Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
График фукции F*(x) График фукции F*(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19, 5 22, 5 25,5 28,5
x
пусть х1,...,х10, — выборочные значения, а n1,...,n10 — их ча-
стоты (из табл. 1).
Найдем выборочную среднюю:
10
nx
ii
1, 5 6 4, 5 9 7, 5 15 10,5 19 13,5 20
i
1
x
B
n
16,5 14 19,5 9 22,5 5 25,5 2 28,5 1
100
12,3
100
Так как значение n=100 достаточно велико, то генеральную
дисперсию оценим по формуле
10
()
nx x
2
sD
B
22 222 22
19 1,8 20 1,2 14 4,2 9 7, 2 5 10,2 2 13,2 1 16,2
откуда s 5,9.
ii B
i
1
2
610,8 9 7,8 15 4,8
n
100
22 2
100
35,3;
251
При вычислении выборочной средней и дисперерсии можно
использовать математические функции Excel
(СУММ(...), СУММПРОИЗВ(...), СУММКВ(...), КОРЕНЬ())
и(или) функции массивов.
Задачу построения доверительного интервала решим прибли-
женно, считая, что оценка
X распределена по нормальному за-
B
кону (для этого n=100 достаточно велико).
В этом случае доверительный интервал покрывающий неиз-
вестный параметр a=m
c вероятностью 0,95 равен
x
ts ts
xx
BB
;
nn
,
где значение t
ищется по таблице 3 приложений tg=t(g,n) по за-
g
данным g и n.
В среде Excel значение t
можно найти с помощью функции
g
СТЬЮДРАСПОБР(a;n) . Здесь a = 1–g.
Имеем, t
=t(0,95,100)=1,984.
g
Тогда
ts
5,9 1,984
n
.
1, 17
100
Отсюда получаем доверительный интервал
ts ts
xx
BB
; (12,3 1,17;12,3 1,17) (11,13;13, 47)
nn
.
Таким образом, в среднем в 95 случаях из 100 интервал (11,13;
13,47) накрывает среднее число поездок в месяц для случайно вы-
бранного жителя поселка.◄
►Пример 11. Выборочная проверка стоимости двухкомнатных квартир (тыс.руб.) дала следующие результаты.
252
78,0 76,5 78,5 83,5 81,0 84,5 79,0 87,0 80,5 78,5
83,0 81,0 80,5 78,0 83,0 89,0 89,3 85,0 82,0 84,0
79,0 82,5 83,0 79,5 78,5 79,5 81,1 89,0 91,0 83,0
84,5 86,0 84,0 83,0 84,5 82,5 87,0 84,5 85,0 80,5
84,0 83,5 84,5 85,5 87,0 83,5 85,0 78,5 86,0 82,5
82,0 83,0 80,0 82,0 79,0 82,5 87,0 84,0 85,5 83,0
Требуется:
Составить статистическое распределение выборки.
Разбив выборку на k классов (k=1+3,22 ×lgn), построить ва-
риационный ряд, соответствующий этому разбиению. Построить
гистограмму относительных частот.
Вычислить для данной выборки несмещенные оценки ма-
тематического ожидания, дисперсии, показателей асимметрии и
эксцесса, коэффициент вариации.
С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нор-
мальном распределении случайной величины Х
– стоимости квар-
тиры при уровне значимости a=0,05.
Построить график плотности нормального распределения с
параметрами
х и s на том же чертеже, где и гистограмма.
B
Найти доверительные интервалы для математического
ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью
g=0,95.
Решение.
Найдем статистическое распределение выборки.
xi 76,5 78,0 78,5 79,0 79,5 80,0 80,5 81,0 81,1 82,0 82,5 83,0 83,5
ni 1243213213473
84,0 84,5 85,0 85,5 86,0 87,0 89,0 89,5 91,0
453224211
Объем выборки 60
nn
i
.
i
253
При решении в Excel возможно использовать функции
СЧЁТЗ(...), МИН(...), МАКС(...), КОРЕНЬ(...), СУММ(...).
Размах выборки R=x
max-xmin
=91,0-76,5=14,5. Так как число
классов k=1+3,22×lgn=1+3,22×lg60≈7, то длина частичного интер-
14,5
вала
R
hk
2,07
7
Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу.
