Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, для независимых событий
B
A
g
A
g
A
g
A
g
A
g
A
g
A
g
B
B
B
A
g
A
g
B
A
g
B
PP|P|
BA BA. (20)
Совсем другое дело, если агенты разведки сообщают, что склады
находятся в квадратах
Их площадь одинакова и равна
различается. Рассмотрим событие
|
BA
},
i
1, 2, 3i
, если стрельба ведется по квадрату
1
квадрату
P1
,
,
1
2
1 км , но расположение кардинально
, изображенных на рис. 16, б.
3
2
A
={стрельба осуществляется по
i
. Из рис. 16, б очевидно, что:
, то попада-
1
ние в склады будет достоверным событием, поскольку весь квадрат
целиком входит в область расположения складов;
P|
BA
2
1
, квадрат
2
только наполовину пересекается с
2
областью расположения складов;
|P0BA
3
, квадрат
вообще не пересекается с областью
3
расположения складов, попадание в склады будет невозможным.
Интересно сравнить условную вероятность
P( )
вероятностью этого же события
. Заметим, что условная вероят-
P
с безусловной
|
A
ность может оказаться как больше, так и меньше безусловной.
PP()
Если
чивает
вероятность того, что событие B произойдет. Такая ситуа-
ция возникает, если стрельба ведется по области
области
1
|
BA
, то, очевидно, наступление события A увели-
и особенно по
2
. И это свидетельствует о том, что благодаря данным раз-
ведки противнику удастся лучше решить боевую задачу.
И, наоборот, если
события
B
уменьшается с наступлением события A. Это имеет ме-
P| P
AB
сто, когда стрельба ведется по области
, то вероятность наступления
, шансы в таком случае во-
3
обще становятся нулевыми, значит, данные разведки стоит воспринимать как ложные.
Ну а в ситуации
PP()
сказывается на вероятности наступления события
|
BA
наступление события A никак не
B
. Именно в
61
этом смысле события и являются независимыми. Иными словами,
A
A2A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
B
наступление одного события не изменяет вероятности наступления
g
другого. Это происходит, когда стрельба ведется по области
, что
не добавляет никакой новой информации относительно достоверности
или ложности данных разведки.
Обобщая всю полученную информацию, изобразим дерево вероятностей в общем виде (рис. 17).
P( | )CA B
B
1
B
2
B
3
11 1
P( | )CA B
21 1
P( | )CA B
31 1
C
P( )
1
111
P( )
C
11 2
2
P( )
C
113
3
BC
BC
BC
P( )
1
P( )
P( )
P( | )BA
11
1
2
3
3
Рис. 17. Общая схема дерева вероятностей
P( | )BA
21
P( | )BA
31
Из анализа общей схемы становится понятно, что, когда мы получили соотношение (19), ничего нового мы не вывели, поскольку и
раньше успели заметить: чтобы получить итоговую вероятность реализации цепочки из двух событий (т. е. что они одновременно произойдут), нужно перемножить вероятности на соответствующих им ребрах
ветки. Это означает, что
PP()P
AB
или, поскольку для пересечения
P P P()P P()P
AB B A
A
|
A
и B можно переставить местами,
AB
||
AAB
. (21)
Откуда, если выразить условную вероятность, получается соотношение (19). Казалось бы, выражение (21) – это простое преобразование
62
соотношения (19), но оно имеет свой собственный смысл. Это формула
A
A
A
B
A
A
A
вероятности пересечения зависимых событий. Для вычисления ве-
для
, ,...,
AA A
12
n
роятности
применяется
Сравним формулу (21) с формулой (16), полученной для независимых событий. Из сравнения легко можно сделать заключение, что для
независимых событий
условии
ятность события
пересечения множества зависимых событий
формула умножения вероятностей
P...PP|
AA A A AA
12 1 21
P | P | ... .
равна вероятности события B, и наоборот, условная веро-
AA A AA A A
31 2 1 2 1
и B условная вероятность события B при
при условии B равна вероятности события A:
n
nn
Другими словами, вероятность события остается постоянной вне
зависимости от того, произошло другое событие или нет. Таким образом, в случае независимых экспериментов дерево вероятностей (рис.
17) упрощается с учетом формулы (22): условные вероятности заменяются на безусловные.
Соотношения (16), (20), (22), по сути, являются определениями независимости событий. Именно в таком смысле в теории вероятностей
и употребляется термин «независимые события».
