Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
генератора псевдослучайных чисел? Однако это нисколько не приблизит к пониманию основ и закономерностей теории вероятностей! А это
и есть основная цель решения задач, а вовсе не расчет нужного значения, которое (вот удача!) сошлось с ответом.
Наконец, специально для тех, кто заскучал и кого не воодушевляют
ни натурные эксперименты, ни компьютерное моделирование, приведем немного циничный анекдот.
Последний шанс [12, с. 147]. Больной спрашивает у врача:
Доктор, я слышал, что при моей болезни умирают 99 человек из
100. Значит, у меня нет шансов?
Врач:
Что Вы, батенька? Наоборот, Вам повезло: у нас как раз вчера
умер 99-й такой больной.
Кроме того что статистическое определение позволяет получить
некоторое приближение к теоретической вероятности с помощью относительной частоты, оно может использовано в обратном направлении, т. е. для объяснения полученного теоретического значения с точки зрения практики. Так, значение вероятности 1/3 свидетельствует о
том, что при большом числе опытов (в идеале – бесконечном) в 1/3
случаев будет происходить заданное событие.
Из этого же следует, что о вероятности корректно говорить, когда
возможна повторяемость опытов в одинаковых условиях и их результаты являются статистически устойчивыми, т. е. стабильными при повторном проведении опытов. С этой точки зрения некоторыми учеными считается некорректным применение теории вероятностей и математической статистики при решении многих экономических задач.
Подробнее об этом можно почитать в [19].
Мы, однако, не склонны к чрезмерному скептицизму относительно
применимости вероятностных и статистических методов в экономике.
Главное, чтобы анализируемая сфера позволяла накапливать достаточно большой статистический материал. И в этом отношении студенты
дают такую замечательную возможность! Каждый год поступают новые потоки и учатся довольно длительный срок (кто как, конечно). Это
позволяет на основе наблюдаемых явлений (результатов опытов над
студентами) исследовать вероятность успешной сдачи сессии [18], вероятность того, что студент доучится до определенного курса [17], и,
заглядывая еще дальше, вероятность трудоустройства по специальности [3].
31
Тем самым подводя итог, выделим основные источники информации о величине вероятности в реальной действительности:
предположение о равновозможных исходах;
теоретические представления в естественных науках (например,
молекулярной физике, в частности, рассмотренный выше пример с моделями размещения физических частиц);
относительная частота события, определенная в ходе серии опытов.
И закончить хотелось бы поучительным случаем.
В поисках практической достоверности [2, с. 134]. Шла Великая
Отечественная война. Зимней ночью во время одного из налетов
немецкой авиации на Москву известный советский профессор статистики неожиданно появился в своем дворовом бомбоубежище. До тех
пор он никогда туда не спускался. Он говорил: «В Москве 7 миллионов жителей, почему я должен ожидать, что попадут именно в меня?».
Удивленные друзья поинтересовались, что заставило его поменять
точку зрения. «Подумать только! – Ответил профессор. – В Москве
7 миллионов жителей и один слон. Прошлой ночью они убили слона!».
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Что такое вероятность по классическому определению?
2. Каким условиям должны удовлетворять элементарные исходы?
3. В каких случаях используется геометрическое определение ве-
роятности?
4. Чем отличается событие от элементарного исхода?
5. Что такое невозможное и достоверное событие?
6. Какие исходы считаются равновозможными?
7. Чем отличаются несовместные события от противоположных?
8. Объясните смысл тройки элементов, образующих вероятностное
пространство согласно аксиоматическому определению.
9. Чем отличаются элементарные исходы в аксиоматическом и в
классическом определениях вероятности?
10. Какие дополнительные возможности дает аксиоматическое
определение вероятности?
11. Как составляется и зачем используется таблица распределения
вероятностей исходов?
12. Что такое абсолютная и относительная частоты события?
13. Дайте статистическое определение вероятности.
14. Объясните связь между реальностью и теорией вероятности.
32
A (A
A
A
A
A
A
A
2. СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ
Как отмечалось выше, аксиоматика, введенная А.Н. Колмогоровым, позволяет рассматривать некоторые преобразования событий как
операции теории множеств и выводить вероятности таких преобразований событий. Исходя из этого можно выписать свойства вероятности, обоснованные с точки зрения теории множеств. Здесь мы будем
их иллюстрировать графическим представлением множеств, аналогичным рис. 1 и 4. Часть из этих свойств повторяют описанные ранее в
классическом определении и приведены здесь для комплексности изложения материала.
