Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Решение.
x
=(2×1039 + 4×976 +7,5×1251 + 15×422 +
B
25×51)×1/3739=6,14 (тыс. чел.)◄
►Пример 7. Распределение рабочих предприятия по зара-
ботной плате и по цехам приведено в таблице.
Заработная плата,
тыс. руб.
Интервалы
700–800 750 7 1 0 8
800–900 850 12 5 0 17
900–1000 950 15 9 4 28
1000–
1100
1100–
1200
1200–
1300
Итого 40 50 60 150
Середины
интервалов
1050 6 18 8 32
1150 0 12 32 44
1250 0 5 16 21
Число рабочих в цехах Всего
№1 №2 №3
Вычислить среднюю заработную плату рабочих предприятия.
Решение.
1 способ
x =(750×8 + 850×17 + 950×28 + 1050×32 +1150×44 +
B
1250×21)×1/150 =1050.
2 способ
=(750×7 + 850×12 + 950×15 + 1050×6)×1/40 = 900.
x
1
=(750×1 + 850×5 + 950×9 + 1050×18 +1150×12 +
x
2
1250×5)×1/50 = 1050.
=( 950×4 + 1050×8+1150×32 + 1250×16)×1/60 = 1150.
x
3
Тогда
x = (900×40 + 1050×50 + 1150×60)×1/150 =1050
B
Сравните результаты.◄
141
7.2.2. Оценка дисперсии
В качестве оценки D
можно взять дисперсию статистическо-
х
го распределения выборки, так называемую выборочную диспер-
сию
Dxx
n
1
()
BiB
n
i
1
2
.
Можно доказать, что выборочная дисперсия является состоятельной и смещенной оценкой генеральной дисперсии D
1
n
М DD
чем
значение дисперсии на D
, т.е. эта оценка занижает в среднем истинное
Bx
n
/n. Правда это смещение сходит на нет
x
х,
при-
при n→∞. С целью исправления смещения вводят несмещенную
оценку D
, которой является исправленная выборочная дисперсия
х
n
2
SD
n
.
B
1
Действительно,
nn n
2
М
SM D М DDD
B е ››
11 1n
nn n
Итак, S2 - несмещенная оценка Dх, а т. к. 1 при
2
значит S
→Dx то оценка S2 является состоятельной.
Следовательно,
n
2
SD
n
1
=
B
nn
nn
11
n
() ()
xx xx
1n 1
iB i
ii
11
n-1
n
n
22
.
1
n
и
.
B
Аналогично вводятся выборочное среднее квадратическое от-
D
клонение (стандарт)
ческое отклонение S =
и исправленное среднее квадрати-
ее
2
S .
Замечание 5.
При достаточно больших значениях n объема выборки
выборочная и исправленная дисперсии мало различаются, т. к.
n
2
SD
n
; на практике пользуются исправленной дисперсией,
B
1
если n30.
142
Если, xi - варианта выборки, ni - ее частота и n =
выборки, то
kk
1
D()()
B
22 2
S ( ) ( )
nn
nx x wx x
ii B ii B
n
11
ii
kk
1
nx x wx x
ii B ii B
11
ii
11
22
n
Для вычисления DВ удобнее применять формулу
kk
DВ =
22 2 2
() ( )
x x nx nx
B B ii ii
11
nn
ii
11
k
n
- объем
i
1
i
.
.
.
Выборочное s
и исправленное S (средние квадратические
в
отклонения) — смещенные оценки s.
7.2.3. Групповая, общая и межгрупповая дисперсии,
средняя групповых дисперсий
Допустим, что снова некоторая совокупность объема n разбита
на l непересекающихся групп, необязательно одинаковых по объему. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти их средние арифметические
Тогда групповой дисперсией s
2
называется дисперсия распреде-
j
ления членов j-й группы относительно их групповой средней
x ,(j=1,2,…,l).
j
x
j
т.е.
2
xxm
iji
i
2
s
=
j
N
где mi - частоты вариантов в группе, Nj =
причем
j
Nn
j
.
,
j
m
- объем группы,
i
i
,
143
Дисперсия распределения по этому же признаку всей сово-
купности относительно общей средней
персией s
2
.
