Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Чтобы теперь получить апостериорные вероятности гипотез, достаточно поделить записанные условные вероятности на их сумму, равную
A HAHAHA
PP P P 0
3132333
Тогда апостериорная вероятность того, что автомобиль за первой
дверью, равна
В то время как апостериорная вероятность того, что приз за второй
дверью, составит
Как видим, при выборе второй двери вероятность выиграть автомобиль в два раза выше. Удалось ли убедить вас поменять свое первоначальное решение?
Надеемся, что да. Тогда открываем вторую дверь (рис. 22).
P
HA
P|
HAA
13
P|
HAA
23
13
P123
3
P
HA
23
P123
3
16 1
11 3 1
63 6 2
.
13 2
.
.
Рис. 22. Результат игры
Что ж, возможно, вы расстроились, так и не увидев долгожданного
автомобиля? Но ведь никто вам не гарантировал со 100 %-й вероятностью, что он за второй дверью… Хотя вероятность в два раза выше,
это не означает, что в данной конкретной игре за второй дверью будет
приз. Только повторяя опыт многократно, вы убедитесь, что при изменении своего первоначального выбора будете выигрывать в два раза
чаще. Таков закон случая!
81
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Изобразите дерево вероятностей для эксперимента с угадыванием случайного кода из трех цифр от 1 до 5. Рассмотрите два случая:
цифры могут повторяться и цифры не повторяются. В каком случае
события будут зависимы, а в каком нет?
2.
По построенным выше деревьям определите, каковы шансы уга-
дать: 1) код 1234; 2) код, в котором чередуются четные и нечетные
цифры.
3.
При каких условиях события можно считать независимыми?
4.
Чем отличаются независимые и несовместные события?
5.
Ответьте на вопрос, который Сэмуэль Пепайс задал Исааку Нью-
тону [13, с. 12]: «Какое из событий более вероятно: появление по
крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей, появление
хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей, появление не
менее трех шестерок при бросании 18 костей?».
6.
Дайте определение условной вероятности.
7.
Пусть клиент, в зависимости от его занятости, предпочитает по-
сещать магазин в разное время дня. Какие выводы можно сделать из
сравнения условных вероятностей посещения магазина в заданный
промежуток времени клиентом в предположении его полной занятости, частичной занятости и при отсутствии работы?
8.
Каким условиям должны удовлетворять события, чтобы их
можно было считать гипотезами, т. е. чтобы они составляли полную
группу?
9.
В каких случаях имеет смысл использовать определение полной
вероятности? Приведите примеры.
10.
Чем апостериорные вероятности отличаются от априорных?
11.
Как формула Байеса позволяет учитывать результаты опыта при
вычислении вероятностей событий?
12.
Пусть безработный клиент с равной вероятностью может прийти
в магазин в любое время в пределах часов его работы, в то время как
работающий клиент приходит только в вечерние часы. Изначально
клиент равновероятно может быть как безработным, так и работающим. Как изменится соотношение этих вероятностей, если случайный
клиент пришел: 1) утром; 2) вечером.
82
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасьев В.В. Теория вероятностей / В.В. Афанасьев. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2007. – 350 с.
Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска / пер. с англ. – М.: ЗАО
2.
«Олимп-Бизнес», 2000. – 400 с.
Борисова А.А. Взаимосвязь динамики готовности обучающегося состо-
3.
яться в профессии с типом последующего трудоустройства / А.А. Борисова,
А.Ю. Тимофеева // Экономический анализ: теория и практика. – 2015. –
№ 14 (413). – С. 11–24.
Валландер С.С. Лекции по статистике и эконометрике. – СПб.: Изд-во
4.
Европ. ун-та в Санкт-Петербурге, 2005. – 248 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат.
5.
лит., 1969. – 576 с.
Верт Л. Экономическая психология. Теоретические основы и практи-
6.
ческое применение. – Харьков: Изд-во «Гуманитарный Центр», 2013. – 432 с.
Воннегут К. Фокус-покус / К. Воннегут. – М.: АСТ, 2010. – 317 с.
7.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат.
8.
лит., 1988. – 448 с.
Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
9.
Изд-во Моск. ун-та, 1983. – 328 с.
Куликов Е.И. Прикладной статистический анализ. – М.: Горячая линия–
10.
Телеком, 2008. – 464 с.
Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика: учебное пособие /
11.
М.Б. Лагутин. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 472 с.
Математики тоже шутят / автор-сост. С.Н. Федин. – М.: ЛЕНАНД,
12.
2014. – 264 с.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с реше-
13.
ниями. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 112 с.
Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и голо-
14.
воломки / Я.И. Перельман. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель,
2008. – 271 с.
