Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
вероятность, а просто величина, используемая для вычислений в фор-
A
s
s
s
x
муле (12).
Величина
пар событий из
та из множества, состоящего из
P
представляет собой сумму всех неповторяющихся
2
,,,
AA
12
. Тем самым нужно выбрать
m
элементов. При этом порядок сле-
m
2s
элемен-
дования не принимается во внимание, т. е. наборы, отличающиеся
только порядком следования, считаются одинаковыми. В комбинаторике число вариантов такого выбора определяется как число сочетаний
m
ms
!( )!
. Следовательно, сумма
P
вероятностей пересечения
2
s
C
m
!
каждой пары событий равна
!( 2)!1
mm
P
2
mm
2( 2)! ! 2
.
Наконец, с учетом того, что число слагаемых в выражении
дет задаваться числом сочетаний
PC
sm
C , получим общее выражение
m
()!1
ms
s
!!
ms
.
P
бу-
При подстановке его в соотношение (12) в результате имеем
m
AA
P( ) P 1 ( 1)
i
1
i
11 1
23! !
1
m
m
. (13)
Следовательно, вероятность того, что хотя бы один плащ попадет к
своему владельцу, может быть вычислена по соотношению (13) при
заданном числе студентов
. При достаточно больших m можно вос-
m
пользоваться разложением экспоненты в ряд Маклорена:
При
23
x
e1
xx x
.
1! 2! 3! !
1x
получаем сумму знакочередующегося ряда
1
e11
11 (1)
2! 3! !
.
n
n
n
n
0
n
n
2
41
В результате при
A
A
m
искомая вероятность
P( ) 1 eA
Вероятность очень быстро сходится к
приведены значения вероятности
6m
при
ошибка аппроксимации, т. е. абсолютная разница между
P( )
1
. (14)
1
1 e 0,6321
. В табл. 7
при разных m. Видно, что уже
результатами расчета по (13) и по (14), не превышает 0,0002.
Таблица 7
Вероятность события
объектов хотя бы один из них окажется на своем месте}
2m
P( )
0,5 0,6666 0,625 0,6333 0,6319 0,6321
A ={после случайной перестановки
3m
4m
5m
m
6m
7m
Кроме того, оказывается, что вероятность хотя бы одного совпадения при перестановке достаточно велика и практически постоянна, как
бы ни увеличивалось число объектов. На этом основан известный парадокс раздачи подарков [15, с. 30–31]. Он предполагает такой, казалось бы, справедливый обмен подарками: все подарки складываются
вместе, перемешиваются и случайным образом распределяются между
людьми, которые их принесли. Поскольку вероятность того, что
m
1 m
какому-то одному человеку достанется его же подарок, равна
, то
ожидается, что для больших групп вероятность такого совпадения
очень мала. Однако табл. 7 свидетельствует об обратном: вероятность
по крайней мере одного совпадения близка к 2/3. Не правда ли хороший повод придерживаться золотого правила: подари то, что ты бы
хотел, чтобы подарили тебе.
И последнее свойство вероятности, которое мы рассмотрим, касается вероятности исключения событий.
42
2.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ИСКЛЮЧЕНИЯ
A
B
B
A
A
A
A
B
IV. Вероятность наступления события
B при одновременном исключении наступления события
тоже самое,
P\ P P P()P()P
A , равна
A BA ABABBA . (15)
\BA
(наступление события
), или, что
Это свойство удобно проиллюстрировать с помощью диаграммы
Венна (рис. 10). На ней круги Эйлера обозначают области, содержащие
множество элементарных исходов соответствующих событий. Область
пересечения кругов Эйлера соответствует исходам события
ключение событий
Эйлера для события
щую кругу события
ления вероятности
сти события
B
вероятность пересечения
\BA
соответствует области, образуемой кругом
B
, от которого отсекли область, соответствую-
. Тем самым из рисунка понятно, что для вычис-
\BA
можно, с одной стороны, отнять от вероятно-
. С другой стороны,
B
B . Ис-
можно от вероятности объединения событий, которая пропорциональна общей площади фигуры, образуемой кругами, вычесть вероятность
события
.
