Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика руководство по решению задач. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
4.7. Задачи и упражнения
0,3p =
4.20. Игральная кость подброшена 10 раз. Найти вероятность
выпадения единицы 7 раз.
4.21. 30% изделий данного предприятия — это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта?
4.22. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время
его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по 6 из них?
4.23. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что, вынув наудачу с возвращением 14 шаров, получим
белых не менее 12?
4.24. Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных будет 4 девочки.
4.25. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает
с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.
4.26. На одном предприятии работает 10 служащих. Эти служащие завтракают в одной из двух закусочных, причем выбор ими той
или другой одинаково вероятен. Если заведующие закусочных хотят быть уверенными более чем на 95% в том, что у них достаточно
мест, то сколько мест должно быть в каждой закусочной?
4.27. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше
чем 0,9?
4.28. Вероятность брака изделия на некотором производстве
. Найти вероятность того, что среди 4 отобранных для про-
верки изделий будет два бракованных.
— 81 —
4. Повторные независимые испытания
0,64p =
0,05p =
4.29. В цехе работает 4 станка, причем вероятность остановки
в течение часа для каждого из них одна и та же и равна 0,8. Построить полигон распределения вероятности числа станков, остановившихся в течение данного часа.
4.30. Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.
4.31. Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания
в которую при одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее
число попаданий в цель.
4.32. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события
в отдельном испытании
?
4.33. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом
пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?
4.34. Вероятность изготовления нестандартной детали
Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее
число нестандартных деталей в ней было равно 63?
4.35. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
4.36. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более,
если число выстрелов равно 5000.
4.37. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслужива-
— 82 —
.
4.7. Задачи и упражнения
ет 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят
5 абонентов?
4.38. Монета была подброшена 40 раз. Пользуясь локальной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что герб выпадет в 25 случаях.
4.39. Из партии, в которой доля первосортных деталей равна
0,8, отобрано 60 единиц (с возвратом). Определить вероятность того,
что среди отобранных деталей окажется первого сорта: 1) 30; 2) 45;
3) 48; 4) 50; 5) 55.
4.40. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора
в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что
из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
4.41. Бюффон бросил монету 4040 раз. При этом герб выпал
2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?
4.42. Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515,
найти вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика.
4.43. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания
при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом
будет 8 попаданий.
4.44. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной
кости шестерка выпадет 10 раз?
4.45. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее: отказ четырех приборов при испытании 20 или
отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга?
4.46. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна
0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит:
а) ровно 75 раз? б) ровно 85 раз?
— 83 —
4. Повторные независимые испытания
4.47. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если
вероятность рождения мальчика равна 0,515.
4.48. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.
4.49. Проведено 700 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступлений события А равна 0,7. Найти вероятность того, что частота появлений события А окажется заключенной
между 460 и 600.
4.50. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000
новорожденных больше 480, но меньше 540 (вероятность рождения
мальчика принять равной 0,515).
4.51. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что
число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность, что отдельное дерево приживется, равна 0,8.
4.52. В ящике 10 револьверов одной системы и одинаковых
по виду; из них 4 непристрелянных. Вероятность попадания в цель
из непристрелянного револьвера равна 0,3, а из пристрелянного —
0,9. Из взятого наудачу револьвера произведено 200 выстрелов
по цели. Чему равна вероятность того, что число попаданий в цель
заключено между 120 и 150?
4.53. На склад поступает продукция 3 фабрик, причем изделия
первой фабрики на складе составляют 30 %, второй — 32 и третьей — 38. В продукции первой фабрики 60 % изделий высшего сорта, второй — 25, третьей — 50. Найти вероятность того, что среди
300 наудачу взятых со склада изделий число изделий высшего сорта
заключено между 130 и 170.
4.54. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной
кости пятерка выпадет от 10 до 20 раз включительно?
— 84 —
4.7. Задачи и упражнения
4.55. Упаковщик укладывает 900 деталей, проверенных ОТК
или изготовленных рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена личным клеймом, равна 0,1. Найдите вероятность того, что среди них окажется от 100 до 120 деталей
с личным клеймом.
4.56. Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочек, вероятность включения каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того, что одновременно будет включено не менее
4750 ламп.
4.57. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие
появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз;
в) не более 1469 раз.
4.58. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота
появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.
4.59. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты,
чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение частоты
выпадания «герба»1 от теоретической вероятности 0,5 на абсолютную величину, меньшую чем 0,01.
4.60. Вероятность появления успеха в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, что
с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления успеха от его вероятности 0,8 не превысит ε.
4.61. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно
границы, в которых число m выпадений шестерки будет заключено
с вероятностью 0,9973.
4.62. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий
на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05.
— 85 —
4. Повторные независимые испытания
Найти с вероятностью 0,95 границы в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.
4.63. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,98 абсолютная величина отклонения
относительной частоты появления события от его вероятности 0,75
не превысила ε.
4.64. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаниях равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы
с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной
частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила ε.
4.65. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1.
После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается
в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором
с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?