2.1. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО
СОБЫТИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ
I. Невозможное событие принадлежит классу событий, и его веро-
ятность равна нулю:
ждение неверно, т. е. из нулевой вероятности еще не следует невоз-
можность события.
II. Если в одном опыте событие
исходит событие
не превышает вероятность события B . Другими словами, для со-
бытий
ним) влечет
={выпадение шестерки на кубике}. Шестерка – это четное число,
поэтому событие
ном случае
ски область, соответствующая событию
равна по площади области, соответствующей событию
тельно, так же соотносятся и вероятности этих событий.
и B включение
P( ) P( )AB
Например, пусть
входит в событие B .
P( ) P( )AB
,P( ) 0S . Напомним, что обратное утвер-
B
имеет место всегда, когда про-
влечет за собой B), то вероятность события
(A содержится в B
B
.
B
={выпадение четного числа на кубике},
P( )
B
. Это проиллюстрировано на рис. 8. Графиче-
, всегда будет меньше либо
или совпадает с
1
,
P( )
2
1
A
6
B
. Следова-
, в дан-
33
A
A
A
B
A
B
1 2 3
4 5
Рис. 8. Включение
событий
С точки зрения здравого смысла представляется, что у умного студента больше шансов сдать зачет, поэтому в ответе на вопрос 2 получается большая вероятность, чем на первый. Однако это пример того,
как можно неверно оперировать событиями. Ошибки легко вскрываются, если оперировать числами, а не такими обтекаемыми формулировками. Заодно объясним взаимосвязь теории вероятностей с теорией
множеств.
Представим гипотетическое множество студентов, допустим, их
100 человек. Мы можем взять наугад любого из них, следовательно,
это множество человек здесь будет множеством всех элементарных
исходов
100 студентов приходится 20 умных. Пусть событие
успешно сдает зачет} включает событие
Это вполне приемлемая абстракция: умный студент всегда успешно
сдает зачет.
20. Становится понятно, что в вопросе 2 речь идет о гораздо меньшем
числе студентов, чем в вопросе 1: они должны не только успешно
сдать зачет, но и быть при этом умными. Тем самым, как и следует из
рассмотренного свойства, вероятность включения
меньше вероятности
той причине, что формулировка вопроса 2 очень похожа на условную
вероятность
условии, что он окажется умным. В этом примере множество всех ис-
ходов состоит только из исходов, входящих в
является достоверным (умный студент всегда сдает зачет), и его вероятность равна 1, что действительно больше
несколько позже.
. И предположим, что из них зачет успешно сдают 50 и на
Тогда событию
P|
6
B
благоприятно 50 исходов, а событию A только
B
,
P( )
того, что случайный студент сдаст зачет при
A
Хотя это свойство кажется простым
до очевидности, но нередко здесь возникает путаница, прежде всего связанная с
формулировками событий. Например:
1) какова вероятность, что случайно
взятый студент успешно сдаст зачет?
2) какова вероятность, что случайно
взятый студент успешно сдаст зачет и
окажется при этом умным?
B
={студент
={студент умный},
(в вопросе 2)
A
1
,
P( )
5
B
1
. А путаница возникает по
2
, поэтому событие B
P( )
. Но это мы обсудим
B
.
34
Заметим, что пересечение
A
A
A
A
A
A
событие
, вероятность которого меньше или равна. Тем самым, объ-
вложенных событий
B
B
даст
единяя исходные события с еще какими-то дополнительными событиями (например, студент должен быть не только умным, но и красивым), мы всегда получим меньшую (либо равную) вероятность. И она
будет все меньше и меньше при объединении все большего числа событий (если они не являются тождественно равными), следовательно,
как в примере с подбрасыванием монеты до выпадения орла, в итоге
при очень большом числе ходов вероятность будет близка к нулю.
2.2. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБЪЕДИНЕНИЯ ДВУХ СОБЫТИЙ
III. Вероятность объединения двух событий
7
(произойдет или од-
но, или другое, или оба вместе, т. е. хотя бы одно из них) определяется как
PPPP
BABAB
. (10)
Таким образом, кроме того что нужно сложить вероятности событий, необходимо не забыть вычесть вероятность их пересечения. Заметим, что для несовместных (непересекающихся) событий по соотноше-
нию (10) достаточно сложить их вероятности, поскольку
Это полностью согласуется с введенным ранее свойством
P0AB
-аддитив-
.
