Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

чество и поделить на n. Тем самым мы получаем классическое опре-

деление вероятности.

Вероятность события

исходов, благоприятных событию

– это отношение числа элементарных

, к общему числу исходов3. Исходы благоприятны событию в том смысле, что если событие происходит, то реализуется хотя бы один из этих исходов. Иными словами,

событие – это объединение благоприятствующих ему элементарных исходов. В рассматриваемом нами случае конечного числа исходов об-

ратное утверждение тоже верно: любую комбинацию элементарных исходов можно считать событием.

Пусть некоторому событию исходов. Поскольку это необязательно первые их перенумерацию с помощью дополнительного индекса

будут исходы:

, ,...,

 

представляющего объединение

соответствует m благоприятных

исходов, то введем

. И вероятность события

благоприятных ему исходов, равна

. Тогда это

A



PmAn



. (3)

Из классического определения видно, насколько существенно, чтобы исходы были равновероятными. В противном случае, нельзя счи-

тать вероятность каждого исхода равной

, тогда пользоваться соот-

ношением (3) некорректно. Основные проблемы здесь связаны с тем, важен ли порядок расположения вариантов и можно ли считать перестановки равновероятными. Здесь для иллюстрации можно привести

Лирическое отступление специально для тех студентов, которые дают определение: отношение благоприятных исходов к общему числу исходов. Звучит, вроде бы, очень похоже. Кроме того нюанса, что вместо «числа благоприятных исходов» стало просто «благоприятных исходов». А теперь представим, как можно поделить благоприятный исход (например, выпадение орла) на общее число исходов (например, 2). Очевидна нелепость такого действия, следовательно, и определения тоже. Поэтому пропущенное слово (всего лишь-то!) приводит к бессмысленности определения. Если это все же непонятно, то ничего не остается, как просто заучить определение дословно (чтобы не огорчать преподавателя).

простой парадокс игры в кости [15, с. 13]. В случае бросания двух кубиков сумму выпавших чисел, равную как 9, так и 10, можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5, 10 = 4 + 6 = 5 + 5. Из этого можно заключить, что эти события равновозможные. Так почему же на практике 9 выпадает чаще, чем 10?

Такая формулировка парадокса наводит на ошибочную мысль, что выпадению как 9, так и 10 соответствует по два элементарных исхода. При этом не учитывается, что ситуации 3 + 6 соответствует два исхода: сначала выпадет 3, потом 6, и в обратном порядке. То же самое касается ситуаций 4 + 5 и 4 + 6. В то же время исход 5 + 5 единственный. Для наглядности отобразим все исходы в табл. 1, где на пересечении заданного числа очков в первый и второй бросок стоит их сумма. Из табл. 1 видно, что сумме 9 благоприятны четыре исхода, а сумме 10 только три. Всего элементарных исходов 36. Следовательно, вероятность выпадения 9 на 1/36 выше, чем выпадения 10.

Таблица 1

Элементарные исходы при двукратном подбрасывании кубика

Число очков

во второй

бросок

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6

Число очков в первый бросок

Аналогичный пример можно привести с другим более простым опытом.

Великий философ, математик и физик Жан Лерон Даламбер определил вероятность того, что при двукратном подбрасывании монеты по крайней мере один раз выпадет орел как 2/3, поскольку посчитал события «выпадение дважды орла», «дважды решки» и «по одному разу орла и решки» равновероятными [15, с. 14]. При этом в двух из них хотя бы раз выпадает орел. На самом же деле событию выпадения решки и орла соответствует два элементарных исхода (рис. 3). Следовательно, всего исходов четыре, а благоприятных три, вероятность равна 3/4.