В целом, выявление зависимостей (некоторых закономерностей)
между событиями выступает одной из важных задач во многих областях
науки, поэтому остановимся более подробно на том, как дается заключение о наличии зависимости и почему можно сделать ложные выводы.
Задача о марках. Предположим, что на 1000 марок приходится
300 красивых, 100 редких, и только 30 являются красивыми и редкими
одновременно. Существует ли взаимосвязь между красотой и редкостью марок?
В условии идет речь об экспериментах, в которых каждую из тысячи марок оценивали с точки зрения ее красоты и редкости. Рассматриваются исходы
ложные им события
Поскольку опыты повторяются многократно, то здесь можно воспользоваться статистическим определением вероятности (соотношение (9)).
Будем считать, что число опытов
PP()
={марка красивая}, B={марка редкая} и противопо-
|
BA
={марка некрасивая}, B={марка нередкая}.
PP().
и
1000N
|
AB
достаточно велико.
(22)
63
Из условия известно, что событиям A и B соответствуют частоты
300
A
,
100
B
. Событие AB происходит с частотой
AB
30
.
Из этого очевидно, что редкие и некрасивые марки встречаются в
100 – 30 = 70 случаях, а красивые, но нередкие в 300 – 30 = 270 опытах.
Это схематично изображено на рис. 18 с помощью диаграммы Венна.
1000N
270
\
AB
30
\70BA
100
B
Рис. 18. Диаграммы Венна для задачи о марках
AB
300
A
По статистическому определению,
P0,03
AB
тий (10),
событий (15),
. По определению вероятности объединения собы-
P0,37
AB
P( \ ) P 0, 27AB
. Исходя из свойства вероятности исключения
AB
P( ) 0,3A
,
PP 0,07
\
BA
P( ) 0,1B
,
BA
,
.
По определению вероятности противоположного события (8) и из
свойства (15),
PP 0,63
AB
\
AB
.
Собственно, заключение об отсутствии взаимосвязи между редкостью и красотой марок можно сделать на основании справедливости
соотношения (16), которое является одним из определений независимости. Действительно,
P0,03P()P()0,30,1AB A B
.
В принципе, этого уже достаточно для доказательства, но при этом
не удается раскрыть содержательный смысл. Для того чтобы понять,
64
как одно событие влияет на другое, нужно сравнить так называемые
A
B
B
B
B
B
A
условные распределения вероятностей исходов с безусловными.
Условные распределения строятся в предположении, что произошло
некоторое условие – событие
исходов сократилось до числа исходов, благоприятных событию
Иными словами, рассчитываются
B
, т. е. пространство всех элементарных
условные вероятности всех исходов
B
при условии, что событие B произошло.
Для этого воспользуемся определением условной вероятности (соотношение (19)), т. е. разделим найденные выше вероятности пересечения событий на вероятность условия. В качестве условий рассмотрим два варианта: марка редкая и нередкая. Результаты представлены в
табл. 8.
Таблица 8
Безусловные и условные вероятности того, что марка красивая
(событие
) и некрасивая (событие A) при
A
1000N
.
Вероятность пересечения
A
B
0,03 0,27 0,3 0,3 0,3
0,07 0,63 0,7 0,7 0,7
Безусловная
B
вероятность
Вероятность при условии
B
B
Из табл. 8 видно, что безусловные вероятности в точности равны
условным. Таким образом, на основании соотношения (22) можно сделать вывод, что красота марок не зависит от их редкости. Действительно, во всей совокупности марок 30 % красивых и 70 % некрасивых. Если мы рассмотрим только редкие марки, которых 100 штук, то
в них также только 30 % красивых. Аналогично для нередких марок
выполняется то же самое соотношение. Тем самым совпадение условных и безусловных распределений вероятностей свидетельствует о
том, что признаки красоты и редкости независимы.
Аналогично, если рассчитать условные вероятности
P
и сравнить их с безусловными
|
A
P( )
,
P( )
, то можно заклю-
P
|
A
чить, что редкость марок не зависит от их красоты. Предлагаем читателям (особенно филателистам) самостоятельно произвести расчеты и
убедиться в этом.