\AB
A
\BA
B
Рис. 10. Иллюстрация исключения событий с помощью
диаграммы Венна
A
Из теории множеств можно получить и другие замечательные свойства вероятности, но оставим эту радость для самостоятельной работы
читателя.
43
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Любое ли событие с нулевой вероятностью невозможно?
2.
Оцените, какой вариант более вероятен: 1) фактический объем
продаж отклонится от планового не более чем на 10 единиц; 2) отклонение составит от 0 до 5 единиц.
3.
Как найти вероятность того, что хотя бы одно из двух событий
произойдет?
4.
С помощью кругов Эйлера поясните формулу для расчета веро-
ятности объединения событий.
5.
Если секретарь случайно перепутал конверты, когда упаковывал
10 писем, какова вероятность, что хотя бы одно дойдет до своего адресата?
6.
Пусть шансы стрелка попасть в мишень с первого раза состав-
ляют 1/10. Второй раз он уже лучше чувствует мишень и попадает два
раза подряд с вероятностью 1/70. Какова вероятность, что стрелок попадет в первый раз, а во второй промахнется?
44
A
A
3. ВЕРОЯТНОСТИ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Ранее, рассматривая статистическое определение вероятностей, мы
ввели понятие серии независимых экспериментов. Напомним, что речь
шла о таких экспериментах, на распределение вероятностей исходов
которых не влияют результаты предыдущих экспериментов. Аналогично этому можно дать определение независимым событиям: событие
, достоверность которого не меняется в зависимости от того, про-
B
изошло или не произошло другое событие
симым от
Рассмотрим далее, как определяются вероятности зависимых событий
и как наглядно представить эту зависимость.
На самом деле, когда мы говорили, что все исходы эксперимента
необходимо мысленно представить, мы несколько лукавили. Эксперименты могут быть очень сложны, и, чтобы структурировать их условия
и результаты, часто удобно представлять исходы визуально. Мы уже
делали это на рис. 1, 3–7 и с помощью табл. 1–4, 6. Каждый вариант
представления удобен в определенном случае в зависимости от задачи.
Рассмотренные ранее таблицы и графики распределения вероятностей исходов, к сожалению, не позволяют проследить развитие событий
в ходе опыта, особенно когда результаты разных опытов зависят друг от
друга. В этом случае удобнее использовать другой вариант представления результатов – в виде вероятностного дерева [1, с. 25–29]. Каждая
вершина такого дерева будет содержать элементарное событие. На ребрах обычно подписываются вероятности каждого исхода. Причем при
построении распределения вероятностей на заданных ребрах некоторой
вершины считается, что уже произошли все предыдущие события, которые встречаются, если двигаться от этой вершины к исходной, включая
ее саму. Поясним это на примере.
B . В противном случае, событие
3.1. ДЕРЕВО ВЕРОЯТНОСТЕЙ
, можно считать незави-
зависит от события B .
45
Сначала рассмотрим ситуации с независимыми экспериментами.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
И первым таким примером будет самый простой с двукратным подбрасыванием монеты. Для него мы уже изображали элементарные исходы в виде разбиения пространства всех исходов на четыре равные
части (рис. 3). При построении дерева от исходной вершины, соответствующей первому подбрасыванию монеты, мы опускаем две ветви
(ребра): одно с исходом
противоположным ему исходом
Вероятности и того, и другого события равны
={в первый раз выпадает решка}, второе с
1
={в первый раз выпадает орел}.
1
1
. Записываем эти ве-
2
роятности на ребрах. После первого броска на дереве появилось две
вершины, к каждой из которых мы добавляем новые ребра, соответствующие второму подбрасыванию монеты. При втором броске анало-
гично возможны исходы:
={в первый раз выпадает орел}. Вне зависимости от того, что выпа-
2
={во второй раз выпадает решка} и
2
ло в первый раз, во второй раз вероятности остаются одинаковыми
1
P( ) P
AA
22
. Поэтому на новых ребрах пишем одни и те же зна-
2
чения вероятностей. Полученное дерево изображено на рис. 11.
