Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Пример 17. Плотность вероятности непрерывной случай-
ной величины X
f(x)=
0, ( ; 2],
если x
, (2;4],
ax если x
0, (4; ).
если x
Найти
значение параметра
a
;
функцию распределения F(x);
вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
случайная величина X хотя бы один раз попадет в промежуток
(0;3).
Решение.
Из условия нормировки
24
001
dx ax dx dx
ax a
22
24
4
2
1 (16 4) 1,
2
fxdx
4
, т. е.
axdx
2
откуда a=
()
1
6.
=1 следует
следовательно,
,
1
Итак,
f(x)=
F(x)=
Если х
если х
если x
,(;],
02
1
x если x
,(;],
6
если x
,(;).
04
x
(;],2
(; ],24
() .
fxdx
то F(x)=
24
то F(x)=
x
;00
dx
2
x
11 1
0 ( 4),
dx xdx x
66212
2
x
2
x
2
2
31
если х
(; ),4
то F(x)=
24
000101.
1
dx xdx dx
6
24
x
Итак,
F(x)=
0, ( ;2],
если x
1
12
1, ( 4; ).
если x
2
( 4), (2; 4],
x если x
Найдем Р(0<X<3)=p. Это можно вычислить двумя способами.
Или р=F(3)-F(0)=
15
(9 4) 0
,
12 12
323
() 0
или р=
15
=
f x dx dx xdx
002
(9 4)
. Итак,
1
6
1
x
62
2
3
|
2
12 12
р=Р(0<X<3)=
5
12.
Найдем вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случайная величина Х хотя бы один раз примет значение
из промежутка (0;3), то есть найдем Р
5
(4)=1 — Р4(0)=1 — (1-р)4=1 — (1-
4
=1 — (
)
12
4
(1)+Р4(2)+Р4(3)+Р
7
4
=0,884.
)
12
4
Построим графики функций f(x) и F(x).
Рис. 5
32
9.5. Основные числовые характеристики
случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную
величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении
многих практических задач достаточно знать о случайной величине лишь характерные черты закона распределения, которые в сжатой форме выражают существенные особенности распределения.
О каждой случайной величине необходимо, прежде всего,
знать ее среднее значение, около которого группируются возмож
ные значения случайной величины, а также число, характеризующее степень разбросанности возможных значений относительно
среднего значения случайной величины. Для более полного описания случайной величины используют и другие числовые характеристики.
9.5.1. Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины Х называется число
.
М[X]=
i
1
xp
ii
-
Если же дискретная случайная величина Х имеет n возможных значений, то
n
[]1
MX xp
i
ii
.
Таким образом, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений
случайной величины на соответствующие вероятности этих значений.
33
Математическим ожиданием непрерывной случайной ве-
личины Х называется число
[] ().
MX xf xdx
Если же возможные значения непрерывной случайной вели-
чины Х принадлежат лишь отрезку [
[] ().
MX xfxdx
;b], то
a
b
a
Иногда математическое ожидание случайной величины Х
обозначают через m
.
x
Пример 18. Непрерывная случайная величина Х задана
плотностью вероятности.
1
()
fx
, [2;4],
x если x
6
0, [2; 4].
если x
Найти М[X].
Решение.
М[X]=
44
11 1 1 56
x xdx x dx
6 6 6 3 18 18
22
24
3
x
| (64 8) 3,11
2
.4
Простейшие свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величи-
ны равно самой постоянной, то есть
М[C]=С.
Доказательство.
Постоянную величину С можно рассматривать как частный случай случайной величины, которая принимает с вероятностью р=1 только одно значение х=С; тогда по определению
М[C]=С·1=С.
Свойство 2. Постоянный множитель
можно выносить за знак
математического ожидания, то есть
М[СX]=СM[X].
34
Доказательство.
Докажем это свойство для дискретной случайной величины.
М[СX]=
nn
Cx p C x p CM X
ii ii
11
ii
.
[]
Для непрерывной случайной величины докажите аналогично
это свойство.
Пример 19. Дано:
X-3-1 2
P 0,2 0,5 0,3
Найти М[5X].
Решение.
М[5X]=5M[X], т.к. M[X]=(-3)·0,2+(-1)·0,5+2·0,3=-0,5, то
М[5X]=5·(-0,5)= — 2,5.4
9.5.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
случайной величины
Дисперсией случайной величины Х называется число, ха-
рактеризующее степень разброса возможных значений случайной
величины относительно ее математического ожидания, обозначаемое D[X] и равное
D[X]=M[(X-m
x
)2].
Следовательно, для дискретной случайной величины D[X]
находят по формуле
D[X]=
n
()
xm p
ixi
1
i
2
или D[X]=
()
xm p
ixi
i
1
2
в зависимости от того, конечно или бесконечно число возможных
значений дискретной случайной величины;
для непрерывной случайной величины
D[X]=
()().
xm fxdx
2
x
35
Средним квадратическим отклонением случайной величи-
ны Х называется число
=
x
, где Dx=D[X].
D
x
Среднее квадратическое отклонение
также характеризует
x
степень отклонения возможных значений случайной величины
относительно ее m
, но имеет размерность случайной величины.
x
Простейшие свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
D[C]=0
Доказательство.
Т.к. М[C]=C, то D[C]=M[(C-C)
2
]=M[0]=0.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е.
