Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Рис. 2
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых являются частичные ин-
n
тервалы длины h, а высоты равны
образом, площадь гистограммы равна S=
т.е. объему выборки (см. рис. 3).
i
(плотность частоты). Таким
h
Sh nn
ii
ii i
n
i
h
Аналогично, гистограммой относительных частот является
ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на частичных интервалах длины h, высота i-го прямоугольни-
W
ка равна
i
. Площадь такой гистограммы равна единице (прове-
h
рить самостоятельно).
,
Рис. 3
131
►Пример 4. Построить гистограмму относительных частот
по данному распределению выборки:
номер интервала
i
частичный
интервал
(х
, хi)
i-1
1 5–10 4
2 10–15 6
3 15–20 10
4 20–25 5
Решение.
Найдем относительные частоты:
n
i
W
= 4/25
1
n
; W
/n=6/25; W3=n3/n=10/25=2/5;
2=n2
/n=5/25=1/5,
W
4=n4
отсюда плотности относительной частоты :
W
4
1
25 5
h
W
2
3
55
h
0,032
0,08
W
2
;
h
W
4
,
55
h
6
25 5
1
сумма частот
вариант
n
n
n=
i
0,048
;
0,04
.
i
25
i
Итак, строим гистограмму относительных частот, зная, что
длины частичных интервалов h = 5, а высоты прямоугольников
соответственно равны 0,032, 0,048, 0,08, 0,04.
132
Рис. 4
Убедитесь, что площадь этой гистограммы равна единице.◄
6. Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х, обозначим через n
при которых наблюдаемое значение признака меньше некоторого
числа х. То гд а относительная частота события (Х<х) равна
n-объем выборки.
Эмпирической функцией распределения назовем функцию
n
*
Fxn , т. е.
()
x
*
()
Fx
xx
i
n
i
.
n
Функция распределения F(x) признака Х генеральной совокупности является теоретической функцией распределения с.в. Х,
напомним что F(x)=P(X<x) , тогда F
*
(х)-относительная частота со-
бытия (X < x). А по теореме Бернулли из закона больших чисел
следует, что относительная частота события сходится по вероятности к вероятности этого события при
n значения F
*
(х) и F(x) мало отличаются, т. к.
- число наблюдений,
x
n
x
, где
n
n ; т. е. при больших
lim ( () () ) 1.
PFx F x
n
*
133
►Пример 5. Построить эмпирическую функцию распределе-
ния, если распределение выборки имеет вид
х
348
i
5114
n
i
Решение.
nn
*
Т.к.
Fx
*
F
(x)=
*
(x) обладает свойствами:
F
*
0
xi
()
nn
x›
i
0 при x3,
5/20 при 3<x 4,
16 / 20 4<x 8,
1 при х>8.
при
() 1.Fx
, где n = 20, то
◄
Неубывающая функция.
Если х
i=x min
и хj=х
наибольшая варианты ряда, то F
х>x
max
.
соответственно наименьшая и
max
*
(x)=0 при х<x
и F*(x)=1 при
min,
7. Статистические оценки параметров
распределения
Поставим перед собой задачу:
Имеется случайная величина Х, закон распределения которой
содержит неизвестный параметр q. Нужно по выборке (х
найти точечную оценку q
ки рассматривать как случайные величины Х
*
этого параметра. Если результат выбор-
, Х2 ,..., Х
1
из которых распределена по тому же закону, что и случайная величина Х, то оценка q
134
*
тоже является случайной величиной, т. е.
**
( ..., ).
ХХ Х
1, 2 ,
n
, х2,...,хn)
1
каждая
n ,
Оценка называется точечной, если она определяется одним
числом.
Разница q-q
*
дает так называемую ошибку выборочного наблюдения, которая складывается из ошибок регистрации и репрезентативности.
Ошибкой регистрации называется разность между истин-
ным и наблюдавшимися значениями изучаемого признака у члена
совокупности.