12
12
2
14
1
12
2
14 14 14
Рис. 11. Дерево вероятностей для опыта с двукратным
подбрасыванием монеты
12
12
2
1
12
2
В качестве результата под деревом для каждой конечной вершины
запишем итоговые вероятности совместного появления (пересечения)
всех событий, отмеченных на тех вершинах, которые встречаются нам
A
по пути, если двигаться вверх по дереву. Это будут события
A
,
12
A
и
12
A
. Это те же элементарные исходы, которые
12
,
12
мы рассматривали на рис. 3. Вероятности их нам уже известны и со-
ставляют
1
. Нетрудно заметить, что для вычисления этого значения
4
46
достаточно два раза перемножить
A
A
A
A
N
A
N
p
1
(иными словами, возвести в квад-
2
рат). Тем самым из такого простого рассуждения приходим к выводу,
что вероятность пересечения (появления и того, и другого одновре-
менно) событий равна произведению их вероятностей.
Аналогичный результат получается и в опыте с двукратным подбрасыванием кубика, где каждому исходу в табл. 1 соответствует веро-
2
11
ятность
ность каждого элементарного исхода
636
. При трехкратном броске мы уже получим вероят-
3
11
6216
.
Это просто замечательное правило! К сожалению, оно действует
только для экспериментов, в которых результаты текущих действий не
зависят от предыдущих. Тем самым для любых независимых событий
и B будет верно:
PP()P()
Если мы рассматриваем много (
,,,
зависимых событий
AA
12
BAB
, нет, n мало, пусть будет N) не-
n
, то вероятность их совместного
N
. (16)
наступления равна произведению вероятностей всех событий:
N
PP()
1
i
N
. (17)
i
A
1
ii
Отсюда следует, что если в опыте одни и те же действия в одних и
тех же условиях повторяются
го равна числу
N
всех
P( )
опытах подряд. Это понятно из соотношения (17): при
pi
i
p
в одном опыте, с вероятностью
перемножаем p N раз и получаем
N
раз, то событие, вероятность которо-
повторится во
p
.
p
Понятно, что при большом числе повторений, к примеру, при
N
новременно будет очень маловероятна,
бытие не является достоверным, т. е.
, реализация одного и того же события во всех испытаниях од-
47
N
p
1
, только если это со-
0
. Надо заметить, что если
1p
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
, то и 1
N
p . Такие события
, для которых
P( ) 1A
, назы-
ваются событиями, происходящими почти наверное. И хотя когда мы
говорим, что событие почти наверно произойдет, это звучит как-то
по-обывательски, на самом деле, это строгий математический термин.
Здесь, тем не менее стоит различать степень близости вероятности к
единице. Возьмем, например, два события
вероятностью
P( ) 0,99A
, другое –
P( ) 0,9999B
и B: одно происходит с
. На первый взгляд
оба значения почти одинаковы и очень близки к единице, из чего можно сделать вывод, что оба события происходят почти наверное. Однако
при многократных независимых повторениях опытов разница становится хорошо заметна. Например, если эксперимент повторяется один
раз в день в течение года. Тогда вероятность того, что событие
дет происходить каждый день года будет мала:
B
а для события
единице:
0,9999 0,9642
такая вероятность все же останется очень близка к
365
[15, с. 60].
