Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Замечание 15. Выборочный коэффициент корреляции rB яв-
ляется оценкой коэффициента корреляции
k
xy
r
xy
xy xy
[] [][]
MXY MXMY
.
13.8 Выборочный коэффициент корреляции
Из предыдущего имеем
nxy nxy
r
B
, yi – варианты ( наблюдавшиеся значения) признаков X и Y;
x
i
n
— частоты пары вариант (xi, yi); n – объем выборки (сумма
xy
всех частот);
нения;
,
xy выборочные средние.
BB
,
выборочные средние квадратические откло-
xy
xy i i B B
n
xy
.
Известно, что если величины X и Y независимы, то коэффи-
циент корреляции r
=0; если rxy= ±1, то Y и X связаны линейной
xy
функциональной зависимостью. Отсюда следует, что коэффициент корреляции r
измеряет силу (тесноту) линейной связи между
xy
Y и X.
Выборочный коэффициент корреляции r
коэффициента корреляции r
генеральной совокупности и поэто-
xy
является оценкой
B
му также служит для измерения линейной связи между величинами Y и X. Допустим, что выборочный коэффициент корреляции
r
, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как
B
выборка отбрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что
коэффициент корреляции r
генеральной совокупности также от-
xy
личен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о
значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или, что то же, о равенстве нулю коэффициента корреляции r
нулю коэффициента корреляции r
дет отвергнут, то выборочный коэффициент корреляции r
генеральной совокупности). Если гипотеза о равенстве
xy
генеральной совокупности бу-
xy
значим,
B
а величины X и Y коррелированы; если гипотеза принята, то вы-
231
борочный коэффициент корреляции rB незначим, а величины X и
Y не коррелированы.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции r
для случая нормальной корреляции излагается
B
ниже. Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо
представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то
заключение о тесноте линейной зависимости признаками, полученное по данным выборки в известной мере может быть распространено и на генеральную совокупность. Например, для оценки
коэффициента корреляции r
нормально распределенной гене-
xy
ральной совокупности (при n≥50) можно пользоваться формулой
22
11
rr
BB
33
rrr
.
BxyB
nn
13.9. Предварительные соображения к введению меры
любой корреляционной связи
Выше рассматривалась оценка тесноты линейной корреляци-
онной связи. Как оценить тесноту любой корреляционной связи?
Пусть данные наблюдений над количественными признаками
Х и У сведены в корреляционную таблицу. Можно считать, что
тем самым наблюдаемые значения У разбиты на группы; каждая
группа содержит
те значения У, которые соответствуют опреде-
ленному значению Х. Например, дана корреляционная таблица.
К первой группе относятся те 10 значений У (4 раза наблюдалось у
= 3 и 6 раз у2 = 5), которые соответствуют х1 = 8.
1
Ко второй группе отн6осятся те 20 значений У (13 раз наблю-
далось у
= 3 и 7 раз у2 = 5), которые соответствуют х2 = 9.
1
Таблица
У
89
3413
567
nх 10 20
у
х
4,2 3,7
Х
232
Условные средние теперь можно назвать групповыми средними: групповая средняя первой группы
групповая средняя второй группы
у = (4×3 + 6×5)/10 = 4,2;
8
у = (13×3 + 7×5)/20 = 3,7.
9
Поскольку все значения признака У разбиты на группы, мож-
но представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:
D
общ
= D
внгр
+ D
межгр
.
Доказана справедливость следующих утверждений:
1. Если У связан с Х функциональной зависимостью, то
D
/ D
межгр
общ
= 1;
2. если У связан с Х корреляционной зависимостью, то
D
/ D
межгр
общ
< 1.
Из сказанного выше видно, что чем связь между признаками ближе к функциональной, тем меньше D
тем больше приближается D
D
– к единице. Отсюда ясно, что целесообразно рассматривать
общ
межгр
к D
, а значит, отношение D
общ
и, следовательно,
внгр
межгр
в качестве меры тесноты корреляционной зависимости отношение межгрупповой дисперсии к общей, или, что то же, отношение
межгруппового среднего квадратического отклонения к общему
среднему квадратическому отклонению.
/
13.10. Выборочное корреляционное отношение
Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между
признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреля
ции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят новые сводные характеристики:
– выборочное корреляционное отношение У к Х;
η
ух
η
– выборочное корреляционное отношение Х к У.