Из примера также хорошо видна разница между
P
. Площадь фигуры, соответствующей пересечению событий A
|
B
65
P
и
|
A
,
и B, одинакова (рис. 18). Следовательно, при расчете по формуле (19)
A
A
A
A
числитель будет принимать одно и то же значение. Но условие разное,
поэтому знаменатель будет отличаться. Вероятность события
B
больше, чем
, поэтому для нашего примера
здесь
P| P|
BA AB
Вероятность случайно вынуть редкую марку из набора красивых
марок меньше, чем вероятность вынуть красивую из редких марок.
Здесь в принципе речь идет о разных экспериментах. В первом случае
можно представить, что в альбоме только красивые марки, во втором –
только редкие.
Такое ограничение пространства всех возможных исходов часто
может приводить к ложным выводам о наличии взаимосвязи. Например, посмотрим, что произойдет, если рассматривать только красивые
или редкие марки, исключив нередкие и некрасивые (так называемая
предвзятость отбора).
Вместо тысячи экспериментов мы будем иметь дело только с
370N
, в которых все также
вим снова таблицу безусловных и условных вероятностей.
Как и ранее, рассчитаем вероятности:
P
A
P\ P
AB A B
Заполняем итоговую табл. 9.
Безусловные и условные вероятности того, что марка красивая
(событие А) и некрасивая (событие
PP
30
,
P
37
27
37
(красивые или редкие марки)
BAB
PP
AB
10
B
37
,
P\ P
BA B A
300
A
,
,
P
AB
100
B
,
3
,
P1AB
37
7
37
) при N = 370
.
AB
,
30
P0AB .
. Соста-
,
Таблица 9
Вероятность
Событие
A
пересечения
B
0,0811 0,7297 0,8108 0,3 1
0,1892 0 0,1892 0,7 0
B
Безусловная
вероятность
66
Вероятность при условии
B
B
В новых условиях (когда мы отбросили некрасивые и нередкие
A
A
A
B
марки) события становятся зависимыми! Если марки редкие, теперь
менее вероятно, что попадется красивая, чем если мы будем вынимать
из нередких марок или из всех марок (красивых или редких). Таким
образом, можно сделать ложный вывод о том, что существует зависимость между редкостью и красотой марок.
На этом примере мы проиллюстрировали известный
Берксона (или, скорее, заблуждение). Он гласит: два независимых события
которое
силу жизненных обстоятельств) в экспериментах не реализуются все
возможные исходы, тем самым ограничивается множество всех элементарных исходов.
сальные, связаны с тем, что вывод о взаимосвязи вообще не основывается на сравнении условных и безусловных вероятностей. Например,
наверное, женщин-автомобилистов обнадежит тот факт, что число дорожно-транспортных происшествий (ДТП), совершаемых по вине
женщин, гораздо меньше, чем количество ДТП по вине мужчин. Говорит ли это о том, что женщины более аккуратны?
шло ДТП. Если воспользоваться статистическим определением и
предполагать, что число опытов достаточно большое, то из описанной
информации можно судить об условной вероятности того, что женщина (мужчина) является виновником. Пусть событие
– женщина},
неопределенного пола, событие
ем, что
могут становиться условно зависимыми, если произошло не-
событие.
Такое заблуждение возникает в том случае, если намеренно (или в
Другие довольно часто встречающиеся ошибки, совсем не парадок-
Вовсе нет. Здесь рассматриваются только ситуации, когда произо-
={водитель – мужчина}, не будем учитывать особей
B
={произошло ДТП}. Тогда мы зна-
парадокс
={водитель –
P| P|
BAB .
С учетом определения условной вероятности, получим
PP
Это ничего не говорит нам о взаимосвязи. Согласно формуле (20),
для того чтобы сделать вывод о наличии взаимосвязи, нужно сравнить
вероятность того, что произойдет ДТП, при условии, что за рулем
женщина, и при условии, что водитель-мужчина, т. е.
ABA.
67
P
B
B
B
B
BAB
A
A
A
A
A
A
A
A
A
или, по определению условной вероятности (соотношение (19)),
P
P
|
BA
Или с использованием правила пропорции можно сравнить
что равнозначно сравнению
Таким образом, нужно еще учитывать соотношение водителей
мужского и женского пола, т. е. знать
всех автомобилистов мужчин больше, чем женщин, поэтому можно
предположить, что
Хотя мы знаем, что оба отношения (23) меньше единицы, поскольку числитель меньше знаменателя, но весь вопрос, насколько меньше.
