Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Поскольку Т
> tкр – нулевую гипотезу отвергаем. Другими
набл
словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т.е. Х и У коррелированы.◄
14. Методические указания
14.1. Статистическое распределение выборки.
Точечные и интервальные оценки
Следует обратить внимание на разницу между повторными и
бесповторными выборками, а также на различные способы отбора, применяемые на практике.
Необходимо усвоить смысл таких понятий, как несмещенность, эффективность и состоятельность оценок.
Полезно разобраться с графическим представлением статистического материала в виде эмпирической функции
ния, гистограммы и полигона частот.
Важно знать условия применения предлагаемых формул для
вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.
►Пример 8. Выборочная проверка размеров дневной выручки оптовой базы от реализации товаров по 100 рабочим дням дала
следующие результаты:
i1 2 3 4 5 6 7 8
Ji 0 - 5 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40
ni 2 7 14 19 25 20 10 3
Здесь,
i — номер интервала наблюденных значений дневной выруч-
ки (
1, 8i );
— границы i – го интервала (В условных денежных едини-
J
i
цах);
n
— число рабочих дней, когда дневная выручка оказывалась в
i
пределах i — го интервала; при этом очевидно, что
распределе-
Таблица 1
8
nn
i
i
1
100
.
241
Требуется:
построить гистограмму частот;
найти несмещенные оценки
x и s
B
2
для математического
ожидания и дисперсии случайной величины Х (дневной выручки оптовой базы) соответственно;
определить приближенно вероятность того, что в наудачу
выбранный рабочий день дневная выручка составит не менее 15
условных денежных единиц.
Решение.
В условиях данной задачи естественно исходить из того, что
наблюдаемая случайная величина Х (дневная выручка оптовой
базы) имеет непрерывное распределение вероятностей.
Статистическим аналогом графика плотности распределения
такой случайной величины, как известно, является гистограмма
относительных частот. Она представляет собой совокупность
прямоугольников, построенных на выделенных интервалах наблюденных значений случайной величины Х как на основаниях.
Площадь каждого i-го прямоугольника равна относительной частоте w
8
i
где h
i-го интервала, определяемой по формуле
i
1
w
.Отсюда высота i-го прямоугольника вычисляется как
i
1
, — длина i-го интервала (в нашей задаче hi = h = 5 для всех
i
wn
i
n
i
, так что
w
i
h
i
1, 8 ).
i =
Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна
единице.
На основе изложенного для построения гистограммы составим следующую таблицу.
242
Таблица 2
i12345678
5 - 10
0 - 5
J
i
n
2 7 14 19 25 20 10 3
i
0,02 0,07 0,14 0,19 0,25 0,20 0,10 0,03
w
i
w
i
0,004 0,014
5
10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40
0,028 0,038 0,05 0,04 0,02 0,006
Построение гистограммы производится в среде MO Excel с
помощью мастера построения диаграмм.
Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое
распределение вероятностей нормальным.
Несмещенные оценки
88
1
xxnxw
Biiii
n
ii
11
1
22 2
sxxnxxw
— середина i-го интервала.
где x
i
11
nn
ii
,
88
() ()
iB i iB i
11
2
x и s
найдем по формулам
B
n
,
Все необходимые вычисления для удобства и наглядности
проведем в рамках следующей таблицы:
243
Таблица 3
)
i12345678
x
i
w
i
xi w
xx
iB
()
xx
iB
(
xx
iB
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5
0,02 0,07 0,14 0,19 0,25 0,20 0,10 0,03
0,05 0,525 1,75 3,325 5,625 5,5 3,25 1,125
i
= 21,15
x
B
18,65 13,65 8,65 3,65 1,35 6,35 11,35 16,35
w
2
i
347,82
6,96
186,32
13,04
74,82
13,32 1,82 40,32 128,82 267,32
10,48
2,53 0,46 8,06 12,88 8,02
100
2
s
62,43 63,06
99
Таким образом,
x =21,15 (усл. ден. ед.)
B
2
63,06s (усл. ден. ед.)