4.66. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n,
при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная
частота появления события отклониться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
4.67. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклониться от его вероятности
по абсолютной величине не более чем на 0,01.
4.68. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго — 0,85,
для третьего — 0,9. Найти вероятности следующих событий: 1) три
попадания в цель; 2) два попадания; 3) одно попадание; 4) ни одного
попадания; 5) хотя бы одно попадание.
— 86 —
4.7. Задачи и упражнения
4.69. Четыре элемента устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0,2, второго —
0,3, третьего — 0,3, четвертого — 0,4. Найти вероятность того, что
за время t откажут: 1) четыре элемента; 2) три элемента; 3) два элемента; 4) один элемент; 5) ни один элемент; 6) не более двух элементов.
4.70. Две батарее по три орудия каждая производят залп
по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее
двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батарее равны 0,4; 0,5; 0,5, второй — 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность
поражения цели при одном залпе из двух батарей.
— 87 —
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
,XY
12 1 2
, ,...; , ,...xx yy
5.1. Понятие случайной величины
Случайной величиной X называется величина, которая при-
нимает какое-то значение из совокупности всех своих возможных
значений, причем заранее неизвестно какое. Совокупность значений
случайной величины образует пространство элементарных событий.
Случайную величину принято как и событие обозначать заглавными буквами латинского алфавита:
ния, принимаемые случайной величиной строчными латинскими
буквами с индексами:
Случайная величина называется дискретной, если множество
ее значений конечно или счетно (т.е. их все можно пронумеровать).
Случайная величина называется непрерывной, если множество
ее значений принадлежит интервалу числовой оси, не обязательно
конечному.
Примеры дискретных случайных величин:
1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возмож-
ные значения 0, 1, 2, 3);
2) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти
элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);
3) число попаданий в самолет, достаточных для вывода его
из строя (возможные значения 1, 2, …, n, …);
4) число бракованных изделий в данной партии (возможные
значения 0, 1, 2, …, n).
Примеры непрерывных случайных величин:
1) дальность полета артиллерийского снаряда;
2) расстояние от точки попадания до центра мишени;
и т.д. Конкретные значе-
— 88 —
5.1. Понятие случайной величины
X
x2x
x
p
p2p
p
1
i
( )
Fx
Xx=
Xx<
( ) ( )
Fx PX x= <
Xx=
3) время безотказной работы прибора;
4) расход предприятием электроэнергии за месяц.
Законом распределения случайной величины называется всякое
соотношение, устанавливающее связь между возможным значением
случайной величины и вероятностью принять это значение. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному
закону распределения.
Закон распределения может быть задан:
1) рядом распределения в табличной форме:
...
...
n
n
причем
n
p==∑.
1
1
1
i
2) аналитически в виде функции распределения.
3) графически в виде полигона, гистограммы или графика глад-
кой функции в случае непрерывной случайной величины.
На основе закона распределения можно сформулировать другой подход для описания вероятности случайной величины — это
функция распределения.
При построении функции распределения
оценивают
не вероятность события, что случайная величина примет конкретное
значение
, а вероятность события
, где x — некоторая
текущая переменная, т.е. вероятность попадания случайной величины левее значения x. Таким образом, функция распределения это
. (50)
Функцию распределения также называют интегральной функ-
цией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения вероятностей случайной величины
— универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной
из форм закона распределения как уже говорилось ранее.
— 89 —
5. Случайные величины
Xx=
( )
01
≤≤
( ) ( )
21 2 1
>≥
( ) ( )
limxaFx Fa
=
( ) ( )
x
( ) ( )
lim 1
x
F Fx
→∞
∞= =
[ ]
,ab
( ) ( ) ( )
Fx p
1 12
12 2 3
0, ;
,;
,,
,;
in n
xx
p x xx
( )
ft
Основными свойствами функции распределения любой слу-
чайной величины
1)
Fx
являются:
;
2) функция распределения любой случайной величины всегда
неубывающая, т.е при
x x Fx Fx
;
3) функция распределения непрерывна слева, т. е.
;
→−
=
0
F Fx
4)
lim 0
−∞ = = ;
→−∞
;
5) вероятность по падания случайной величины в интервал
равна приращению функции распределения на этом интерва-
ла, то есть
Pa X b Fb Fa≤<= − .
Функцию распределения дискретной случайной величины
можно определить формулой:
( )
=
∑
xx
<
i
,
i
или в развернутом виде:
≤
1
<≤
<≤
1
−
xx
>
n
Fx
( )
p x xx
p p x xx
+ <≤
=
...
1
n
−
∑
1
=
i
1, .
Таким образом, график функции распределения дискретной
случайной величины является ступенчатой линией.
Закон распределения непрерывной случайной величины обычно задается функцией распределения аналитически или функцией
плотности вероятности (непрерывный аналог ряда распределения):
x
F x f t dt
( ) ( )
где
свойствами:
— функция плотности вероятности.
Плотность распределения вероятностей обладает следующими
=
∫
−∞
, (51)
— 90 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]