Если доля женщин в числе виновников ДТП равна доле женщин в общем числе водителей, то в соответствии со статистическим определе-
нием вероятности можно заключить, что
PP
P( )
P
P
P
P
A
и
P
|
A
A
A
|
|
A
P
и
BA
P( )
и
P
A
B
B
.
и
P
P
P( )A
|
A
|
PP()
,
P
A
P
,
. (23)
и
P
AB
|
.
A
. Как правило, из
A
. Значит, мож-
влияет на аварийность, а ложные выводы, сделанные выше, обусловлены преобладанием мужчин-автомобилистов.
Похожие выводы иногда встречаются при описании результатов
статистических опросов. Хотя самый комичный пример такого рода
ложных рассуждений – это упражнение в сравнительной логике и математической статистике «
Таким образом, никогда не нужно забывать, что зависимость между событиями
есть информация о вероятности события
B
тие
Например, эффект от лекарства выявляется при сравнении вероятности
произошло, так и при условии, что событие B не произошло.
и B можно выявить, только если в распоряжении
О вреде огурцов» [12, с. 236].
как при условии, что собы-
68
вылечиться при условии приема лекарства и без лекарства. Анализ
K
H
K
A
K
H
K
H
K
A
A
H
H
H
H
данных только о приеме препарата не позволяет выявить взаимосвязь
между приемом и излечением.
3.4. ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Ранее было введено понятие «полная группа событий». Напомним,
,,,
что речь идет о множестве событий
являются попарно несовместными:
1)
;
ij
2)
их объединение – достоверное событие:
Аналогичные условия на вероятности:
K
P1
H
i
1
.
i
HH
12
, которые
HH
ij
K
i
1
iH
для любых
.
P0
HH
ij
Такие события использовались ранее в качестве элементарных исходов в аксиоматическом определении вероятности. Они отличаются
от исходов в классическом определении тем, что не обязательно имеют одинаковые вероятности, таких событий может быть бесконечное
число (в частном случае
Пусть некоторое событие
Тогда будем называть события
ле, что
они разбивают все множество исходов на
отвечающих различным условиям реализации события
римента
.
В примере с вероятностью события
стве гипотез можно рассмотреть пол водителя:
женщина},
={водитель-мужчина} (исходя из того, что пол автолю-
2
).
зависит от событий
,,,
HH
12
гипотезами в том смыс-
={произошло ДТП} в каче-
,,,
HH
12
подмножеств,
в ходе экспе-
={водитель-
1
бителя влияет на вероятность попасть в ДТП). В опыте с извлечением
шаров из урны без возвращения (рис. 14) можно рассматривать гипоте-
зы:
={первым извлечен белый шар},
1
={первым извлечен черный
2
шар} (очевидно, что от этих событий зависят последующие исходы).
,
.
69
Таким образом, гипотезы, как правило, указывают на принадлеж-
A
A
x
A
K
A
A
A
A
A
ность к некоторой группе в неоднородных совокупностях (например,
различающиеся по полу, цвету, национальности).
Гипотезы были введены с той целью, чтобы представить событие
следующим образом:
KK
AAHAHAHAH AH
ii K
11
ii
12
. (24)
Здесь пересечение объединения событий равно объединению пересечений исходя из свойства дистрибутивности бинарных операторов
()
yz xyxz
. В конце формулы (24) знаки объединения и пере-
сечения заменены на умножение и сложение для наглядности.
Поскольку гипотезы попарно несовместны, то несовместными будут
и их пересечения с событием
AH AH
:
ij
для любых
Дей-
.ij
ствительно, события {произошло ДТП с водителем-женщиной} и
{произошло ДТП с водителем-мужчиной} не могут произойти одновременно в одном опыте, поскольку за рулем либо женщина, либо
мужчина.
Следовательно, исходя из формулы (7), вероятность объединения
событий
AH
в соотношении (24) можно рассчитать как сумму веро-
i
ятностей этих событий:
K
PP P P P
AH AH AH AH
12
i
1
. (25)
i
Как подчеркивалось выше, гипотезы используются в основном в
том случае, если событие
ресечения
сти
P|
P
в соотношение (25), получим
H
i
P
H
i
будет определяться на основе условной вероятно-
H
i
по соотношению (21). Подставив выражение для
P( ) P P P P
A
PP PP .
HAH
от них зависит. Поэтому вероятность пе-
HAH H AH
112 2
KK
||
K
|
70
HAH
i
ii
1
|
(26)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]