Номер
интерва-
ла
i
Частич-
ный
интервал
xi — х
i
Сумма частот
вариант
частичного
интервала n
Относительная
частота
i
wn
i
Плотность
относительной
w
n
i
частоты
i
h
1 76,5-78,57 7 7/60 0,056
2 78,57-80,64 9 9/60 0,072
3 80,64-82,71 10 10/60 0,081
4 82,71-84,78 19 19/60 0,153
5 84,78-86,85 7 7/60 0,056
6 86,85-88,92 4 4/60 0,032
7 88,92-91,0 4 4/60 0,032
Найдем несмещенную оценку математического ожидания,
т.е. выборочную cреднюю
xxn
22
11
В ii
60 60
i
1
(76,5×1+78,0×2+78,5
×4+79,0×3+79,5×2+80,0×1+80,5×3+81,0×2+81,1×1+82,0×3+82,5×4
+83,0×7+83,5×3+84,0×4+84,5×5+85,0×3+85,5×2+86,0×2+87,0×4+
+89,0×2+89,5×1+91,0×1)=
1
4977,4 82,96
.
60
Чтобы найти несмещенные оценки дисперсии, показателей
асимметрии и эксцесса, коэффициент вариации, составим таблицу.
254
7
11
Dxxn и D
В i В i вВ
22
SD и SS
a
S
e
k
V
( ) 685,619 11, 427 3,38;
n
i
1
n
159
n
1
Итак,
n
31
33 3
ВВ
4
33
44
ВВ
В
100% 4,07%
x
В
2
60
В
11, 427 11,62 3, 409;
7
()
xxn
i В i
i
7
1
()
xxn
n
1
i
60
3
4
i В i
1
60
543,203
3, 38
1
60
0,234;
19660,311
4
3, 3
8
3 2, 509 3 0, 491;
При вычислении оценки дисперсии, показателей асимметрии и эксцесса можно использовать математические функции
Excel (СУММ(...), СУММПРОИЗВ(...), СУММКВ(...), КОРЕНЬ())
и(или) функции массивов.
Чтобы с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о
нормальном распределении случайной величины Х – стоимости
квартиры, нужно вычислить теоретические частоты
xx xx
1
i В i В
*, ( ) ,
nnpгде p Р xXx ФФ
ii i i i
1
SS
.
Для этого составим таблицу.
255
(См. таблицу 2 приложения) .
Значение функции Лапласа в среде Excel модно найти с по-
мощью встроенной функции НОРМСТРАСП(х)-0,5.
Замечание. Интервалы, содержащие малочисленные эмпи-
рические частоты (n
<5) следует объединить, а соответствующие
i
частоты сложить.
Итак, получим таблицу.
256
По табл. критических точек распределения χ2 находим
2
=χ2(0,05;3)=7,82, т.к. уровень значимости a=0,05 по условию, а
χ
кр
число степеней свободы k=m-s=6-3=3, потому что после объединения интервалов число интервалов равно m=6 и s=3. (См. таблицу 5 приложения).
2
Значение критических точек распределения χ
в среде Excel
модно найти с помощью встроенной функции ХИ2ОБР(a;k).
2
2
<χ
Т.к. χ
набл
, то нет оснований отклонить гипотезу о нор-
кр
мальном распределении генеральной совокупности.
Чтобы построить график плотности нормального распределения c параметрами
Для нормального распределения с параметрами
плотность вероятности
значений функции
х и S, заполним следующую таблицу.
В
2
xx
В
()
fx e
. Т. к. есть таблица
S
2
x
1
()
xe
, то 1()
2
2
1
2
2
2
S
fx
SS
xx
a х , s=S
В
В
.
(См. таблицу 1 приложения).
Значение функции плотности j(х) в среде Excel модно найти
с помощью встроенной функции НОРМРАСП(x; a; s; 0). При использовании этой функции следует установить значение х, среднее выборки а, среднее квадратическое отклонение s; логическую
константу 0.
257
Построим график плотности вероятности f(х) на том же
Гистограмма относительны х частот wГистограмма отн осительны х частот w
i i
/n и /n и
график плотности вероятности f(x)график плотно сти вероятности f(x)
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
76,5-
78,57
78,57-
80,64
80,64-
82,71
82,71-
84,78
84,78-
86,85
86,85-
88,92
88,92-
91,0
x
чертеже, что и гистограмма: соединим последовательно точки
(
x
; f(
x
)), где i=1, 7 .
i
i
Доверительный интервал для mх равен ;
St St
хх
ВВ
nn
.
Т. к. g=0,95, то по таблице t
блицу 3 приложения).
В среде Excel значение t
можно найти с помощью функции
g
СТЬЮДРАСПОБР(a;n) . Здесь a = 1–g.