ности (7).
Объясним на простом примере, почему необходимо отнимать вероятность пересечения, и к каким ошибкам приводит игнорирование этого обстоятельства. Рассмотрим два события в опыте с двукратным
подбрасыванием монеты: событие
B
={выпадет хотя бы одна решка}. На рис. 9 представлены элементар-
={выпадет хотя бы один орел} и
ные исходы. Горизонтальной штриховкой закрашены три исхода, благоприятных событию
, вертикальной – событию B. Следовательно,
на месте их пересечения исходы закрашены решеткой.
7
Стоит предостеречь от такой популярной перестановки слов – «объединение вероятностей». Во-первых, вероятности – это числа, поэтому для них
применимы арифметические действия (сложение, умножение), а операция
объединения применяется здесь к множествам. Сначала мы объединяем события, т. е. находим некоторое событие, которое включает оба исходных события, а потом вычисляем вероятность этого события.
35
Решка–решка Орел–решка Решка–орел Орел–орел
Рис. 9. Объединение событий
Поскольку каждому событию благоприятно по три исхода, то, по
3
классическому определению,
P( ) P( )
AB
. Попытка просто сло-
4
жить эти вероятности
P( ) P( ) 1
AB
61
42
приводит к нелепому результату: вероятность получается больше единицы. Из рис. 9 видно, что при суммировании пересечение учитывается дважды. Поэтому стоит только отнять вероятность пересечения,
равную
1
P
AB
,
2
PP()P()P11
AB A B AB
11
22
,
как все встает на свои места, и мы получаем достоверное событие.
Действительно, если два раза подбрасывать монету, то всегда либо хотя бы раз выпадет орел, либо хотя бы раз выпадет решка.
2.3. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБЪЕДИНЕНИЯ
МНОЖЕСТВА СОБЫТИЙ
Если объединяются несколько событий, о которых заведомо неизвестно, что они попарно не пересекаются, то вероятность объединения
уже вычисляется по более сложной формуле, чем (10), поскольку
необходимо учесть все возможные пересечения каждой пары, тройки и
т. д. событий. Попутно заметим здесь, что из попарной несовместно-
сти событий вытекает несовместность и любой комбинации любого
числа этих событий (для независимости такое свойство не выполняет-
ся, что будет разобрано на примере пари молодого математика позже).
36
Формулу для вероятности объединения множества событий можно
A
B
A
A
A
A
A
A
m
вывести, если выразить
положить
,,,
AA A
12 1
A
,
m
. Тогда получаем
m
P
с помощью соотношения (10), где
i
i
1
11m
i
A
;
i
11m
означает объединение
i
i
mm m m
PP P PP
ii i i
iimimim
11 1 1
11 1
AA A A AA
.
Из этого по индукции можно получить следующее соотношение
для вероятности объединения
m
PPP P
i
PP P
PP P
AA A AA A A A A
123 124 2 1
AAA A
im
1
AA AA A A
12 13 1
(1) ,
где для краткости пересечение
умножения
A
ij
.
событий:
m
12
1
m
PA A
ij
1
A
mm
mmm
(11)
m
записано с помощью знака
Тем самым суммируются вероятности каждого события в отдельности, отнимаются вероятности пересечения каждой двойки событий,
далее опять прибавляются вероятности пересечения каждой тройки,
потом опять отнимаются и т. д. до тех пор, пока не дойдем до пересечения
событий.
m
Запишем формулу (11) для удобства более кратко:
m
P(1)
i
1
PP P P
im
123
m
1
, (12)
где
37
m
P
A
A
A
A
A
A
PA
mm m
PAAA
3
ijikj
P
1
1
i
21
111
,
PAA
i
P
1
mm
2
iji
,
ijk
P
11
,
ij
m
P
mi
i
.
A
1
Посмотрим, как можно использовать формулу (12) на примере задачи о совпадениях. В общем виде задача заключается в расчете веро-
ятности того, что после случайной перестановки объектов хотя бы
один из них окажется на своем месте. Но мы возьмем более интересный пример.
В осеннюю ненастную погоду студенты пришли на занятия в плащах-дождевиках. В силу стечения обстоятельств все дождевики
внешне оказались абсолютно одинаковыми. Они повесили их на одну
вешалку и после занятий, не имея возможности отличить свой дождевик, разбирали наугад. Какова вероятность, что хотя бы один плащ попадет к своему владельцу?