хy
Выборочным корреляционным отношением У к Х называют
отношение межгруппового среднего квадратического отклонения
к общему среднему квадратическому отклонению признака У:
233
-
или в других обозначениях
Здесь
Dnуу n
у
х
межгр
hух = σ
yx у
межгр/σобщ
у
,
/.
x
хх
2
;
/
Dnуу n
уу
общ
2
,
/
где n – объем выборки (сумма всех частот); nх – частота значения
х признака Х; n
няя признака У;
– частота значения у признака У; у – общая сред-
у
у – условная средняя признака У.
х
Аналогично определяется выборочное корреляционное от-
ношение Х к У:
/
.
xy х
х
у
►Пример 39. Найти h
по данным корреляционной таблицы.
ух
Таблица
У
15 4 28 6 38
25 6 - 6 12
nх 10 28 12 n = 50
у
х
Х
10 20 30 nу
21 15 20
Решение.
Найдем условные средние:
(4 15 6 25) /10 21
,
10
ху
234
(28 15 0 25) / 28 15
,
20
ху
(6 15 6 25) /12 20
30
ху
общую среднюю:
,
у n у n
/
у
(38×15 + 12×25)/50 = 17,4.
общее среднее квадратическое отклонение:
уу
n уу n
2
/ 38(15 17,4) 12(25 17, 4) / 50 4, 27.
22
Найдем межгрупповое среднее квадратическое отклонение:
у
х
10(21 17,4) 28(15 17,4) 12(20 17,4) / 50 2,73.
хх
2
222
Искомое корреляционное отношение
= /
h
ух
=2,73/4,27 = 0,64.3
у
у
х
13.11. Свойства выборочного корреляционного
отношения
Поскольку hхy обладает теми же свойствами, что и hух, перечислим свойства только выборочного корреляционного отношения h
, которое далее для упрощения записи будем обозначать
ух
через h и для простоты речи называть “корреляционным отношением”.
Свойство 1. Корреляционное отношение удовлетворяет
двойному неравенству
0 ≤ η ≤ 1.
235
Свойство 2. Если η = 0, то признак У с признаком Х корреля-
ционной зависимостью не связан.
Свойство 3. Если η = 1, то признак У связан с признаком Х
функциональной зависимостью.
Свойство 4. Выборочное корреляционное отношение не
меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: η |r
|.
в
Свойство 5. Если выборочное корреляционное отношение
равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.
Другими словами, если η = |r
у
) лежат на прямой линии регрессии, найденной способом наи-
n
|, то точки (х1; у1), (х2; у2),…, (хn;
в
меньших квадратов.
13.12. Корреляционное отношение как мера
корреляционной связи. Достоинства и недостатки
этой меры
В предыдущем параграфе установлено: при η = 0 признаки
не связаны корреляционной зависимостью; при η = 1 имеет место
функциональная зависимость.
Убедимся, что с возрастанием η корреляционная связь становится более тесной.
= D
+ D
внгр
межгр
С этой целью преобразуем соотношение D
так:
общ
D
внгр
= D
[1 – (D
общ
межгр
/ D
общ
],
или
D
Если η → 1, то D
= D
внгр
→ 0, следовательно, стремится к нулю и
внгр
(1– η2).
общ
каждая из групповых дисперсий. Другими словами, при возрастании h значения У, соответствующие определенному значению
Х, все меньше различаются между собой и связь У с Х становится
более тесной, переходя в функциональную при η =1.
236
Поскольку в рассуждениях не делалось никаких допущений
о форме корреляционной связи, η служит мерой тесноты связи
любой, в том числе и линейной, формы. В этом состоит преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом корреляции, который оценивает тесноту лишь линейной зависимости.
Вместе с тем корреляционное отношение обладает недостатком:
оно не позволяет
судить, насколько близко расположены точки,
найденные по данным наблюдений, к кривой определенного вида,
например к параболе, гиперболе и т.д. Это объясняется тем, что
при определении корреляционного отношения форма связи во
внимание не принималась.
13.13. Простейшие случаи криволинейной корреляции
Если график регрессии
у = f(х) или ()
х
ху
изображается
у
кривой линией, то корреляцию называют криволинейной.
Например, функции регрессии У на Х могут иметь вид:
у = а х
2
+ bх + с (параболическая корреляция второго поряд-
х
ка);
у = а х
3
+ bх2 + сх + d (параболическая корреляция третьего
х
порядка).
