уже вполне достаточно для вычисления вероят-

ностей на практике. Однако в реальности приходится сталкиваться с

более сложными опытами, чем броски монеты или кубика, и часто не

удается выделить элементарные исходы и предположить их равновозможность. Даже в наших простых примерах монета или кубик могут оказаться со смещенным центром тяжести, и рассчитанные вероятности не будут соответствовать реально наблюдаемой достоверности событий. Здесь не стоит забывать (особенно при решении задач), что полученные значения вероятностей имеют конкретный практический смысл, достоверность событий в реальных экспериментах должна соотноситься с результатами вычислений. Соотнести теорию с практикой и позволяет статистическое определение вероятности.

Естественно, что проводя интересующий нас эксперимент один раз, мы получим только один конкретный исход, что не позволит определить достоверность всех возможных исходов. По этой причине практическая достоверность может быть выявлена только при много- кратном повторении одного и того опыта в одинаковых условиях. Иначе это называется однородностью экспериментов: все условия проведения опытов одинаковы, что обеспечивает одинаковые вероятности исходов в любом из экспериментов. Кроме того, испытания должны быть независимы: результаты текущего эксперимента (в смысле вероятностей исходов) не влияют на результаты последующих и не определяются предыдущими. Однородные и независимые эксперименты – это все-таки некоторая абстракция, к которой должны приближаться испытания в реальных условиях.

В ходе серии из навливается, сколько раз произошло некоторое событие



называется абсолютной частотой события A, в том смысле, что

однородных и независимых испытаний уста-

. Это число

оно показывает, насколько часто встречалось событие в серии экспериментов. Однако абсолютная частота сама по себе не слишком информативна, поскольку зависит от числа экспериментов. Например,

при

и числе экспериментов 1000 интуитивно понятно, что



речь идет об очень редком (практически невозможном) событии, тогда как при 10 экспериментах такая частота указывает на практическую достоверность события. По этой причине рассматривается относи-

тельная частота – отношение (или доля) абсолютной частоты к об-

щему числу экспериментов



. Она является эмпирическим (практи-

ческим) аналогом теоретической вероятности при большом числе экс-

периментов

Согласно статистическому определению, вероятность события

есть предел относительной частоты события при числе экспериментов, стремящемся к бесконечности:





. (9)

() lim



Хотя соотношение (9) очень напоминает классическое определение (3), не стоит путать абсолютную частоту с числом благоприятных исходов. Речь в статистическом определении идет о совершенно других величинах. Чтобы применить классическое определение в опыте с подбрасыванием монеты, нужно представить все мыслимые равнове-

2n 

роятные исходы. Здесь всего два элементарных исхода: тию

провести серию из этом

={выпадение орла} соответствует один благоприятный исход:

1m 

. Чтобы воспользоваться статистическим определением, нужно

независимых и однородных экспериментов, при

должно быть достаточно большим.

. Собы-

Например, выдающийся ученый Карл Пирсон провел опыты из 24 000 подбрасываний монеты. При этом герб выпал 12 012 раз. Сле-

довательно,

0,5005

ла

. Заметим, что Карлу Пирсону не казалось очевидным, что



24 000N 

. Относительная частота состави-

12 012

вероятность выпадения орла равна 1/2, он пытался проверить это на практике. И даже при таком большом числе экспериментов как

24000N 

относительная частота еще не равнялась в точности 1/2. Что уж говорить о результатах, если монета подбрасывается всего 10 раз. Впрочем, мы оставляем возможность читателю самому поэкспериментировать и убедиться в необходимости предела при

N 

в соотношении (9), а также по возможности подтвердить результаты, полученные Карлом Пирсоном.

Для тех, кому не досуг сидеть и подбрасывать монету, придумали генератор псевдослучайных чисел. С его помощью можно моделировать эксперименты на компьютере. Большие мощности современных компьютеров позволяют осуществлять миллионы (миллиарды и т. д.) экспериментов, что уже можно воспринимать как

N 

. Поэтому практически любые задачи теории вероятностей можно решить с помощью моделирования. Его можно использовать и в качестве проверки при решении задач. Тут, пожалуй, какой-нибудь читатель заметит: зачем же тогда столько рассуждений о разных определениях вероятности, зачем дальше изучать ее свойства, когда достаточно формулы (9) и

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]