Пусть пришло
до
. Задача сводится к размещению m плащей на позициях от 1 до
m
, т. е. к перестановкам без повторений. Нас интересует событие
m
студентов. Зафиксируем позиции студентов от 1
m
={из m плащей найдется хотя бы один, который после перестановки
занял свою исходную позицию (вернулся владельцу)}.
Очевидно, что мы имеем дело со сложным событием, которое
представляет собой некоторую комбинацию более простых. Поэтому
введем более простые события:
= {k-й студент взял свой плащ – k-й элемент на своей пози-
k
ции},
1, ,km
Тогда для того чтобы произошло событие
ся хотя бы одно из событий
но представить как объединение более простых событий
.
,
должно реализовать-
,,,
AA
12
. Тем самым событие A мож-
m
,,,
AA
12
m
Следовательно,
.
m
i
PP
.
A
i
1
В этой задаче элементарным исходом будет перестановка чисел,
соответствующих номерам плащей, выбранных студентами. Следует
38
иметь в виду, что все перестановки равновероятны, и поскольку число
A
A
перестановок равно
равна
1
.
!m
, то вероятность каждого элементарного исхода
!m
Пусть студентов всего четверо. Тогда, например, перестановка 2, 3,
1, 4 означает, что первый студент взял второй плащ, второй – третий,
третий – первый, четвертый студент взял свой плащ. Всего имеем
!24m
элементарных исхода, они представлены в табл. 6.
Определим число исходов, благоприятных событию
1k
, тогда первый плащ должен быть зафиксирован на первой пози-
. Пусть
k
ции. Это выделено в табл. 6 полужирным начертанием. Этому благоприятны исходы № 1–6. Их число определяется числом перестановок
3! 6
оставшихся трех плащей, т. е.
приятных исходов равно
исходов не будет зависеть от
нию, вероятность события
k
P( )
Все элементарные исходы в задаче о совпадениях при m = 4
. Или в общем случае число благо-
. Очевидно, что число благоприятных
1!m
k
и, согласно классическому определе-
будет равна
(1)!
m
A
k
.
!
m
Таблица 6
№ исхода
1
2
3
4
5
6
7 2 1 3 4 19 4 1 2 3
8 2 1 4 3 20 4 1 3 2
9 2 3 1 4 21 4 2 1 3
10 2 3 4 1 22 4 2 3 1
11 2 4 1 3 23 4 3 1 2
12 2 4 3 1 24 4 3 2 1
Номер студента
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 4 13 3 1 2 4
1
2 4 3 14 3 1 4 2
1
3 2 4 15 3 2 1 4
1
3 4 2 16 3 2 4 1
1
4 2 3 17 3 4 1 2
1
4 3 2 18 3 4 2 1
1
№ исхода
39
Номер студента
Теперь рассмотрим пересечение
A
A
s
j
P
A
={i-й и j-й студенты од-
A
ij
новременно выбрали свой плащ}. Реализация такого события означает,
i
-й и j-й элементы зафиксированы на своих позициях, а осталь-
что
ные номера – в любом порядке. Пусть
ятные событию
, отмечены в табл. 6 курсивом. Таких исходов
A
ij
1i
2j
,
, исходы, благопри-
всего два, что определяется числом перестановок оставшихся двух
2! 2
плащей
. Опять же понятно, что в итоге вероятность пересечения
каждой двойки событий будет одинаковой и составит
(2)!
m
P
AA
ij
.
!
m
Рассуждая аналогично, получим, что вероятность пересечения
событий равна
()!
ms
P
AA A
ij s
,
ij s
!
m
.
И так вплоть до пересечения всех событий, которому соответствует
один благоприятный исход:
m
P
i
1
()!1
mm
A
i
mm
!!
.
Тем самым мы нашли все вероятности пересечений, которые фигурируют в формуле вероятности объединения (12). Остается только их
просуммировать. Для этого нужно определить, сколько слагаемых будет в каждом выражении для
Возьмем
,,,
AA
12
P
, здесь просто складываются вероятности всех событий
1
. Таких вероятностей m, следовательно, их сумма опре-
m
.
деляется как
(1)!
m
Заметим, что
Pm
1
P
– это сумма вероятностей совместных (пересека-
1
m
.
1
!
ющихся) событий, т. е. все пересечения в ней учтены несколько раз.
P
В этой связи никакого содержательного смысла
не имеет, это не
1
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]