Ошибки регистрации могут быть систематическими и слу-
чайными. Систематические ошибки регистрации возникают при
умышленном или неумышленном искажении значений изучаемого
признака у
членов совокупности в одну и ту же сторону (завышения
или занижения). Систематические ошибки регистрации недопустимы для любого наблюдения. Применение выборочного метода
обычно приводит к уменьшению ошибок регистрации, так как при
этом в несколько раз сокращается число обследуемых объектов, им
можно уделить больше внимания, точнее произвести измерения. На
этом принципе
основано применение выборочного наблюдения для
проверки данных сплошного обследования (например, контрольные обходы после проведения переписи населения).
Ошибкой репрезентативности называется расхождение ха-
рактеристик признака в генеральной и выборочной совокупностях, возникающее только в результате того, что исследуется не
вся совокупность, а лишь ее часть.
Ошибки репрезентативности также могут быть систематиче-
и случайными. Систематическая ошибка репрезентативно-
скими
сти возникает при нарушении случайности отбора членов в выборочную совокупность (например, если в выборку, образованную
с целью прогноза урожайности, будут включены лишь наиболее
урожайные или, наоборот, наименее урожайные участки).
Если требование случайности отбора членов в выборочную
совокупность выполнено (например, в выборку отобраны члены
генеральной
совокупности, которые определены таблицей случайных чисел), то выборочная и генеральная средние (доли) все
же, как правило, не совпадают. Разность между ними и является
случайной ошибкой репрезентативности. Она возникает только
135
потому, что обследуется лишь отобранная случайно часть сово-
Ошибки регистрации возможны и при выборочном, и при
сплошном обследовании. Ошибки репрезентативности характерны лишь для выборочного наблюдения.
Математическая теория выборочного метода и состоит в определении средней величины случайных ошибок репрезентативности и их возможных границ при различных способах образования
выборочной
совокупности.
7.1 Несмещенные, состоятельные
и эффективные оценки
*
Для того чтобы оценка q
имела практическую ценность, желательны следующие ее три свойства, которые определяют качество оценки:
* Несмещенность.
Несмещенной называют точечную оценку, математическое
ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом
объеме выборки, т. е.
*
]=q.
M[q
Смещенной называют точечную оценку, математическое
ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
*
]¹q.
M[q
Ошибку, возникающую при замене неизвестного параме-
*
тра q известной оценкой q
*
(q-M[q
кой, а M[q
])+(M[q*]-q*), где q-M[q*] является систематической ошиб-
*
]-q*-случайной ошибкой. Если систематическая ошиб-
можно представить в виде q-q*=
ка известна, то следует делать поправку в наблюдаемых значениях
случайной величины; случайная ошибка принципиально неустранима. Таким образом, видно что в качестве приближенного значения неизвестного параметра следует брать несмещенные оценки,
*
действительно, в этом случае q-M[q
]=q-q =0 и отсутствует систе-
матическая ошибка в результатах измерений.
136
Свойство несмещенности желательно, но не обязательно.
Часто полученная оценка бывает смещенной, но ее можно поправить так, чтобы она была несмещенной. Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, что означает
стремление математического ожидания оценки к истинному значению т.е.
*
М
lim
n
* Состоятельность.
Оценка q
*
называется состоятельной, если она сходится по
вероятности к оцениваемому параметру q при неограниченном
возрастании числа опытов, т. е.
*
P
lim 0
D
n
*
,
где
lim ( ) 1
n
0 -сколь угодно малое число или что тоже самое
Итак, состоятельность оценки означает, что при большом
количестве опытов со сколь угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра меньше любой
наперед заданной сколь угодно малой величины. Свойство состоятельности является обязательным для оценки: несостоятельные
оценки не используются.
* Эффективность.
Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности, при ограниченном
персиями. Оценку q
*
называют эффективной, если при заданном
числе опытов могут отличаться дис-
объеме выборки она имеет наименьшую дисперсию, т. е.
*
DD
.
min
Эффективные оценки представляют собой большой практический интерес, так как при прочих равных условиях они дают
в среднем наименьшую погрешность q- q
*
. Действительно, среди
137
всех несмещенных оценок наименьшая погрешность q-q* будет
соответствовать той оценке q
*
, у которой разброс около истинного
значения q будет наименьшим.
