Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
*
z
= 1,65 (см. таблицу 2 приложения) zkp = -1,65. Вычисляем
kp
xa
z
=
набл
n
20,4 21 0,6 6
0B
0,36
.
0,36
36
10
Т.к. z
рующей H
= -10 < zkp = -1,65, то H0 отклоняем в пользу конкури-
набл
.3
1
Пример 34. По выборке объема n = 25, извлеченной из нор-
мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=10, найдена выборочная средняя
х =
18. При уровне значимости 0,05 требуется:
найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза H
: а =20 при конкурирующей гипотезе H1: а < 20;
0
найти мощность критерия проверки при
а =16.
0
Решение.
Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а <21, критическая область – левосторонняя.
Пользуясь правилом, найдем критическую точку: z
= –1,65.
кр
Следовательно, левосторонняя критическая область определяется
неравенством Z < –1,65, или подробнее
( 20) 25 /10 1,65.
х
B
Отсюда
х <16,7.
B
При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле
х = 16,7 можно рассматривать
B
как критическое значение выборочной средней.
Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого
критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.е. при
х = 16,7 ;
B
( ) / (16,7 16) 25 /10 0,35.
z хаn
B
0
а =16), положив
0
201
Отсюда видно, что если
х <16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при z< 0,35 она
B
х = 16,7 , то z< 0,35. Поскольку при
B
также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как мы положим
а =16).
0
Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т.е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет
отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза:
Р(Z < 0,35) = P(- < Z < 0,35) = P(- < Z < 0) +
+ P(0 < Z < 0,35) = 0,5+ Ф(0,35)=0,5 + 0,1368 = 0,6368. (см.
таблицу 2 приложения)
Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится.
Например, при n = 64 мощность равна 0,71. Если
увеличить a,
то мощность также увеличится. Например, при a = 0,1 мощность
равна 0,7642.
Замечание. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки
второго рода: β = 1–0,64. (Разумеется, при решении примера можно было сначала найти β, а затем мощность, равную 1–β.)
12.4.2. Параметр σ неизвестен
Правило 1.
Гипотезы Н
В качестве критерия примем случайную величину
:
aa , Н
0
:
1
aa
0
Xa
T
,
0B
S
0
n
которая имеет распределение Стьюдента с k = n–1 степенями свободы. Критическую область G находим из условия
Если найденное по выборке t
G, то H0 как не согласующуюся
набл
с выборкой отклоняем в пользу конкурирующей H
202
(/
PT t H
кр
.
1
) = α.
0
Рис. 15
Итак, чтобы при заданном уровне значимости a проверить ну-
левую гипотезу Н
надо вычислить по выборке
:
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
xa
t
, где S — исправленное
набл
0B
S
n
:
1
aa ,
0
среднее квадратическое отклонение, найти по таблице 6 критических точек распределения Стьюдента приложения по заданному
уровню значимости a, помещенном в верхней строке таблицы, и
числу степеней свободы k = n–1 критическую точку t
кр
= t
двустор кр
(α, k).
Если
< tkp, то гипотезу H0 принимаем как согласующую-
t
.набл
ся с выборкой.
Если
> tkp, то H0 отклоняем в пользу гипотезы H1.
t
.набл
Правило 2.
Гипотезы Н
aa , Н
0
:
aa
0
1
0
:
Чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую
гипотезу Н
параметр s неизвестен, нужно вычислить по выборке
:
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
:
aa , когда
t
набл
0
xa
1
0B
S
n
203
и найти по таблице 6 критических точек распределения Стьюдента
по заданному уровню значимости a (для односторонней области),
помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n–1 критическую точку правосторонней области отклонения t
= t(α, k).
kp
Если t
Если t
> tkp, то H0 отклоняем в пользу H1 .
набл
< tkp, то H0 принимаем как согласующуюся с выбор-
набл
кой.
Рис. 16
Правило 3.