2
.
Как следует из пункта 1, распределение случайной величины
Х можно считать нормальным. В качестве его параметров возьмем оценки
ax и
21,15
B
2
7,94s полученные в пункте
2. Тогда приближенно вероятность P(Х ≥ 15) того, что в наудачу
выбранный рабочий день дневная выручка оптовой базы составит
не менее 15 условных денежных единиц, можно вычислить следующим образом, c использованием функции Лапласа Ф(х) .
Имеем Р(x<15)+Р(x≥15)=1 Р(x≥15)=1 — Р(x<15)=1– F(15),
Но
xa
() 0,5 ( )
Fx Ф
и значит15(15) 0, 5 ( )
F Ф
a
Итак, имеем
15
a
244
( 15) 0,5 .
РХ Ф
Найдем
15 21,15
РХ Ф Ф
( 15) 0,5 0,5 ( 0,77)
Ф х функция нечетная поэтому Ф х Ф х
() , ( ) ()
Ф Ф см таблицу приложения
0,5 (0,77) (0, 77) 0,2794 . 2
0,5 0, 2794 0,7794 0,78.
Таким образом, P(Х ≥ 15) 0,78.
Значение функции Лапласа в среде Excel модно найти с по-
мощью встроенной функции НОРМСТРАСП(х)-0,5.
Это означает, что в среднем в 78 из 100 рабочих дней дневная
выручка оптовой базы составит не менее 15 условных денежных
единиц.◄
Вопросы для самопроверки.
Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок.
Статистическое распределение
Что понимается под эмпирической функцией распределения, как она строится.
Гистограмма, в чем состоит ее полезность.
Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность, эффек-
тивность оценок.
Выборочная средняя, выборочная дисперсия, формулы для
их нахождения.
7,94
выборки.
14.2. Доверительный интервал. Критерий Пирсона
Следует обратить внимание на суть интервального оценивания параметров распределения, на связь между
роятностью и доверительным интервалом.
Важно разобраться с тем, как находятся доверительные интервалы для оценки математического ожидания признаков, распределенных по нормальному закону.
доверительной ве-
245
При проверке гипотез необходимо уяснить смысл и роль таких понятий, как уровень значимости, критическая область, мощность критерия, причем в их взаимосвязи.
Безусловно, надо четко представлять общую схему статистической проверки гипотез.
Доверительным интервалом называется интервал (q
покрывающий параметр q с заданной надежностью g, где q
чечная оценка параметра q, d-точность оценки и Р(|q
*
-d;q*+d),
*
*
— q|<d)=g.
- то-
Доверительный интервал для математического ожидания a
нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней
где t находим из равенства Ф(t)=
при неизвестном s равен:
n
где S=
n
D
1
x
при известном s равен:
В
tt
хх
и tg находим по таблице 3 приложения tg=t(g,n).
В
хх
ВВ
ВВ
;
nn
по таблице 2 приложения;
2
St St
;
nn
,
,
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения s нормально распределенного количественного признака Х по исправленному равен:
(S(1-q); S(1+q)) при q<1 и (0; S(1+q)) при q³1,
где q находим по таблице 4 приложения q=q(g,n).
Доверительный интервал неизвестной вероятности р биноминального распределения по относительной частоте w
2
;
246
ntwwt
2
tn n n n
2
wt
22
(1 )
2
2
ntwwt
wt
2
tn n n n
где n – число испытаний, m – число появлений события, t находим
из равенства Ф(t)=
2
22
по таблице 2 приложения.
(1 )
,
Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) за до-
верительный интервал можно принять интервал равный
wt wt
(1 ) (1 )
ww ww
;
nn
.
Предельную ошибку d при нахождении доверительного ин-
тервала для математического ожидания m
и для генеральной доли
x
р можно вычислять по одной из формул таблицы
Выборка
d=t×
для
mx
для
p
где t находим из равенства Ф(t)=
Объем выборки n при фиксированных предельной
Повторная Бесповторная
2
ВВ
х
n
(1 )
w
ww
n
n
по таблице 2 приложения.