Решка–решка Орел–решка Решка–орел Орел–орел

Рис. 3. Элементарные исходы опыта

с двукратным подбрасыванием монеты

В некоторых случаях тем не менее такой подход оказывается верным, в частности, при изучении движения физических частиц [20, с. 52–53]. Пусть фазовое пространство разбито на которых случайным образом размещаются

малых ячеек, в

частиц. Если предпола-

гать, что каждая частица с равной вероятностью может оказаться в любой ячейке, то всего возможно

N размещений. Это соответствует мо-

дели Максвелла–Больцмана. Например, возьмем для простоты и наглядности всего две частицы и три ячейки. Если считать частицы различимыми, то их можно пронумеровать. Тогда варианты размещения 12 и 21 – это разные исходы, что хорошо видно из табл. 2. Всего

получаем

39

элементарных исходов. Однако современная теория показала, что такая модель не применима ни к каким известным частицам. Ни в одном случае все размещения не являются равновероятными.

В отличие от этого в модели Бозе–Эйнштейна частицы считаются

неразличимыми. Тогда количество вариантов размещения

ячейкам вычисляется как число сочетаний с повторениями

частиц по

nNC

Все такие размещения считаются равновероятными. В случае с двумя частицами и тремя ячейками получается шесть равновероятных исходов (табл. 2). Казалось бы, здесь мы допускаем ту же ошибку, что и Жан Лерон Даламбер в опыте с подбрасыванием монеты. Тем не менее в статистической механике показано, что такая модель справедлива для фотонов, атомных ядер и атомов, содержащих четное число элементарных частиц [11, с. 138].

Если дополнительно к неразличимости частиц добавить предположение о том, что в одной ячейке нельзя разместить две или более частиц, и считать все возможные при таких условиях размещения равновероятными, то получим модель Ферми–Дирака. Очевидно, здесь необходимо, чтобы число частиц не превышало количество ячеек,

nN

. Если пронумеровать ячейки от 1 до N, тогда мы, по сути, вы-

бираем из этого количество вариантов равно числу сочетаний

номеров ячеек, в которых будем размещать частицы. Исходя

C . В рассмот-

ренном примере три таких варианта (табл. 2). Эта модель подходит для

описания электронов, нейтронов и протонов [11, с. 138].

Таблица 2

Элементарные исходы в моделях размещения физических частиц

Модель Максвелла–

Больцмана

2 1

Модель Бозе–

Эйнштейна

Ферми–Дирака

Модель

2 1

В принципе, очевидно, что если вычислять вероятность по разным моделям, то результаты могут сильно отличаться. Рассмотрим, например, событие

={ровно две ячейки окажутся пустыми}. В модели Максвелла–Больцмана из девяти возможных элементарных исходов этому благоприятны первые три (табл. 2). Следовательно, вероятность

события

будет равна

. В модели Бозе–Эйнштейна событию A

также благоприятны первые три исхода, однако всего исходов оказы-

вается шесть (табл. 2). Следовательно, вероятность события A соста-

вит

. Наконец, в модели Ферми–Дирака таких исходов вообще нет, в

любом случае две частицы займут две ячейки и останется только одна пустая, т. е. событие

окажется невозможным. Тогда его вероятность

равна 0.

Этот пример иллюстрирует, насколько важно правильно задать все элементарные исходы опыта. Ранее подчеркивалось, что мы должны мысленно представить все возможные исходы. К тому же еще добавляется необходимость разбиения этих исходов на равновозможные. Как оказывается, не всегда мы можем произвести такое разбиение исключительно силой мысли, в частности, априорно нет оснований утверждать, что фотон и протон должны подчиняться разным вероятностным законам. Правильность некоторых предположений можно проверить только с помощью опытов, но об этом поговорим позже, при обсуждении статистического определения вероятности.

1.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Иногда приходится иметь дело с такими событиями, которые нельзя разбить на конечное число элементарных исходов. Примером может служить опыт, состоящий в бросании случайной точки в некоторую об-

ласть точки в подобласть

(рис. 4). Пусть необходимо вычислить вероятность попадания

заданной области G. Казалось бы, элементарным

исходом здесь должно быть попадание в точку. Но точек в области бесконечное количество. Тогда получаем вероятность такого исхода

lim 0



nn

. Тем самым вероятность попасть в точку равна нулю, хотя

согласно здравому смыслу в опыте мы всегда попадем в какую-то точку, и такое событие нельзя считать невозможным. Это иллюстрирует, что из нулевой вероятности не следует невозможность события. С точки зрения практического восприятия данное утверждение кажется нелепостью. Особенно, если задумываться над тем, как же потом, когда отдельные точки складываются в отрезок, получается ненулевая вероятность. Поэтому для упрощения можно представить, что речь идет о малой окрестности точки, вероятность попасть в которую очень мала, практически нулевая. Действительно, например, угадать время начала

лекции с точностью до секунды практически невозможно, с точностью

до минуты – уже представляется вполне возможным событием.