Гипотезы Н
:
aa , Н
0
:
1
aa
0
0
Чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую
гипотезу Н
параметр s неизвестен, нужно вычислить по выборке
:
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
:
aa , когда
t
набл
0
xa
1
0B
S
n
и найти критическую точку левосторонней области отклонения t
= – t(α, k) по таблице критических точек распределения
kp
Стьюдента, где α — уровень значимости, помещенный в нижней
строке таблицы (для односторонней области), и k = n–1— число
степеней свободы.
204
Если t
Если t
< tkp, то H0 отклоняем в пользу H1 .
набл
> tkp, то H0 принимаем как согласующуюся с выбор-
набл
кой.
Рис. 17
Пример 35. Из нормальной генеральной совокупности извле-
чена выборка объема n = 25, найдены по выборке
x = 16 и D
B
B
=
19,44. Требуется при уровне значимости a = 0,05 проверить.
Н0: a = 15 , Н1: a 15
Решение.
По таблице 6 критических точек распределения Стьюдента
приложения для двусторонней критической области находим
t
= t
кр
Вычисляем t
(0,05; 24) = 2,06
двустор кр
набл
. Т.к. S2 =
n
25
Dn
B
124
19,44
= 20,25; то S = 4,5.
Следовательно,
t
=
набл
S
n
0B
16 15 10
. Т. к.
4,5
25
9
xa
H0 принимаем как согласующуюся с выборкой. ◄
< t
t
, то
.набл
kp
205
12.4.3. Связь между двусторонней критической областью
и доверительным интервалом
Легко показать, что, отыскивая двустороннюю критическую
область при уровне значимости a, тем сам находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью γ=1–a. Например,
проверяя нулевую гипотезу Н
чтобы вероятность попадания критерия
: а=а0 при Н1: а а0, мы требовали,
0
()
Xa
B
Z
в двусто-
n
роннюю критическую область была равна уровню значимости a,
следовательно, вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы (-zкр, zкр) равна 1-α=γ. Другими словами, с надежностью γ выполняется неравенство
()/
zxan z
кр B кр
или равносильное неравенство
,
B кр B кр
nn
где Ф(z
)=g/2.
кр
xz axz
Мы получили доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном
s с надежностью γ.
Замечание 12. Хотя отыскание двусторонней критической
области и доверительного интервала приводит к одинаковым результатам, их истолкование различно: двусторонняя критическая
область определяет границы (критические точки), между которыми заключено (1-α)% наблюдаемых критериев, найденных
при
повторении опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы интервала), между которыми в γ=(1-α)% опытов заключено истинное значение оцениваемого параметра.
12.5 Сравнение исправленной выборочной дисперсии
с гипотетической генеральной дисперсией нормальной
совокупности
Если генеральная совокупность распределена нормально и
параметр s неизвестен, но есть основания предполагать, что он
206
равен s0, то можно по исправленной выборочной дисперсии S2
при заданном уровне значимости a проверить основную гипотезу H
: s2 = s
0
2
, т.е. проверить значимо или незначимо различают-
0
ся исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке
объема n, и гипотетическая (предполагаемая) генеральная дисперсия.
Эта гипотеза проверяется, если нужно проверить точность
приборов, инструментов, станков и т. д. В качестве критерия возь-
2
, которая имеет распределение
2
0
мем случайную величину
2
с k = n -1 степеней свободы.
c
(1)nS
Итак, критерий проверки нулевой гипотезы –
(1)nS
2
c
=
Критическую область G будем искать из условия
2
.
2
0
2
(|)PGH
0
=α. Рассмотрим несколько случаев, т.к. область отклонения G
строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.
Правило 1
H
: s2 = s
0
2
, H1: s2 s
0
2
.
0
Область отклонения G в этом случае двусторонняя, находим
ее из условий
22
()
P Н
=
лев кр
.0
и
2
22
()
P Н
=
прав кр
.0
Так как в таблице критических точек распределения c
2
.
2
указа-
ны лишь “правые“ критические точки, то “левую“ критическую
точку находим из условия P( c
1 —
, потому что события ( c2 < c
2
>c
2
) = 1 — P( c2 < c
лев..кр
2
) и ( c2 >c
лев.кр
2
лев..кр
2
) =
лев.кр
) противо-
2
положны.