2
w
2
В
х
nN
(1 )
ww n
nN
n
1
1
ошибке d и доверительной вероятности g можно вычислить по одной из формул следующей таблицы
247
Выборка Повторная Бесповторная
n
n
w
х
2
tw w
для mx
для p
где t находим из равенства Ф(t)=
22
t
В
2
(1 )
2
по таблице 2 приложения.
2
n
x
n
w
nN
x
nN
x
nN
w
nN
w
►Пример 9. В партии из 3000 изделий проверено 12 изделий.
Среди них оказалось 3 бракованных изделия.
Найти доверительную вероятность того, что доля брака во
всей партии отличается от доли в выборке не более чем на 2%.
Найти доверительный интервал, в котором с вероятностью
0,95 заключена доля брака во всей партии.
Определить
объем выборки, необходимый для того, чтобы с
вероятностью 0,95 доля брака во всей партии отличалась от доли
в выборке не более чем на 2%.
Решение.
В качестве точечной оценки доли брака р во всей партии
возьмем относительную частоту w=m/n=3/12=0,25.
Т.к. N=3000 велико по сравнению с n=12, то
(1 ) 0, 2 5 (1 0, 25)
ww
w
n
12
0,125.
Найдем доверительную вероятность того, что доля брака во
всей партии отличается от доли в выборке не более чем на 2%.
Для этого потребуем, чтобы P(|w-p|£d)=2Ф(d/s
)
w
Имеем d=0,02 и
( 0, 25 0,02) 2 ( ) 2 (0,16) 2 0, 0636 0,1272
Pp ФФ
(
248
0,02
0,125
где Ф(0,16)=0,0636 найдено по таблице 2 значений функции Лапласа приложения.
Значение функции Лапласа в среде Excel модно найти с по-
мощью встроенной функции НОРМСТРАСП(х)-0,5.
Доверительный интервал для р при больших N имеет вид
((1)/, (1)/)wt w w n wt w w n .
Имеем
и 2Ф(t)=0,95. Следовательно, Ф(t)=0,475 и по
0,95
таблице 2 приложения t=1,96.
Итак, N=3000, w=0,25; t=1,96; n=12. Cледовательно, искомый
доверительный интервал равен (0,25-1,96×
0,25+1,96×
0, 25 0, 75 /12) =(0,005; 0,495)
0, 25 0, 75 /12;
Чтобы найти необходимый объем выборки, воспользуемся
формулой
2
n
Т.к. 2Ф(t)=g, то 2 Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475 и t=1,96. Следовательно,
2
1, 96 0,25 0,75
n=
2
(0,02)
1800,75 1801.
4
(1 )tw w
=
w
.
2
►Пример 10. При выборочном опросе 100 жителей поселка
о количестве поездок по железной дороге, совершаемых ими в течение месяца, получены следующие данные:
Число
поездок
Число
жите-
0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24-27 27-30 Итого
6 9 15 19 20 14 9 5 2 1 100
лей
Требуется:
Построить эмпирическую функцию распределения случай-
ной величины Х — количества поездок в месяц для наугад взятого
жителя поселка;
249
Найти доверительный интервал для оценки с надежностью
0,95 среднего значения случайной величины Х.
Решение.
Данная величина Х является дискретной, а ее эмпирическая
функция распределения — ступенчатой. Приближенно можно
представить данные обследования в следующем виде:
Таблица 1
Выборочные
значения
Частоты 6 9 15 19 20 14 9 5 2 1 100
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 Итого
В качестве выборочных значений взяты середины интервалов.
Для каждого выборочного значения х найдем кумулятивную
частоту n
— сумму частот для выборочных значений ≤ х, и эмпи-
х
рическую функцию распределения
F*(x) = n
/n, где n = 100
x
Таблица 2
х 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
nх 6 1530496983929799100
F*(х) 0,06 0,15 0,30 0,49 0,69 0,83 0,92 0,97 0,99 1
Построим график функции F*{х), исходя из полученной таб-
лицы 2:
250
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]