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статисти-
15.
ке. – М.: Мир, 1990. – 240 с.
Строгац С. Удовольствие от x. Увлекательное путешествие в мир ма-
16.
тематики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац. – М.:
Манн, Иванов и Фербер, 2014. – 304 с.
Тимофеева А.Ю. Отчисления студентов в процессе обучения: объясни-
17.
тельная сила ЕГЭ / А.Ю. Тимофеева, О.Е. Аврунев // Мы продолжаем тради-
83
ции российской статистики: сб. докл. междунар. науч.-практ. конф. «1 Открытый российский статистический конгресс» (Новосибирск, 20–22 окт. 2015).:
в 4 т. Т. 4. Теоретические поиски и предложения. – Новосибирск: НГУЭУ,
2016. – С. 133–140.
Тимофеева А.Ю. Подходы к прогнозированию изменения численности
18.
студентов вуза / А.Ю. Тимофеева, О.Е. Аврунев // XXIV Международная
конференция «Математика. Экономика. Образование». IX Международный
симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Международная конференция по
стохастическим методам. Труды. – Ростов н/Д: Изд-во «Фонд науки и образования», 2016. – С. 76–82.
Тутубалин В.Н. Теория вероятностей в естествознании. – М.: Знание,
19.
1972. – 48 с.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т. 1. – М.:
20.
Мир, 1984. – 498 с.
Binmore K. Playing for real: a text on game theory. – New York: Oxford
21.
university press, 2007.
84
ПРИЛОЖЕНИЕ
Скрипт на языке R
## Построение таблицы распределения суммы очков после трех бросков с помощью многомерных массивов
# Варианты очков на одном кубике
v1=1:6
# Варианты суммы очков после двух бросков в виде двумерного массива
v2=outer(1:6,1:6,"+")
# Варианты суммы очков после трех бросков в виде трехмерного массива
v3=outer(v1,v2,"+")
# Таблица с числом уникальных вариантов (после трех бросков)
t3=table(v3)
## Построение таблицы распределения суммы очков после трех бросков на основе промежуточных таблиц
# Таблица с числом уникальных вариантов (после двух бросков)
t2=table(v2)
# Таблица распределения суммы очков после двух бросков
p2=t2/sum(t2)
# Прибавляем к исходам после двух бросков очки на третьем броске
v3_1=outer(v1,as.numeric(names(p2)),"+")
# Из столбцов матрицы v3_1 сформируем вектор
v3_1_vect=c(v3_1)
# Создадим вектор с числом исходов, соответствующих суммам из
v3_1_vect
t2_vect=rep(t2,each=length(v1))
# Просуммируем число исходов, благоприятных реализации каждой
суммы
t3_1=tapply(t2_vect, v3_1_vect,sum)
# Таблица распределения суммы очков после трех бросков
p3=t3/sum(t3); p3_1=t3_1/sum(t3_1)
# График распределения суммы очков после трех бросков
plot(p3,yaxs="i",xlab="Сумма очков",ylab="Вероятность")
85
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 3
1. Определения вероятности ................................................................................... 6
1.1. Классическое определение .......................................................................... 10
1.2. Геометрическое определение ...................................................................... 15
1.3. Аксиоматическое определение ................................................................... 19
1.4. Таблица распределения вероятностей исходов ......................................... 24
1.5. Статистическое определение ...................................................................... 28
Контрольные вопросы и задания .......................................................................... 32
2. Свойства вероятности ........................................................................................ 33
2.1. Вероятность невозможного события и включения .................................. 33
2.2. Вероятность объединения двух событий ................................................... 35
2.3. Вероятность объединения множества событий ....................................... 36
2.4. Вероятность исключения ............................................................................ 43
Контрольные вопросы и задания .......................................................................... 44
3. Вероятности зависимых событий ..................................................................... 45
3.1. Дерево вероятностей .................................................................................... 45
3.2. Зависимые события ...................................................................................... 52
3.3. Условная вероятность .................................................................................. 55
3.4. Полная вероятность ..................................................................................... 69
3.5. Формула Байеса............................................................................................ 73
Контрольные вопросы и задания ......................................................................... 82
Список литературы ................................................................................................ 83
Приложение. Скрипт на языке R ......................................................................... 85
86
Тимофеева Анастасия Юрьевна
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ЧАСТЬ 1
Учебное пособие
Редактор М.О. Мокшанова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
___________________________________________________________________________________
Подписано в печать 07.12.2017. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 60 экз.
Уч.-изд. л. 5,11. Печ. л. 5,5. Изд. № 358/16. Заказ № 40. Цена договорная
___________________________________________________________________________________
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Новосибирского государственного технического университета
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
87
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]