D[СX]=С
2
D[X].
Доказательство.
D[С X]=M[(С X-С m
m
)2]=С2D[X].
x
)2]=M[С2(X-mx)2]=С2M[(X-
x
Свойство 3.
Dx=M[X2]-m
2
.
x
Доказательство.
Докажем это свойство для дискретной случайной величины.
D[X]=M[(X-m
nn
() ( )
xm p xp mxpmp
ixi ii xiixi
11
ii
nnn
22
xp m xp m p
=
ii x ii x i
111
iii
)2]=
x
22 2
2
2
M[X2]-2mxmx+m
2
=M[X2]-m
x
2
x
Докажите аналогично это свойство для непрерывной случай-
ной величины.
36
Пример 20. Найти дисперсию случайной величины Х, име-
ющей следующий закон распределения
Х -3 -1 2
Р 0,2 0,5 0,3
Решение.
Воспользуемся формулой D
=M[X2]-m
x
2
.
x
Найдем М[X]=(-3)·0,2+(-1)·0,5+2·0,3=-0,5;
3
M[X
2
]=
i
xp
1
2
(-3)2·0,2+(-1)2·0,5+22·0,3=3,5; следовательно,
ii
Dx=3,5-(-0,5)2=3,5-0,25=3,25. Можно вычислить x =
3, 25
1,80.4
9.5.3 Начальные и центральные моменты порядка k
Кроме числовых характеристик М[X] и D[X] рассматривают-
ся и другие: начальные и центральные моменты и т.д.
Начальным моментом порядка k cлучайной величины Х
называют математическое ожидание случайной величины Х
k
MX
[].
k
Центральным моментом порядка k cлучайной величины
Х называют математическое ожидание величины (X-M[X])
M[(X-mx)k].
k
В частности,
D
= M[X2]-m
x
, 2=Dx,
2
.
x
1=mx
221
2
из формулы
D
=
x
k
:
k
:
37
10. Основные распределения дискретной
случайной величины
Основными распределениями дискретной случайной величины являются биномиальное распределение и распределение
Пуассона.
10.1 Биномиальное распределение
Биномиальным распределением называется распределение
дискретной случайной величины X=m, для которой ряд распределения задается формулой Бернулли
(m) = C
Р
n
m
n
Биномиальное распределение имеет дискретная случайная
величина Х — число появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, и, следовательно, вероятность непоявления события А в каждом испытании равна q=1-p.
Найдем числовые характеристики M[X], D[X],
M[X]=
Продифференцируем по р равенство (р+q)
Получим
p mqn
— m
, где m=0;1;2;...,n и q=1-p.
n
mmnm
mC p q
0
m
n
(1).
n
=
x
n
С pq
0
m
. Имеем
mmnm
n
.
n(p+q)
n-1
=
mC p q
m
mm nm
10
n
(2).
n
Умножим обе части этого равенства на р, получим
n
np(p+q)
38
n-1
=
mC p q
0
m
mmnm
n
(3).
Сравнивая выражения (1) и (3) и учитывая, что p+q=1, полу-
2
чим M[X]=np. Аналогично можно найти D[X]=M[X
]-m
2
= npq.
x
Итак, числовые характеристики биномиального распределе-
ния:
m
=np, Dx=npq, x =
x
npq
.
Пример 21. Случайная величина Х — чис-
ло бракованных деталей из возвратной выборки в 400 штук.
Вероятность брака одной детали р=0,1. Найти m
, Dx, x.
x
Решение.
Случайная величина Х имеет биномиальное распределение,
следовательно,
m
= np = 400·0,1 = 40, Dx = npq = 400·0,1·(1-0,1) = 36,
x
[]DX
=
x
=6.4
10.2 Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина Х=m имеет распределение
Пуассона, если ее ряд распределения задается формулой
a
ma
P(m) =
Найдем числовые характеристики M[X], D[X],
M[X]=
ae
, где параметр a >0 и m=0;1;2;...
e
m
!
1
mm
aa
aa
me ae
01
mm
aa a
a
( ... ...)
1
!! ( )!
12 1
!()!
mm
21
aa
ae e a
=
m
m
.
1
.
x
39
Аналогично можно найти D[X]=M[X2]-m
=а.
x
2
=a. Следовательно,
x
Итак,
m
=a, x =a.
x=Dx
Можно показать, что биномиальное распределение переходит
в распределение Пуассона, если nр=a, n и p
;0
т. е. что
lim
С pq
n
0np
mmnm
= |np=a|=
a
ma
.
e
!
m
Таким образом, если число испытаний велико, а вероятность
появления события в каждом испытании мала, то вместо сложного биномиального распределения пользуются приближенно распределением Пуассона:
a
ma
,
e
m
!
a
= nр, n велико и p мало.
где
P
(m) ≈
n
Пример 22. База отправила в магазин 500 изделий, вероят-
ность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того,
что в пути будут повреждены 5 изделий.
Решение.
По условию n=500, p=0,002, m=5, следовательно,
a
=np=500·0,002=1, тогда Р
500
(5)
1
5!
5
1
1
e
0,003.
4
5!e
10.2.1 Простейший (пуассоновский) поток событий
Потоком событий назовем последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени (например, поступление вызовов на АТС , приход клиентов на станцию технического обслуживания и т.д.).
Поток событий называется простейшим (пуассоновским),
если обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]