207
Рис. 18
Следовательно, “левую” критическую точку ищем по той же
2
таблице критических точек распределения c
: c
2
лев.кр
= c2(1 —
k).
Итак, c
2
лев.кр
=c2(1-
2
,k), c
2
пр.кр
Находим по выборке объема n c
Если c
2
лев.кр
<c
2
набл.
2
<c
, то H0 принимаем как согласующуюся
пр.кр
=c2(
,k), где k = n — 1.
2
(1)nS
2
=
набл
2
2
0
.
2
с выборкой.
2
Если c
набл.
>c
конкурирующей H
2
пр.кр
или c
.
1
2
набл.
<c
2
, то H0 отклоняем в пользу
лев.кр
Правило 2
H
: s2 = s
0
2
, H1: s2 > s
0
2
.
0
Область отклонения G в этом случае правосторонняя, нахо-
дим ее из условия
22
()
PH
= a. Критическую точку c
кр
0
2
на-
кр
ходим по таблице 5 приложения критических точек распределе-
2
ния c
правленная выборочная дисперсия.
2
: c
=c2(a, k), где k=n-1.
кр
Находим по выборке объема n c
Если c
2
набл
2
< c
, то H0 принимаем как согласующуюся с вы-
кр
2
набл
(1)nS
=
2
, где S2 — ис-
2
0
боркой.
,
208
Рис. 19
Если c
2
набл
2
> c
, то H0 отклоняем в пользу конкурирующей H1.
кр
Правило 3
H
: s2 = s
0
2
, H1: s2<s
0
2
.
0
Область отклонения G в этом случае левосторонняя, находим
22
()
P Н
ее из условия
распределения c
2
c
набл
(1)nS
=
2
2
0
= α. По таблице критических точек
кр
0
2
находим c
2
=c2(1 — a; k) и по выборке находим
кр.
.
Рис. 20
209
2
Если c
набл.
2
>c
, то H0 принимаем, т. к. нет оснований отвер-
кр
гнуть ее.
Если c
2
набл.
2
< c
, то H0 отвергаем в пользу H1.
кр
Пример 36. Из нормальной генеральной совокупности извле-
чена выборка объема n = 25. По ней найдена S
при уровне значимости a = 0,02 проверить гипотезу H
конкурирующей H
: σ2 8.
α
2
= 8,3. Требуется
: σ2 = 8 при
0
Решение.
2
Найдем по таблице критических точек распределения χ
тические точки: χ
=χ2(
,k)=χ2(0,01;24)=43.
2
2
χ
пр.кр
Найдем c
гипотезу H
0
2
лев.кр
набл
(1)nS
=
2
принимаем.◄
=χ2(1-
2
0
,k)=χ2(1-0,01;24)=χ2(0,99;24)=10,9 и
2
2
24 8,38
=
=24,9. Т. к. 10,9<24,9<43, то
кри-
12.6 Понятие о критериях согласия
Не всегда есть основание высказать альтернативную гипотезу Н
виду просто невыполнение основной Н
основной гипотезы Н
явном виде. Часто в качестве такой гипотезы имеется в
1
состоит в выяснении, согласуется ли вы-
0
, и в этом случае проверка
0
сказанное в ней предположение с выборочными наблюдениями
х
,... , xn – соответствующие критерии получили название кри-
1,x2
териев согласия.
Найденные, например, в предыдущих примерах теоретические частоты или совпадают с соответствующими эмпирическими
частотами, или отличаются от них незначительно. Однако полного
совпадения все-таки нет. Более того, иногда имеются значительные расхождения. Эти и другие несовпадения между опытными и
теоретическими частотами можно объяснить
двояко:
1. Они несущественны и являются следствием случайности
результатов единичных наблюдений или отбора отдельных элементов. Предположение о распределение признака в соответствии
с выбранным теоретическим законом согласуется с имеющимися
опытными данными.
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]