Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Решение.
События:
А — первый банк выделит кредит,
В — второй банк выделит кредит,
С — третий банк выделит кредит,
D — предприятие получит кредит в размере 200 млн. руб.,
E — предприятие получит кредит в размере не менее 240 млн.
руб.,
F – получит кредит.
а) Так как
DABCABC
, то P(D) = 0,5·0,4·(1 — 0,9) +
+(1 — 0,5)·(1 — 0,4)·0,9 = 0,02 + 0,27 = 0,29.
б)Так как E=A·
BC ABC ABC
, то
P(E)=0,5·(1-0,4)·0,9+(1-0,5)·0,4·0,9+0,5·0,4·0,9=0,63.
с) Так как
FABC
, то P(F) = 1 – P(
ABC
) = 1 –
0,5·0,6·0,1=0,97.4
8.3. Теорема 3. Формула полной вероятности
Пусть в результате опыта может появиться какое-либо из несовместных событий Н
,...,Нn, образующих полную группу.
1,Н2
Событие А может появиться только вместе с одним из этих событий. События Н
Покажем, что если известны вероятности гипотез Р(Н
ловные вероятности Р(А/Н
, Н2,..., Нn называются гипотезами.
1
), где i=
i
n
() ( ) ( / )
PA PH PA H
i
1
, то
,1 n
ii
.
) и ус-
i
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Доказательство.
)
Р(А)=Р(А·
события A·H
(A·H
)=A·Hi·Hj=A·(Hi·Hj)=A·=/ = Р(А·Н1)+Р(А·Н2)+...+Р(А·Нn)=
j
=P(H
)·P(A/H1)+P(H2)·P(A/H2)+...+P(Hn)·P(A/Hn).
1
=Р(А·(Н1+Н2+...+Нn)=P(A·H1+A·H2+...+A·Hn)= /
A·Hj, где
i и
несовместные события, т.к. (A·Hi)·
,ij
21
Замечание 2.
n
() .
PH
i
i
11
Пример 10. На стройку поступают блоки с трех баз, при-
чем 50% с первой базы,30% со второй базы, остальные с третьей
базы. Вероятность того, что блок c первой базы бракованный —
0,09; со второй — 0,1; с третьей — 0,08. Найти вероятность того,
что взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.
Решение.
Рассмотрим гипотезы:
Н
— взятый наудачу блок поступил с первой базы,
1
Н
— взятый наудачу блок поступил со второй базы,
2
— взятый наудачу блок поступил с третьей базы.
Н
3
Тогда из условия Р(Н
Р(Н
)=(100-50-30)/100 = 0,2.
3
)=50/100=0,5; Р(Н2)=30/100=0,3;
1
Событие А — взятый наудачу на стройке блок окажется бра-
кованным.
По условию Р(А/Н
)=0,09; Р(А/Н2)=0,1; Р(А/Н3)=0,08.
1
Следовательно, по формуле полной вероятности
Р(А)=0,5·0,09+0,3·0,1+0,2·0,08=0,091.4
8.4. Теорема 4. Формула Байеса (теорема гипотез)
Пусть в условиях предыдущей теоремы событие А наступило
и мы нашли вероятность Р(А). Спросим, какие вероятности имеют гипотезы в связи с появлением события А, т.е. найдем Р(Н
/А),
i
где i=1,2,...,n.
По аксиоме 5: Р(А·Н
22
)=P(A)·P(Hi/A)=P(Hi)·P(A/Hi), откуда
i
()(/ )
PH PA H
(/)
PH A
i
ii
()
PA
.
Пример 11. В предыдущем примере событие А наступи-
ло, т.е. взятый наудачу на стройке блок оказался бракованным.
Определить вероятность того, что этот блок поступил со второй
базы.
Решение.
()(/ )0,30,130
Р(Н2/А)=
PH PА H
22
( ) 0,091 91
P А
0,33.
4
8.5 .Теорема 5. Формула Бернулли
Производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Найдем
вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится
ровно m раз, т.е. найдем P
Обозначим через А
(m).
n
— появление события А в i-ом опыте,
i
тогда
(m)=P(A1·A2·...·Am·
P
n
·...·An)=/ сумма
A
n-m+1
C
AA A
12
m
n
mm n
несовместных событий, каждое из кото-
+...+
рых – произведение n независимых событий /=
AA A
C
...
12
m
·pm·(1-p)
n
nm
n-m
...
следовательно,
·
,
m
P
(m)=
n
C
n
pm q
n-m
, где q=1-p, m=0; 1; 2;…; n.