Для определения вида функции регрессии строят точки
(х;
у ) и по их расположению делают заключение о примерном
х
виде функции регрессии; при окончательном решении принимают
во внимание особенности, вытекающие из сущности решаемой
задачи.
Теория криволинейной корреляции решает те же задачи, что
и теория линейной корреляции (установление формы и тесноты
корреляционной связи). Неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом наименьших квадратов.
Для оценки тесноты криволинейной корреляции служат выборочные корреляционные отношения.
Чтобы выяснить суть дела, ограничимся параболической корреляцией второго порядка, предположив, что данные n наблюдений (выборки) позволяют считать, что имеет место именно такая
237
корреляция. В этом случае выборочное уравнение регрессии У на
Х имеет вид
у = a х
a , b, c – неизвестные параметры.
где
2
х
+ bх + c, (*)
Пользуясь методом наименьших квадратов, получают
систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (вывод опущен, поскольку он не содержит ничего нового):
432 2
()()()
nx a nx b nx c nyx
xxxxx
32
()()()
nx a nx b nxc nyx
xxxxx
n
i
1
2
()() .
nx a nx b nc ny
xx xx
Найденные из этой системы параметры a , b, c подставляют в
(*); в итоге получают искомое уравнение регрессии.
►Пример 40. Найти выборочное уравнение регрессии У на
Х вида
у = a х
2
+bх+c по данным корреляционной таблицы.
х
У
1 1,1 1,2 nу
Х
682-10
7 - 30 - 30
7,5 - 1 9 10
nх 8 33 9 n = 50
у
х
6 6,73 7,5
Таблица
Составим расчетную таблицу, получим систему
74,98 67,48 60,89 413,93
ab c
67,48 60,89 55,10 373,30
abc
60,89 55,10 50 337, 59
abc
238
Решив эту систему, найдем:
a = 1,94; b = 2,98; c = 1,10.
Напишем искомое уравнение регрессии:
у =1,94х
х
2
+ 2,98х + 1,10.
Легко убедиться, что условные средние, вычисленные по этому уравнению, незначительно отличаются от условных средних
корреляционной таблицы. Например, при х
блице
у = 6; по уравнению 1у = 1,94 + 2,98 + 1,10 = 6,02. Таким
1
= 1 найдем: по та-
1
образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными наблюдений (выборки).◄
13.14. Проверка гипотезы о значимости выборочного
коэффициента корреляции
Пусть двумерная генеральная совокупность (Х, У) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r
в
который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана
случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции
генеральной совокупности r
также отличен от нуля. В конечном
г
счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости a проверить
нулевую гипотезу H
фициента корреляции при конкурирующей гипотезе H
= 0 о равенстве нулю генерального коэф-
0:rг
1:rг
= 0.
Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что вы-
борочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля
(кратко говоря, значим), а Х и У коррелированы, т.е. связаны ли-
нейной зависимостью.
Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэф-
фициент корреляции незначим, а Х и У некоррелированы, т.е. не
связаны линейной зависимостью.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
Т rn r
2/ 1
ВВ
2
,
239
Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет рас-
пределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы.
Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид r
0, крити-
г
ческая область – двусторонняя; она строится так же, как в первом
случае.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным на-
блюдений, через Т
и сформулируем правило проверки нулевой
набл
гипотезы.
Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости
a проверить нулевую гипотезу H
= 0 о равенстве нулю гене-
0:rг
рального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H
0, надо вы-
1:rг
числить наблюдаемое значение критерия:
Т rn r
набл В В
2/ 1
2
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n – 2
найти критическую точку t
Если |Т
Если |Т
| < tкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
набл
| > tкр – нулевую гипотезу отвергают.
набл
(a; k) для двусторонней области.
кр
►Пример 41. По выборке объема n = 122, извлеченной из
нормальной двумерной совокупности, найден выборочный коэффициент корреляции r
= 0,4. При уровне значимости 0,05 прове-
в
рить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H
1:rг
0.
Решение. найдем наблюдаемое значение критерия:
Т rn r
набл В В
2 / 1 0, 4 122 2 / 1 0, 4 4,78.
22
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид rг 0, по-
этому критическая область – двусторонняя.
По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы
k = 122 – 2 = 120 находим по таблице приложения 6 для двусторон-
ней критической области критическую точку t
(0,05; 120) = 1,98.
кр
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]