Межгрупповой дисперсией δ
тическая квадратов отклонений групповых средних
ресекающихся групп от общей средней
l
xxN
jB j
1
j
2
x
называется общей дис-
2
называется средняя арифме-
x
всех непе-
j
n
x , т.е.
B
2
,
где Nj (j = 1 , 2 ,..., l) - объемы групп.
Средней групповых дисперсий
арифметическая групповых дисперсий, т.е.
где N
(j = 1, 2 ,..., l) — объемы непересекающихся групп.
j
2
=
j
l
1
2
jj
n
2
называется средняя
N
,
Свойство:
2
2
s
=
+ d
2
►Пример 8. Из генеральной совокупности извлечена выборка
х
-5 1 3
i
n
253
i
Найти несмещенные оценки генеральной средней и генераль-
ной дисперсии.
Решение.
Объем выборки n = 2 + 5 + 3 = 10,
11
›xn
‰ii
n
i
11
22222
Snxx
ii в
19
n
i
1
80,4 8,93
9
Ответ:
x = 0,4; S
B
(52 15 33) 0,4
10
( ) (( 5 0,4) 2 (1 0,4) 5 (3 0,4) 3)
2
= 8,93.3
;
.
144
►Пример 9. Вычислить (см. пример 7)
межгрупповую дисперсию распределения рабочих по заработной плате и по цехам;
среднюю групповых дисперсий распределения рабочих по
заработной плате и по цехам;
общую дисперсию распределения рабочих предприятия по
заработной плате.
Решение.
2
d
= ((900 - 1050)2 ×40 + (1050 - 1050)2×50 + (1150 -
2
1050)
×60)/150 =10000.
Имеем
2
= ((750 - 900)2 ×7 + (850 - 900)2×12 + (950 - 900)2×15 +
1
(1050 - 900)
(1050 - 1050)
2
×6)/40 = 9000 .
2
= ((750 - 1050)2×1 + (850 - 1050)2×5 + (950 - 1050)2×9 +
2
2
×18 + (1150 - 1050)2×12 + (1250 - 1050)2×5)/50 =
14000.
2
= ((950 - 1150)2 ×4 + (1050 - 1150)2×8 + (1150 - 1150)2×32 +
3
(1250 - 1150)
2
×16)/60 = 20000/3.
Тогда
2
= (9000×40 + 14000×50 + 20000/3×60)/150 =29200/3 .
◄
1 способ
2
σ
= 10000 +29200/3 = 59200/3 .
2 способ
2
σ
=((750-1050)2×8+(850-1050)2×17+(950-1050)2×28+(1050-
2
1050)
×32+(1150-1050)2×44 +(1250-1050)2×21)/150=59200/3. 3
145
7.3. Генеральная и выборочная доли
Пусть генеральная совокупность одержит N членов, из которых M членов обладают некоторым признаком Х. Назовем генеральной долей p признака Х отношение числа M членов генеральной совокупности с признаком Х к ее объему N, т.е.
M
p =
.
N
Пусть выборочная совокупность содержит n членов, из которых m членов обладают признаком Х.
m
Назовем выборочной долей w признака Х отношение
m
w =
.
n
n
, т.е.
Можно доказать, что и при повторном, и при без повторном
отборе элементов в выборку, выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли.
►Пример 10. В выборке, состоящей из 500 зерен из данной
партии, 30 зерен не взошли. Оценить генеральную долю всхожести семян во всей партии.
Решение.
Оценкой генеральной доли всхожести
семян в партии, из ко-
торой сделана выборка объема n = 500, является выборочная доля
взошедших семян, т.е
500 30 470
w или 94 %.
500 500
0,94
7.4. Мода, медиана, коэффициент вариации
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики, например, мода, медиана, коэффициент вариации.
Модой Мо называют варианту, которая имеет наибольшую
частоту.
146
Медианой Ме называют варианту, которая делит вариацион-
ный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. n = 2k+1, то Ме
xx
т. е. n = 2k , то Ме =
kk
2
= x
; если число вариант четно,
k+1
1
.