*
Если оценка q
смещенная, то малое значение ее дисперсии
еще не говорит о малости ее погрешности. Взяв, например, в качестве оценки величины q некоторое постоянное число q
получим
0
оценку даже с нулевой дисперсией. Однако, в этом случае ошибка
q-q
может быть сколь угодно большой.
0
Замечание 3.
На практике редко удается построить оценку, удовлетворя-
ющую всем трем требованиям, поэтому чаще всего используются
оценки, являющиеся, например, несмещенными и состоятель-
ными.
7.2 . Определение приближенного значения измеряемой
величины и приближенного значения дисперсии
Определить приближенное значение измеряемой величины
Х — значит произвести оценку математического ожидания случайной величины Х. Необходимость получения приближенного
значения дисперсии возникает, чтобы характеризовать рассеяние
измеряемой случайной величины вокруг своего среднего значения.
Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m
и дисперсией Dх, причем оба параметра неизвестны.
x
Найдем на основании опытных данных несмещенные и состоятельные оценки этих параметров.
Пусть проведено n независимых опытов в одинаковых условиях. Результаты опытов или выборки (повторной) можно рассматривать как независимые случайные величины Х
ющие тот же закон распределения, что и генеральная Х, т. е.
m
и
D
= D х.
x
›
i
, Х2, ..., Хn,, име-
1
m
=
x
i
138
7.2.1. Оценка математического ожидания
Естественно в качестве оценки математического ожидания
принять математическое ожидание статистического распределения выборки, т.е. среднее арифметическое наблюдаемых значений
xx x
x
B
...
12 1
nn
n
ni
x
i
,
называемое выборочной средней.
Покажем, что
x является несмещенной и состоятельной
B
оценкой математического ожидания.
n
X
i
1
i
M ХМ M X M X nm m
Bixx
nn n n
nn
11 1
11
ii
i
.
.
Итак,
M Х
B
=mх.
По закону больших чисел
n
lim (
n
Откуда следует, что
1
Xm
P
n
X сходится по вероятности к m
B
ix
1
i
)1
.
, т. е.
x
x
B
является состоятельной оценкой.
Доказано также, что
Замечание 4.
Если, x
- варианта выборки, ni - ее частота и n =
i
ем выборки, то
x — эффективная оценка.
B
kk
1
xnxwx
Biiii
n
11
ii
.
i
k
1
n
— объ-
i
Часто математическое ожидание называют генеральной
средней.
Среднее арифметическое непрерывного статистического
ряда часто приближенно вычисляют как среднее арифметическое
дискретного статистического ряда, соответствующего данному
139
непрерывному, в котором частоты непрерывного распределения
относят к серединам соответствующих интервалов.
Нахождение среднего арифметического непрерывного статистического ряда осложняется, если крайние интервалы распределения не замкнуты. В этом случае сначала устанавливают границы этих интервалов, считая, что интервальная разность первого
интервала такая же, как у второго, а у последнего - такая же
, как у
предпоследнего.
Групповая и общая средние.
Допустим, что некоторая совокупность разбита на несколько
непересекающихся групп, необязательно одинаковых по объему.
Группы называются непересекающимися, если каждый член совокупности принадлежит только одной группе. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти их
среднюю арифметическую.
Групповой средней называют среднее арифметическое зна
чений членов, принадлежащих группе.
Общей средней всей совокупности называют среднее ариф-
метическое значений членов, принадлежащих всей совокупности.
Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю:
общая средняя равна средней арифметической групповых
средних всех непересекающихся групп.
►Пример 6. Вычислить среднее число жителей в поселках
городского типа по данным таблицы
Число
жителей, тыс. чел.
Менее 3 1039 0,278
От 3 до 5 976 0,261
От 5 до 10 1251 0,334
От10 до 20 422 0,113
От 20 и более 51 0,014
Число поселков
городского типа
S=3739 S=1
Доли поселков
-
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]