Пример 12. Каждый из пяти независимо работающих эле-
ментов отказывает с вероятностью 0,4. Найти вероятность того,
что откажут три элемента из пяти.
Решение.
Р
(3)=
5
C
3
р3q2=
5
5!
·0,43·0,62 =10·0,064·0,360,23.4
3! 2!
23
8.5.1 Наивероятнейшее число наступлений события
при повторении испытаний
Пусть m0 — наивероятнейшее число появления события А в n
независимых испытаниях, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р, т.е. Р
m
Pn(m0-1), где Pn(m)=C
n-m
pmq
n
, где q=1-p. Решив эти неравенства,
)Pn(m0+1) и Pn(m0)
n(m0
получим
np-q
m
0
np+p.
Пример 13. Найти наивероятнейшее число отказавших
элементов, если каждый из пяти независимо работающих элементов отказывает с вероятностью 0,4.
Решение.
Так как n=5, p=0,4, q=0,6, то 5·0,4-0,6m
m
2,4. Следовательно, m0=2.4
0
5·0,4+0,4 или 1,4
0
Пример 14. В некоторой системе имеется важный
узел, вероятность безотказной работы которого равна р
. Для по-
1
вышения надежности системы этот узел можно дублировать так,
чтобы система работала, если работает хотя бы один из дублирующих узлов. Сколько раз надо дублировать узел, чтобы вероятность
безотказной работы превысила заданный уровень р
(р2>p1)?
2
Решение.
Перейдем к противоположному событию. Нарушение работы
системы наступит только при выходе из строя всех дублирующих
узлов. Считая выходы из строя узлов событиями независимыми,
найдем вероятность выхода из строя n дублирующих узлов: (1-р
Поэтому вероятность безотказной работы системы: 1-(1-р
Нужно найти такое n, чтобы 1-(1-р
т. е. nlg(1-p1)<lg(1-p2), следовательно, n >
если р
n>
=0,8, а требуемая надежность системы р2=0,99 , то
1
lg 0, 01
lg 0, 2
=
2
1 0,301
=2,86 , следовательно, n3.4
)n>p2. Отсюда (1-р1)n<1-р2,
1
lg(1 )
p
2
lg(1 )
. Например,
p
1
1
)n.
1
)n.
24
9. Случайные величины
Понятие случайной величины
Случайной величиной Х в данном опыте называется пере-
менная величина, которая в результате испытания примет одно из
своих возможных значений, но какое именно до проведения опыта
неизвестно.
Совокупность всех возможных значений случайной величи-
ны называется спектром.
Спектр называется дискретным, если все возможные значе-
ния случайной величины образуют
последовательность, и называется непрерывным, если все значения случайной величины заполняют сплошь некоторый промежуток.
Например, Х — оценка на экзамене. Случайная величина Х
имеет дискретный спектр, т.к. ее возможные значения: 2;3;4;5.
Или Х — время безотказной работы двигателя. В этом случае случайная величина Х имеет непрерывный спектр,
значения Х заполняют сплошь некоторый промежуток времени
[0;t], где t — момент отказа двигателя.
Для задания случайной величины недостаточно знания ее
спектра, необходимо указать, как часто случайная величина принимает то или иное свое возможное значение. Такой вероятностной характеристикой случайной величины Х является функция
распределения F(x).
конечную или бесконечную
т.к. возможные
9.1 Функция распределения случайной величины
Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х в результате
испытания примет значение, меньшее х, т.е.
F(x)=P(X<x).
Из определения функции распределения следуют следующие
свойства F(x):
25
1) область определения F(x) — интервал (-
F(x) 1,
2) 0
3) F(–
4) F(+
)=0, так как P(X< –)=P()=0,
)=1, так как P(X<+)=P()=1,
;)
,
5) F(x) — неубывающая функция.
Для определенности будем полагать, что F(x) — функция не-
прерывная слева, т.е. F(x
– 0)=F(x0).
0
Законом распределения случайной величины Х называется
любая ее вероятностная характеристика, из которой можно получить функцию распределения F(x).
9.2 Вероятность попадания случайной величины
в промежуток и в точку
Если известна функция распределения F(x) случайной вели-
чины Х, то найдем P(
Х
), где
, следующим обра-
зом.
)(
Т. к .Р(Х<)=Р((Х<
то Р(
Х
)(
Х
))=Р(Х<
)= =Р(Х<)–Р(Х<)=F()–F().
P Х
Итак, Р(αX<β)=F(β)–F(α).