Коэффициентом вариации
V
V называют величину равную
‰
100%
.
x
в
Коэфициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных
рядов: тот из рядов имеет большое рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэфициент вариации больше.
►Пример 11. Из генеральной совокупности извлечена выборка
хi1359
ni3764
Найти:
выборочные моду,
медиану,
коэффициент вариации.
Решение.
Наибольшую частоту 7 имеет варианта х = 3, следовательно,
Mо = 3.
Т. к. объем выборки n=20, т. е. число вариант четно, то
xx
10 11
Ме
.
35
22
4
Т.к. 100%
11 90
xnx
в ii
n
‰
V
, то найдем
x
в
i
(1 3 3 7 5 6 9 4) 4,5
20 20
147
2 2 2 2 2222 2
D =x ( ) ( ) (1 3 3 7 5 6 9 4) (4, 5)
BB
540
20,25 27 20, 25 6,75 6,75 2,598
20
Итак,
11
xnxx
BiiB
n
I
20
2,598
V .3
100% 57,7%
4,5
B
7.5 . Выборочные начальные и центральные моменты
Выборочным начальным моментом к-го порядка (к³1) на-
зовем число равное
n
1
*
ki
k
x
.
n
i
1
Выборочным центральным моментом к-го порядка назо-
вем
n
1
*
μ
=
к
()
n
1
i
x›
i‰
k
.
Замечание 6.
Очевидно, что
*
=
n
1
x , μ
B
*
= DВ.
2
8. Методы расчета сводных характеристик
выборки
8.1 . Условные варианты
Если варианты х
тов целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число
с, т. е. перейти к условным вариантам u
D
(Х) = DВ(U), т. е. дисперсия при этом не изменится. (В каче-
В
148
- большие числа, то для упрощения расче-
i
= xi - с; тогда
i
xcu ,
BB
стве с выгодно принять число, близкое к выборочной средней, что
определяют “на глаз”). Число с называют ложным нулем.
nn n
11 1
xxucuncuc
Bi i iB
nn n
11 1
ii i
11 1
() () ( ()) ()()
DX x x u c u c u u DU
BiBiB iBB
nn n
()
nn n
ii i
11 1
222
.
Если варианты x
- дробные числа , то умножаем каждую ва-
i
рианту на число h т. е. переходим к условным вариантам u
тогда
DU
u
B
xh ,
B
DXh
B
B
2
.
Действительно,
nn n
11 11
. ,
xx u
DX x
Bi i
nnhnnh
ii
1i=1 1
nn n
11 1
Bi
11 1
nh
nnhhnh
ii i
11 1
n
uu DU
iB B
2
i
1
h
►Пример 12. Найти
u
i
2
x)
B
2
).
x
i
n
i
2
x и D
B
103 104 106 110
3 4 10 3
u
i
u
B
2
u
B
(X) , если
B
uu
iB
2
2
)
Решение.
В качестве ложного нуля возьмем c =106 , т. е. u
= xi –106
i
Тогда распределение условных вариантов имеет вид
= hxi ,
i
u
i
n
i
-3 -2 0 4
3 4 10 3
149
Найдем
,().
uDU
BB
11 51
unu
Bii
n
i
DU n u u
BiiB
(4 ) 3)
11111
n
1
2
4
Отсюда,
DX DU
BB
►Пример 13. Найти
33 2 4010 43) ,
20 20 4
2
i
((3)3(2)4(0)10
20 4 4 4
222
=89,75/20=4,4875
xu ,
BB
106 106 105,75.
4,4875.
x
1,03 1,04 1,06 1,1
i
n
i
1
4
◄
x и D
3 4 10 3
, если
B
В
Решение.
Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к ус-
ловным вариантам u
=100 xi, получим распределение
i
u
n
103 104 106 110
i
3 4 10 3
i
105,75
Т.к.
u
Тогда
B
то
100,h
u
B
x
B
h
DX
B
и
DU (см. предыдущий пример).
B
105,75
100
DU
B
1, 0575
4,4875
24
h
10
4,4875
4
4,4875 10 0,00045.
◄
Вывод:
* Если введены условные варианты
u
i
xc
то
i
150
,
h
uhxc т.е.
ii
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]