Рис. 4. Задача о попадании в область

Значит, определение элементарного исхода как попадания в точку не позволяет вычислить вероятность. Поэтому представим, что область

разбита на очень маленькие непересекающиеся подобласти одинакового размера. Будем считать попадание в такие подобласти элементарными исходами. Тогда, согласно классическому определению, вероятность попадания в область

стей, образующих

, к общему числу подобластей, входящих в G. По

равна отношению числа подобла-

сути, число таких подобластей будет пропорционально площади области. Поэтому вместо того, чтобы пересчитывать подобласти, достаточно воспользоваться геометрическим определением вероятности.

Пусть случайная точка бросается в область

бытия частью области всех исходов

ны, площади, объема) области

, состоящего в попадании в область g, которая является

, равна отношению размера к размеру4

. Вероятность со-

области G:

(дли-

Как и в предыдущем лирическом отступлении подчеркну, что в геометрическом определении никак нельзя пропустить слово «размера» (можно еще сказать «мера») в обоих случаях, иначе получится, что одна область делится на другую…

AS

P( )

. (4)

Мера области в соотношении (4) обычно подбирается в зависимо-

сти от размерности пространства, в которое бросается точка. Так, если точка бросается на числовую прямую, то измеряются длины, например, когда речь идет о случайном разрезе веревки. Когда идет стрельба по мишени, то вычисляются площади. Здесь, как и в классическом определении, все исходы должны быть равновероятны. Поэтому соотношением (4), в частности, нельзя пользоваться, если имеет место прицельная стрельба по мишени опытного стрелка, когда вероятность попасть в центр больше, чем по краям.

Вообще геометрическое определение используется не только в тех случаях, когда речь в задаче непосредственно идет о попадании в область. Разница классического и геометрического определения сводится к возможности или невозможности выделить конечное число элементарных исходов. Если в задаче исходы можно пересчитать, то используется классическое определение. Если исходов бесконечно много (анализируются непрерывные величины), то часто проще воспользоваться геометрическим определением. В принципе всегда остается возможность разбить область на очень малые подобласти и пересчитывать их, но не всегда это удобно.

Например, пусть веревка длиной в 1 метр случайно разрезается. Какова вероятность того, что длина какого-то отрезанного куска не превысит 20 см? Здесь достаточно разбить веревку на непересекающиеся отрезки по 20 см (рис. 5). Таким образом получим пять элементарных исходов как попадание в каждый из этих отрезков. Событию

={длина какого-то отрезанного куска не превысит 20 см} благоприятны первый и последний исход, т. е. когда точка отреза попадет в первые и в последние 20 см. Следовательно, согласно классическому

определению,

P( )

A 

. Разумеется, тот же самый результат получит-

ся, если разделить размер (длину) области, благоприятной событию 40 см на общую длину веревки в 1 м.

0 20

Рис. 5. Задача о веревке

100

В этом примере, как видим, достаточно и классического определе-

ния. Теперь рассмотрим известную задачу о встрече. Два друга договорились встретиться около 10 часов. Они приходят случайно и независимо. Первый друг недостаточно пунктуален и равновероятно может появиться в течение получаса (с 10:00 до 10:30). Второй появится в течение четверти часа (с 10:00 до 10:15) с равной вероятностью. Необходимо определить вероятность того, что им не придется ждать друг друга больше 10 минут.

Здесь не сразу очевидна аналогия с попаданием точки в область, но судя по тому, что речь идет о непрерывной величине – времени, имеет смысл воспользоваться геометрическим определением вероятности. Для этого сначала опишем задачу более формально. Пусть время появления первого друга. Оно непрерывно (принимает все возможные значения) на отрезке от 0 до 30,

– время появления второго друга, оно изменяется от 0 до 15,

015y

дется ждать больше 10 минут, если второй друг придет не позже, чем через 10 минут после него, т. е.