365
0,99 0,0255
бу-
Теперь вернемся к опыту с подбрасыванием монеты до первого
выпадения орла, который рассматривался как пример эксперимента с
бесконечным, но счетным числом элементарных событий. Как и ранее,
пусть
={в i-й раз выпадает решка},
i
={в i-й раз выпадает орел}.
i
Дерево получается аналогичное построенному ранее (рис. 11), но от
вершин с событием
уже не выходят ребра, поскольку после выпа-
i
дения орла эксперимент прекращается. Испытания и здесь независи-
мы, следовательно, вероятности на ребрах равны
1
. Немного по-
2
другому изобразим дерево: как бы опрокинем его на бок, сплюснем и
вытянем вдоль вершин с исходами, после которых игра продолжается.
Результат представлен на рис. 12. Это все такое же дерево вероятностей, но более компактное.
Согласно соотношению (17), вероятность, что броски окончатся на
i
1
i
-м ходу равна
. Тогда введенным выше элементарным исходам
2
,
3
,
01
112
A
,
21231i
AA A
48
i
,…,
11n
ni
i
соответствуют вероятности
A
A
A
A
A
A
1
P( )2
0
P( )2 ,
,
1
2
1
12 12
12
Рис. 12. Дерево вероятностей для опыта с бросками монеты
1
1
1
P( )2 ,…,
2
1
4
2
12
12
до выпадения орла
12
2
1
2
P( )
3
.
1
n
1
n
2
1
8
3
12
12
12
n
Определим сумму вероятностей всех элементарных событий:
P
ii
00
i
11
22
i
.
В результате получаем геометрическую прогрессию с первым чле-
ном
1
и знаменателем
b
1
2
1
. Она является бесконечно убываю-
q
2
щей, поскольку знаменатель по модулю меньше единицы,
сумма
S
при бесконечном числе членов имеет известный предел
n
1
1
n
2
1nA
. Ее
1q
b
lim
n
который в нашем случае равен
S
112
n
12
1
, (18)
q
1
. Следовательно, сумма веро-
1
ятностей всех элементарных событий равна 1, что и должно было получиться в силу справедливости (5).
Представьте теперь, что вам предлагают игру, в которой вы с противником по очереди подбрасываете монету, и победителем считается
тот, у кого в первый раз выпал орел. Согласились бы вы играть, если
бы ваш противник начинал бросать первым?
49
Заметим, что вероятность выиграть при первом броске составляет
A
1
. Также ваш противник может еще выиграть на любом другом не-
2
четном ходу, поскольку он бросает первым, затем третьим и т. д. Со-
B
бытия
первом ходу} являются вложенными, т. е. событие
Из свойств вероятности мы уже знаем, что
но, вероятность выигрыша первого игрока не меньше
={выигрыш на любом нечетном ходу} и A={выигрыш на
содержится в B.
P( ) P( )AB
. Следователь-
1
. Исходя из
2
здравого смысла, мы понимаем, что она намного больше. Вычислим ее
точнее. Для этого просуммируем вероятности выигрыша на нечетных
ходах, когда монету бросает ваш противник. Представим нечетный ход
как
21i
, при
0,1, 2,i
это будет первый, третий, пятый и т. д. ход.
Вероятность остановки игры на текущем нечетном ходу равна вероятности продолжения игры на предыдущем ходу противника, умножен-
ной на
1
, поскольку за два хода мы два раза проходим по ребру с ве-
4
1
роятностью
(рис. 12). Тогда вероятность выигрыша противника
2
BA
PP
21
i
0
i
11
24
i
0
i
опять представляет геометрическую прогрессию с тем же первым чле-
ном
1
, но в два раза меньшим знаменателем
b
1
2
ния (18) получаем вероятность выигрыша первого игрока
1
. Из соотноше-
q
4
114 3
12 2
.
Тем самым игра априори несправедлива (не дает равные шансы на
выигрыш игрокам), при этом ваш противник имеет в два раза больше
шансов на выигрыш, если начинает первым. Соглашаться на такую
игру было бы по меньшей мере рискованно (и в этом случае риск, по
истине, будет делом благородным – вы проявите настоящее благородство по отношению к противнику).
Здесь мы рассматривали идеальную ситуацию с правильной монетой, которая с равной вероятностью падает и на ребро, и на решку.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]