Итак,
3,409 2,00 3,409 2,00
82,96 ; 82, 96 (82,08; 83,84)
доверительный интервал для параметра mх.
Доверительный интервал для s равен: (S(1-q); S(1+q)),
т.к. q = q(g, n)=q(0,95; 60)=0,19<1. (См. таблицу 4 приложения).
Итак, (3,409(1-0,19); 3,409(1+0,19))=(2,76; 4,05) – доверитель-
ный интервал для параметра s.
258
60 60
=t(g;n)=t(0,95;60)=2,00 (См. та-
g
–
Система MAXIMA также содержит ряд фуцнкций для выполнения статистических расчетов. Названия некоторых функций и
краткое описание выполняемых ими действий таковы: mean (вычисление среднего), median (вычисляет медиану), std (вычисляет
среднее квадратическое отклонение), var (вычисляет дисперсию
случайной величины), central_moment (вычисляет центральный
момент порядка k), skewness (вычисляет ассиметрию), kurtosis
(вычисляет эксцесс), quantile (
вычисление p-квантиля), maxi, mini
(выбор наибольшего и наименьшего значения в выборке соответственно), range (размах вариации выборки).◄
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Доверительный интервал и доверительная вероятность (на-
дежность), их взаимосвязь.
Генеральная и выборочная доли. Отклонение выборочной
доли от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Доверительный интервал для генеральной доли.
Теоретические
распределения, используемые при интер-
вальном оценивании, условия их использования.
Интервальная оценка математического ожидания нормаль-
ного распределения при известном и при неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения.
Учет объема выборки при интервальном оценивании.
Общая схема статистической проверки гипотез.
Понятия о уровне значимости и критической области.
Понятие о мощности критерия
проверки гипотез.
Взаимосвязь уровня значимости и мощности критерия.
Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсии.
Проверка гипотезы о виде закона распределения.
Понятие о критериях согласия.
Критерий Пирсона.
Оценки показателей асимметрии и эксцесса, их смысл.
Доверительные интервалы для математического ожидания и
среднего квадратического отклонения.
259
14.3. Тема 7. Элементы теории корреляции
►Пример 12. По данным наблюдений значений Х (площадь
квартиры, м
2
) и У (цена квартиры, тыс. руб.) для однокомнатных и
двухкомнатных квартир получена следующая таблица
ХУХУХУХУХУ
22,5 71,0 16,0 41,0 37,0 112,0 21,3 65,2 36,7 108,4
15,1 40,5 43,0 121,0 36,0 124,0 20,5 58,5 40,0 105,0
37,0 116,0 37,7 117,0 38,7 130,7 42,7 130,0 20,7 57,0
20,0 65,5 44,0 132,0 32,0 106,2 20,5 73,0 37,0 112,0
39,5 85,0 35,0 114,0 21,4 62,7 43,0 136,0 28,0 85,0
42,4 137,0 22,3 64,5 23,0 70,8 38,5 135,0 22,3 65,1
35,2 97,0 31,0 102,0 29,4 89,5 34,2 106,4 29,7 97,3
33,5 102,0 27,3 66,0 41,5 108,0 27,4 83,1 25,0 77,0
27,5 65,0 36,5 113,0 19,5 51,0 22,0 65,0 26,5 90,0
30,0 94,0 19,2 50,0 34,0 92,0 17,3 55,0 23,0 69,1
44,6 139,0 38,3 117,0 42,5 123,0 30,2 90,0 24,3 78,0
34,0 105,0 42,5 112,0 35,2 130,0 26,8 93,4 26,0 96,1
43,0 134,0 18,0 53,0 38,2 115,0 25,5 83,4 26,5 99,0
38,3 118,0 44,5 140,0 32,5 105,0 26,9 97,0 25,1 81,4
29,3 87,0 38,4 119,0 35,0 110,0 21,4 80,5 44,0 135,0
31,0 99,0 28,4 85,0 29,5 90,0 26,4 90,0 40,0 115,0
25,1 70,0 25,0 78,2 32,0 96,0 25,1 81,5 23,4 70,0
22,3 68,2 27,4 85,0 27,3 85,1 26,5 95,0 26,0 78,8
31,5 94,7 21,5 63,0 30,0 94,0 42,0 110,0 30,5 92,7
26,5 79,9 25,0 77,2 21,5 64,2 34,0 103,0 23,5 79,0
Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные
уравнения прямых регрессии.
Решение.
Разобьем интервал значений Y на пять промежутков длины
140 40
=20 (так как y
1
260
=40, y
min
=140, то
max
1
), а интервал
20
5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]