рой друг (

. Если сначала придет первый друг (

10yx

yx

), то ему не придется ждать больше 10 минут, если

10xy . Тогда событие можно представить как

y

, или сать как менного прихода

оно вполне может произойти. И безусловно, для друзей это был бы идеальный вариант, и они бы очень огорчились, что он имеет нулевую вероятность.

Таким образом, задача состоит в вычислении вероятности попада-

ния случайной точки с координатами неравенством меряемом в одномерном пространстве. Однако область задана в дву-

мерном пространстве, поэтому далее мы будем вычислять площади. Графически области представлены на рис. 6. Заштрихованная область соответствует области благоприятных исходов

ее площадь.

10xy

yx

, если

10xy

yx

}. Попутно заметим, что событие одновре-

10xy

здесь будет иметь нулевую вероятность, хотя

или

yx

(, )xy

. Хотя речь идет, казалось бы, о времени, из-

030x

. Если сначала придет вто-

}. Иначе это можно запи-

в область, ограниченную

. Необходимо найти

. Обозначим

y

), то ему не при-

={ 10yx , если

–

02468101214

0 5 10 15 20 25 30

Рис. 6. Задача о встрече

Для этого вычислим площадь верхнего треугольника, она равна

. Площадь нижней трапеции равна

S 

площадь области

равна

общ

15 30S 

. Тогда вероятность по геомет-



520



. Общая

рическому определению равна

SSS



P( )

общ 1 2



общ

250 5 450 9

Следовательно, более вероятно, что друзьям не придется ждать друг друга больше 10 минут, чем то, что придется ждать больше 10 минут. В этой задаче, очевидно, удобнее воспользоваться геометрическим определением, чем классическим, поскольку для обеспечения достаточной точности вычислений потребовалось бы разбить области на очень малые квадратики, следовательно, их число было бы очень велико и подсчет неудобен.

1.3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Часто вычислять вероятность события мы можем, не прибегая к непосредственному пересчету всех исходов, благоприятных событию, а представляя событие с помощью некоторых операций (пересечения, объединения, исключения и т. п.) над другими событиями, используя теорию множеств и переходя от операций над событиями к операциям (арифметическим действиям) над вероятностями. Основой для такого

перехода служит аксиоматика, введенная А.Н. Колмогоровым, сфор-



мированная под влиянием теории множеств, меры, интегрирования, функций. Введем основные понятия, используемые в аксиоматическом определении вероятности.

Множество всех элементарных событий, которое можно рассматривать как конечное или счетное (исходов может быть бесконечное

число, но их можно пронумеровать натуральными числами), называется пространством элементарных исходов. Любое подмноже-



ство множества подмножеств множества

. Как подмечено в [4, с. 4], «запас событий определяется желани-

как ем и возможностями исследователя приписывать им осмысленные вероятности».

Любому



считается событием, например, A. Класс всех



, т. е. всех мыслимых5 событий, обозначим

сопоставлено число









P( ),

такое, что

. (5)

P( ) 0

 



Это число называется вероятностью элементарного события

Вероятность события

Тройка объектов ством [9, с. 35]. Поскольку множество всех элементарных исходов

введено как конечное или счетное, то здесь речь идет о дискретном вероятностном пространстве. Этому соответствуют ситуации, когда мы можем присвоить каждому исходу номер (например, с подбрасыванием монеты или кубика).

В непрерывном случае мы не можем любое подмножество множества элементарных исходов считать событием, поскольку в общем случае невозможно определить вероятность на множестве всех подмножеств пространство

жества

Можно было бы сказать «всех возможных событий», но здесь это будет некорректно, поскольку невозможное событие тоже входит в класс всех событий.



. Если необходимо ввести непрерывное вероятностное

(,,P)S



требуется, чтобы он был лишь -алгеброй [9, с. 35], что бу-

есть



 

(,,P)S

, то от непустого класса S подмножеств мно-



AA

называется вероятностным простран-

. (6)



<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]