Следовательно, вероятность попадания случайной величины
в точку
Р(Х=)=
00
=
c если FFc
lim
если FF
,()(),
00
Р(
Х<) =
,()().
lim
(F()-F())=
),
Итак, вероятность попадания случайной величины Х в
точку х=α равна нулю, если F(х) непрерывна в этой точке, и рав-
на скачку функции F(х) в этой точке, если х= — точка разрыва
F(x).
Если F(x) непрерывна в точках х= и х=, то
()()()()
Р XPXPXPX
26
.
Пример 15. Функция распределения случайной величины
X
F(x)=
0, ( , 3],
если x
0, 2( 3), (3, 8],
1, (8, ).
если x
x если x
Найти вероятность попадания с.в. Х в интервал (1;6).
Решение.
Р(1<X<6)=F(6)–F(1)=0,2(6–3)–0=0,6.4
9.3 Дискретная случайная величина
Случайная величина Х называется дискретной, если ее
спектр дискретный.
Законом распределения дискретной случайной величины Х
является ряд распределения, т.е. перечисление всех возможных
значений Х и их соответствующих вероятностей:
Хх1х
Pp1p
2
2
... х
... p
n
n
рi=P(X=xi), где i=1;2;...;n;...
Т. к. события (X=x1), (X=x2),...,(X=xn),... образуют полную
р
группу событий и несовместны, то
Равенство
Многоугольником распределения назовем ломаную, соеди-
р
=1 называется условием нормировки.
i
i
няющую последовательно точки (х
= 1.
i
i
),(х2;р2),...,(хn;рn)...
1;р1
...
...
27
Pис. 3
Пример 16. Среди шести элементов два изношенных.
Составить ряд распределения случайной величины Х — числа
изношенных элементов среди трех наудачу отобранных. Найти
функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2.
Р(Х=0)=
Р(Х=2)=
03
CC
24
C
21
CC
24
3
C
6
3
6
0, 2.
2! 4! 3! 3!
0! 2! 3!1! 6!
0, 2
. Р(Х=1)=
12
CC
24
3
C
6
0,6
Условие нормировки: 0,2+0,6+0,2=1.
Х 01 2
Р 0,2 0,6 0,2
Найдем F(x).
Если x
если x
если x
если x
(-;0], то F(x)=P(X<x)=0;
(0;1], то F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0,2;
(1;2], то F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0,2+0,6=0,8;
(2;+), F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)+
+P(X=2)=0,2+0,6+0,2=1.
.
28
Следовательно,
0, ( ; 0],
если х
0, 2, (0;1],
F(x)=
0,8, (1;2],
1, ( 2; ).
если х
Итак, F(x)=
если х
если х
p
()
xx
i
Pис. 4
, т. е. суммируем те pi, для которых xi<x .
i
Зная F(x), можно, например, найти Р(Х=3)=0, т.к. х=3 — точка
непрерывности F(x); или найти Р(Х=1)=0,8-0,2=0,6, т.к. х=1 —
точка разрыва F(x); или P(-1
X<1,5) = F(1,5) — F(-1) = 0,8 — 0 =
0,8.4
9.4. Непрерывная случайная величина
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее
функция распределения F(x) непрерывна и имеет непрерывную
производную везде, кроме, быть может, конечного числа точек. Из
определения следует, что непрерывная случайная величина имеет
непрерывный спектр (если случайная величина имеет непре-
29
рывный спектр, то из этого не следует, что она непрерывна). Если
функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна,
а в отдельных точках имеет разрывы, то случайная величина называется смешанной.
Плотностью распределения (или плотностью вероятно-
сти) непрерывной случайной величины X называется функция
f(x) равная
/
f(x)=F
Т. к.
(x).
()
()()
()
fx
Fx x Fx
lim
0
x
x
Px X x x
lim
0
x
x
, то
()(). P x X x dx f x dx
x
()
Отсюда следует, что F(x)=
fxdx
, т.е. f(x) является зако-
ном распределения непрерывной случайной величины X.
Свойства f(x):
f(x)≥ 0, т.к. F(x) — неубывающая функция,
()
fxdx
Условие
=1, т.к.
fxdx
()
fxdx
=1 называют условием нормировки не-
()
=F(x)|
=F(+) — F(-)=1-0=1.
прерывной случайной величины X.
Т. к. Р(
()().
РХ fxdx
Х
)=F()-F() то, следовательно,
Учитывая, что вероятность попадания непрерывной случай-
ной величины X в точку равна нулю, имеем
Р(αX<β)=P(αXβ)=Р(α<Xβ)=Р(α<x<β)=
30
()
fxdx
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]